?第4講　拋物線
目錄
第一部分：知識強化
第二部分：重難點題型突破
突破一：拋物線定義
突破二：拋物線標準方程
突破三：拋物線弦長
突破四：拋物線中點弦
突破五：拋物線上點到定點（定直線）最值
突破六：拋物線中定點，定值問題
突破七：拋物線中定直線問題
第三部分：沖刺重難點特訓
第一部分：知識強化
1、拋物線的定義
（1）拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
（2）拋物線的數(shù)學表達式：(為點到準線的距離).
2、拋物線的簡單幾何性質(zhì)
標準方程
（）
（）
（）
（）
圖形




范圍
，
，
，
，
對稱軸
軸
軸
軸
軸
焦點坐標




準線方程




頂點坐標

離心率

通徑長

3、直線與拋物線的位置關系
設直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于的方程

(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;
當時,直線與拋物線相切,有一個切點;
