新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)講義22 拋物線（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?解密22 拋物線
【考點解密】

1．拋物線的概念
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．

2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離
圖形

頂點
坐標(biāo)
O(0,0)
對稱軸
x軸
y軸
焦點
坐標(biāo)
F
F
F
F
離心率
e＝1
準(zhǔn)線
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
通徑長
2p

【方法技巧】

求圓錐曲線中的有關(guān)三角形的面積時，常聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達定理求出弦長.然后根據(jù)點到直線的距離公式，求出三角形的高，即可得出.

【核心題型】
題型一：定義法求焦半徑
1．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）設(shè)F為拋物線C：的焦點，點M在C上，點N在準(zhǔn)線l上且MN平行于x軸，若，則（????）
A． B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】由拋物線方程可知焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點為，畫出圖象，由拋物線定義及可知是正三角形，結(jié)合平行關(guān)系可判斷，利用直角三角形性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題可知，，拋物線焦點F為，準(zhǔn)線l為，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為E，如圖所示，

由題知，由拋物線的定義可知，
因為，所以是正三角形，則在中，因為，
所以，所以．
故選：D
2．（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學(xué)?？家荒＃┮阎獮閽佄锞€上一點，點到的焦點的距離為6，到軸的距離為3，O為坐標(biāo)原點，則（????）
A． B．6 C． D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線定義及題意求出，得出點A的坐標(biāo)即可求解.
【詳解】由已知及拋物線的定義可得，解得，
∴拋物線方程為，
，即，代入拋物線方程可得，
∴，.
故選：C
3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，若的面積為，則（????）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線定義求得點橫坐標(biāo)，代入拋物線方程得縱坐標(biāo)，再利用三角形面積公式即可得的值.
【詳解】拋物線的焦點為，點在拋物線上，由拋物線的定義可得，
，則，
，解得或（舍）.
故選：B.

題型二：定義法求焦點弦
4．（2021秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線交于A（點A在第二象限），兩點，則（????）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】求出焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，則，，從而利用焦半徑公式和焦點弦公式求出，得到答案.
【詳解】拋物線方程為，故焦點坐標(biāo)為，則直線方程為，
與聯(lián)立得：，
即，
設(shè)，
則，，
，
則，，
所以.
故選：A
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，直線l過焦點F且與拋物線交于點，，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點Q，若（O為坐標(biāo)原點），，則（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】將三角形面積間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段長之間的數(shù)量關(guān)系，求得有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)三角形相似建立方程，解方程得到結(jié)果.
【詳解】對于△OQN和△OFN，底邊QN和FN上的高均為點O到直線l的距離，故由可得，
如圖，分別過點M，N作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點，，

設(shè)，則，，故．
因為，所以．
在直角三角形中，，，，所以，所以，解得．
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點，則，所以，
即，解得，
故選：B．
6．（2023秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）拋物線的焦點為，對稱軸為，過且與的夾角為的直線交于，兩點，的中點為，線段的中垂線交于點．若的面積等于，則等于（????）
A． B．4 C．5 D．8
【答案】D
【分析】依題意不妨設(shè)拋物線為，不妨設(shè)直線的傾斜角為，直線，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，即可求出的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，則的坐標(biāo)可求，再根據(jù)三角形面積求出，最后根據(jù)焦半徑公式計算可得.
【詳解】解：依題意不妨設(shè)拋物線為，則，
根據(jù)對稱性不妨設(shè)直線的傾斜角為，則直線，
設(shè)，，則，消去整理得，
所以，則，
所以，則直線的方程為，令，解得，即，
所以，解得或（舍去），
所以，則，
所以.
故選：D

題型三：求距離的最值問題
7．（2023·湖南·模擬預(yù)測）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出點的軌跡方程，再結(jié)合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得，從而可得出答案.
【詳解】設(shè)，
則，
化簡整理得，
所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓，
拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，
所以的最小值為.

故選：D.
8．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）曲線上有兩個不同動點，動點到的最小距離為，點與和的距離之和的最小值為，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對于可直接利用兩點間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)進行求解，對于可利用拋物線的性質(zhì)，結(jié)合圖象觀察發(fā)現(xiàn)取得最值時的的位置進行求解.
【詳解】設(shè)，則，結(jié)合關(guān)系式可變形為：，當(dāng)，即動點坐標(biāo)為時，取到最小距離，即；
由題知，曲線為拋物線在第一象限的部分以及原點，其焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)，過作準(zhǔn)線，垂足為，根據(jù)拋物線定義，，過作準(zhǔn)線，垂足為，交拋物線于，當(dāng)在運動時，結(jié)合下圖可知，，當(dāng)運動到時取得等號，即的最小值為.故.
故選：C

9．（2023秋·河南信陽·高三信陽高中?？计谀┮阎c是拋物線上任意一點，則點到拋物線的準(zhǔn)線和直線的距離之和的最小值為（????）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】點到直線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，利用拋物線的定義得，當(dāng)，和共線時，點到直線和準(zhǔn)線的距離之和的最小，由點到直線的距離公式求得答案．
【詳解】解：由拋物線知，焦點，
準(zhǔn)線方程為，根據(jù)題意作圖如下；

點到直線的距離為，
點到的距離為；
由拋物線的定義知：，
所以點到直線和準(zhǔn)線的距離之和為，
且點到直線的距離為，
所以點到直線和準(zhǔn)線的距離之和最小值為．
故選：C．

題型四：拋物線的對稱問題
10．（2021·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知拋物線C：（）的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸交于點K，過點K作圓的切線，切點分別為點A，B.若，則p的值為（????）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】連接，通過是圓的圓心，結(jié)合圖形，，通過求解是等邊三角形，推出結(jié)果．
【詳解】連接，如下圖

因為F就是圓的圓心，
所以，且.
又，所以，那么，
所以是等邊三角形
所以.
又，所以.
故選：C.
【點睛】考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點、準(zhǔn)線以及圓有關(guān)的概念，考查數(shù)形結(jié)合的思維方法和學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的分析能力.
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：與拋物線：交于兩點，為坐標(biāo)原點，若的外接圓經(jīng)過點，則等于（????）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓和拋物線的對稱性知的外接圓的圓心必在x軸，設(shè)圓心為，結(jié)合圓的性質(zhì)可得、進而得，代入橢圓方程計算即可求解.
【詳解】設(shè)，則，.
由題意知，四點共圓，
由橢圓和拋物線的對稱性，知的外接圓的圓心必在x軸，
設(shè)與x軸相交于點D，則，
在圓D中，有，
即，又，
所以，解得，①
代入，得，②
將①②代入橢圓方程，得，
整理，得，解得.
經(jīng)檢驗，時，符合題意.
故實數(shù)p的值為.
故選：A.

12．（2020·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點在拋物線上，且點到準(zhǔn)線的距離為6，的垂直平分線與準(zhǔn)線交于點，點為坐標(biāo)原點，則的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解法一：先根據(jù)焦半徑公式求出的坐標(biāo)，再求出的垂直平分線的方程，從而可求的坐標(biāo)，故可求的面積.
解法二：先根據(jù)焦半徑公式求出的坐標(biāo)，過點作的垂線，垂足為，利用拋物線的定義可得重合，從而可求的面積.
【詳解】解法一：拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為：，
設(shè)，由點到準(zhǔn)線的距離為6，得，得，
代入拋物線的方程得，所以．
由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則直線的斜率為，
又的中點坐標(biāo)為，故的垂直平分線的方程為，
令，得，即．
所以的面積為．
故選：B.
解法二：拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為：，
設(shè)，由到準(zhǔn)線的距離為6，得，得，
代入拋物線的方程得，所以．
由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則直線的斜率為，
所以．過點作的垂線，垂足為，則，連接，
則，而，所以是等邊三角形，于是邊的垂直平分線過點，即點與點重合，所以的面積為．
故選：B.
【點睛】方法點睛：與拋物線焦點有關(guān)的距離計算問題，可利用拋物線的定義將此距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離來處理.

題型五：拋物線的綜合問題
13．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知拋物線上的一個動點P到拋物線的焦點F的最小距離為1．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過焦點F的直線l交拋物線C于兩點，M為拋物線上的點，且，，求的面積．
【答案】(1)
(2)32

【分析】（1）利用動點P到拋物線的焦點F的最小距離，結(jié)合拋物線定義求得p的值，可得答案；
（2）說明軸不合題意，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題意進行化簡，求得M點坐標(biāo)，求得弦長,利用三角形面積公式，即可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，由拋物線定義可知，，
即當(dāng)時取得等號，
故，解得，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知，設(shè)，，，
若軸，由，得，，或，，
此時不滿足，所以不滿足題意；
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
如圖所示，

將代入拋物線方程得，，
所以，．
將代入拋物線方程得，所以①．
直線AM的斜率為，同理BM的斜率為．
因為AM⊥BM，所以，
所以，即②．
由①②解得，將其代入①可得，，
所以或，
當(dāng)時，直線的方程為，，．
因為，滿足，所以，．
所以，
所以．
同理可得，當(dāng)時，直線的方程為，，，
因為，滿足，所以，．
所以，
所以，
所以的面積為32．
14．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知點在拋物線上，且到拋物線的焦點的距離為2.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，若直線與直線交于點，且點到直線?直線的距離分別為.求證：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意可得，求出，即可得解；
（2）方法一：設(shè)，求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出拋物線在點處和在點處的切線方程，再根據(jù)兩條切線均過點，從而可求得切點坐標(biāo)，在證明平分，即可得出結(jié)論.
方法二：設(shè)切點為，求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，聯(lián)立方程，根據(jù)求出切點坐標(biāo)，從而可得直線?直線的方程，再結(jié)合點到直線的距離公式即可得證.
【詳解】（1）因為，由題意可得，
解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）方法一：設(shè)，由，得，
所以拋物線在點處的切線方程為，
在點處的切線方程為，
因為兩條切線均過點，所以，
所以點的坐標(biāo)均滿足，
所以，即，解得或，
不妨設(shè)，則，
易知，所以，
所以，
，
所以，所以，所以平分，
所以點到直線的距離等于點到直線的距離，
所以，為定值，得證.
方法二：設(shè)切點為，由，得，
所以過點的拋物線的切線方程為，
聯(lián)立方程，消去并整理得，
則，解得或，
不妨設(shè)，則，
所以直線的方程為，
易知，所以直線的方程為，
由，得，即，
易得直線的方程為，直線的方程為，
所以點到直線的距離，
點到直線的距離，
所以，則，為定值，得證.
15．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知拋物線為其焦點，點在上，且（為坐標(biāo)原點）.
(1)求拋物線的方程；
(2)若是上異于點的兩個動點，當(dāng)時，過點作于，問平面內(nèi)是否存在一個定點，使得為定值？若存在，請求出定點及該定值：若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，定值4，定點

【分析】（1）由點在拋物線上及三角形面積列方程求出參數(shù)p，即可得方程；
（2）法一：設(shè)，，利用求得，討論與軸是否垂直，求直線所過的定點；法二：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線及韋達定理、得；最后結(jié)合確定的軌跡，即可確定定點和定值；
【詳解】（1）因為點在上，則，而，所以，
，所以，故該拋物線的方程為.
（2）法一：設(shè)，不妨設(shè)，
，則，解得，
①當(dāng)與軸不垂直時，，
此時直線的方程為：，整理得
，則的方程為：，則直線恒過定點
由，即，故在以為直徑的圓上，該圓方程為，
即當(dāng)為該圓心時，為定值；
②當(dāng)軸時，，此時，而，故；
當(dāng)時，也滿足，
綜上，平面內(nèi)存在一個定點，使得為定值4
法二：設(shè)直線的方程為
聯(lián)立，且，
由韋達定理得：，
由，即，解得，
即，直線恒過定點，
由，即，故在以為直徑的圓上，該圓方程為，
即定點為該圓心時，為定值；

【高考必刷】

一、單選題
16．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知F為拋物線的焦點，P為該拋物線上的動點，點，則的最大值為（????）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】設(shè)點，由點與點距離公式計算以及的長，代入所求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最大值.
【詳解】設(shè)，則，又，所以，則.令，則，，即時，取得最大值，此時.
故選：D
17．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，代入拋物線方程可得，根據(jù)，解得與的關(guān)系，即可得出．
【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，
，代入拋物線方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化為：，
解得或（舍）
.
故選：C.
18．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點是拋物線C：的焦點，過的直線交拋物線C于不同的兩點M，N，設(shè)，點Q為MN的中點，則Q到x軸的距離為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的拋物線，設(shè)出點M，N的坐標(biāo)，利用求出點M，N的縱坐標(biāo)和即可求解作答.
【詳解】依題意，點，設(shè)點，則，
由得：，解得，，
因此點Q的縱坐標(biāo)為，
所以Q到x軸的距離為.
故選：B
19．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）截至2023年2月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)校科技小組制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（????）

A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得頂點到焦點的距離.
【詳解】如圖，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則設(shè)拋物線的方程為，
由題可得拋物線上一點，代入拋物線方程可得，所以，
即拋物線方程為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為，故頂點到焦點的距離為.
故選：A.
20．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點在上，點在上．若，，則到的距離等于（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取線段的中點，連接，過點作，垂足為點，分析出為等邊三角形，并求出，從而可求得，即為所求.
【詳解】取線段的中點，連接，過點作，垂足為點，

則，
所以，，所以，，所以，，
因為，所以，是邊長為的等邊三角形，則，
由拋物線的定義可知，所以，，故，
所以，，則，即點到直線的距離為.
故選：B.
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）以拋物線的焦點F為端點的射線與C及C的準(zhǔn)線l分別交于A，B兩點，過B且平行于x軸的直線交C于點P，過A且平行于x軸的直線交l于點Q，且，則△PBF的周長為（????）
A．16 B．12 C．10 D．6
【答案】B
【分析】因，則，準(zhǔn)線為.由，可得坐標(biāo)，直線AF方程，進而可得B，P坐標(biāo)，后由兩點間距離公式及拋物線定義可得答案.
【詳解】因，則，準(zhǔn)線為.
由，如圖，設(shè)，則，得，則.
得直線AF方程：，
代入，得，
將代入，可得.
則周長，
則.故.
故選：B

22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于點A，B，與拋物線的準(zhǔn)線交于點M，且點A位于第一象限，F(xiàn)恰好為AM的中點，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N，E，根據(jù)拋物線的定義，又F恰好為AM的中點，可得到比例，進一步推導(dǎo)得到的值.
【詳解】如圖，

過點A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N，E，根據(jù)拋物線的定義得，，因為F為AM的中點，所以，又，所以，所以.
故選：A
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，圓與線段相交于點，且被直線截得的弦長為，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)點在拋物線上及拋物線的定義，利用圓的弦長及勾股定理即可求解
【詳解】由題意可知，如圖所示，

在拋物線上，則
易知，，由，
因為被直線截得的弦長為，則，
由，于是在中，

由解得：，所以．
故選：C.

二、多選題
24．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎獟佄锞€，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，點P在拋物線上，則下列說法中正確的是（????）
A．若點，則的最小值為4
B．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條
C．若正三角形ODE的三個頂點都在拋物線上，則ODE的周長為
D．點H為拋物線C上的任意一點，，，當(dāng)t取最大值時，GFH的面積為2
【答案】AD
【分析】A選項，過P點做準(zhǔn)線的垂線，垂足為.由拋物線定義，，據(jù)此可得最小值；
B選項，過點B且與拋物線只有一個公共點的直線有兩類，拋物線的切線與斜率不存在的直線；
C選項，設(shè)，由及D，E兩點在拋物線上可得，
后可得ODE的周長；
D選項，設(shè)，則，由基本不等式可得取最大值時，，后可得GFH的面積.
【詳解】A選項，過P點做準(zhǔn)線的垂線，垂足為.則由拋物線定義，有.則，則當(dāng)三點共線時，有最小值4.故A正確；
B選項，當(dāng)過點B直線斜率不存在時，直線方程為，此時直線與拋物線只有一個交點；當(dāng)過點B直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，則.令或
，則直線或為拋物線切線.綜上，過點且與拋物線只有一個公共點的直線有3條，故B錯誤；
C選項，設(shè)，因三角形ODE為正三角形，
則，又，
則.
因，則.又由圖可得.
則，則.
得ODE的周長為.故C錯誤；
D選項，設(shè)，則
，當(dāng)取最大值時，
.取，則此時GFH的面積為.
故D正確.
故選：AD

25．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過上的點作的切線m，m與y軸、l、x軸分別相交于點N、P、Q，過M作l垂線，垂足為，則（????）
A． B．為中點
C．四邊形是菱形 D．若，則
【答案】BCD
【分析】設(shè)與軸交點為，則未必是的中點，即可判斷A，利用韋達定理表示出的坐標(biāo)可判斷B，根據(jù)菱形的判定定理可判斷C，利用三角形的全等關(guān)系可判斷D.
【詳解】
設(shè)，可知斜率存在，可設(shè)，
將代入可得，由，即可得，
因此，令解得，所以，
又因為，，
要使，則必需為中點，則必有，即，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，才成立，無法滿足任意性，A錯誤；
中令，于是，
因為，，所以為中點，選項B正確.
因為，所以是的垂直平分線，
而軸，所以四邊形是菱形，選項C正確；
，由，可得，所以.
因為，所以，選項D正確.
故選：BCD.
26．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F是拋物線的焦點，點在拋物線W上，過點F的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線W交于B，C和D，E，過點A分別作，的垂線，垂足分別為M，N，則（????）
A．四邊形面積的最大值為2
B．四邊形周長的最大值為
C．為定值
D．四邊形面積的最小值為32
【答案】ACD
【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的方程，確定四邊形形狀，利用勾股定理及均值不等式計算判斷A，B；設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出弦長即可計算推理判斷C，D作答.
【詳解】因為點在拋物線上，
所以，故，，
拋物線的焦點的坐標(biāo)為，
因為，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以四邊形面積的最大值為2，故A正確.
由，
得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以四邊形周長的最大值為，故B不正確.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消x得，
方程的判別式，
設(shè)，，則，
則，
同理得，
，C正確.
，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
此時，故D正確.
故選：ACD.

27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知P為拋物線上的動點，為坐標(biāo)原點，在拋物線C上，過拋物線C的焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，，則（????）
A．的最小值為4
B．若線段AB的中點為M，則弦長AB的長度為8
C．若線段AB的中點為M，則三角形OAB的面積為
D．過點作兩條直線與拋物線C分別交于點G，H，且滿足EF平分，則直線GH的斜率為定值
【答案】ABD
【分析】先求出拋物線的方程，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化即可求出最小值可判斷A；由直線與拋物線相交的弦長公式判斷B；由點到直線的距離公式可求三角形OAB的面積判斷C；設(shè)，,將已知轉(zhuǎn)化為結(jié)合兩點連線的斜率公式即可判斷直線GH的斜率是否為定值判斷D.
【詳解】
由在拋物線C上，得，拋物線C的方程為，．
對于A，過點P作拋物線的準(zhǔn)線的垂線PD，垂足為D，
由拋物線的定義知，
即M，P，D三點共線時，取得最小值，為，故A正確．
對于B，因為為AB的中點，點A，B的橫坐標(biāo)，則，，故B正確．
對于C，由直線l過焦點與求得直線l的方程為，則點O到直線l的距離，則，故C錯誤；
對于D，易知點在拋物線上且軸．設(shè)，．
易知直線EG，EH的斜率存在，，同理．
因為EF平分，軸，所以，即，
直線，所以，
直線GH的斜率為定值，故D正確．
故選：ABD

三、填空題
28．（2023·全國·校聯(lián)考一模）拋物線：的準(zhǔn)線截圓所得的弦長為_________.
【答案】
【分析】先求出圓心到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)圓的弦長公式求解即可.
【詳解】拋物線：的準(zhǔn)線為，
圓的圓心為，半徑，
圓心到準(zhǔn)線的距離，
所以所求弦長為.
故答案為：.
29．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若P，Q分別是拋物線與圓上的點，則的最小值為________．
【答案】##
【分析】設(shè)點，圓心，的最小值即為的最小值減去圓的半徑，求出的最小值即可得解．
【詳解】依題可設(shè)，圓心，根據(jù)圓外一點到圓上一點的最值求法可知，
的最小值即為的最小值減去半徑．
因為，，
設(shè)，
，由于恒成立，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，即，
所以，即的最小值為．
故答案為：．
30．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線，拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，點關(guān)于軸對稱的點為.若過點的圓與直線相切，且與直線交于點，則當(dāng)時，直線的斜率為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達定理即可得到結(jié)果.
【詳解】如圖，易知過點且與直線相切的圓就是以為直徑的圓，設(shè)，

則，由有，
設(shè)直線的方程為，代入有，
所以，結(jié)合，得.
故答案為:
31．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線為拋物線內(nèi)一點，不經(jīng)過點的直線與拋物線相交于兩點，連接分別交拋物線于兩點，若對任意直線，總存在，使得成立，則該拋物線方程為______.

【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)推出，結(jié)合點在拋物線上可得，，即可求得p，即得答案.
【詳解】由題意設(shè)，
由可得：，
可得：，同理可得：，
則：（*）
將兩點代入拋物線方程得，
作差可得：，而，即，
同理可得，，代入（*），可得，
此時拋物線方程為，
故答案為：

四、解答題(共0分)
32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，，Q在準(zhǔn)線上，Q的縱坐標(biāo)為，點M到F與到定點的距離之和的最小值為4．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點，求的面積．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由已知可推得，求出的坐標(biāo)代入，即可得出關(guān)于的方程，求解即可得出；
（2）由已知可求得直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達定理求出弦長.然后根據(jù)點到直線的距離求出點到直線的距離，即可得出面積.
【詳解】（1）由已知可得，，.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值.
又，所以，
即，整理可得，
因為，所以.
所以，拋物線C的方程為.
（2）由（1）知，，所以直線的方程為，.
聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，.
設(shè)，，則由韋達定理可得.
所以.
又點到直線，即直線的距離為，
所以，的面積.

33．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，為的準(zhǔn)線上的一點，直線的斜率為的面積為1．
(1)求的方程；
(2)過點作一條直線，交于兩點，試問在上是否存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或

【分析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)直線的斜率為，得到，再根據(jù)的面積為求出，即可得解；
（2）假設(shè)存在點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方．設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達定理，又，，化簡，即可得到方程，求出的值，即可得解.
【詳解】（1）解：由題意知，設(shè)點的坐標(biāo)為，
則直線的斜率為．
因為直線的斜率為，所以，即，
所以的面積，
解得或（舍去），
故拋物線的方程為．
（2）解：假設(shè)存在點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方．
由（1）得，拋物線的準(zhǔn)線的方程為．
設(shè)直線的方程為，，，，
聯(lián)立得，
所以，，．
因為，

，
所以，解得或．
故存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方，其坐標(biāo)為或．
34．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線E：的焦點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為，橢圓C：的左，右焦點分別是，，且與E有一個共同的焦點，線段的中點是C的左頂點．過點的直線l交C于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線交x軸于點M．
(1)求C的方程；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）由題意得，從而得出橢圓C的焦點，，由線段的中點為求得，，可得C的方程；
（2）直線l的斜率存在，設(shè)為k，分兩種情況討論：當(dāng)時，直接驗證結(jié)論；當(dāng)時，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出線段AB的中點坐標(biāo)，得到線段AB的垂直平分線的方程，求得坐標(biāo)及，利用弦長公式求得，從而證得結(jié)論．
【詳解】（1）拋物線E的焦點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為，
所以，即．
因為橢圓C與拋物線E有一個共同的焦點，所以，，
所以線段的中點為，所以，．
故C的方程為．
（2）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k．
當(dāng)時，點A，B恰為橢圓C的左、右頂點，y軸為線段AB的垂直平分線，
，，，則．
當(dāng)時，直線l的方程為，設(shè)，，線段AB的中點為，．
聯(lián)立，消去y，得，
則，，
所以，
則．
由題意知，線段AB的垂直平分線的方程為，
令，得，
則．
又，
所以．
綜上，．

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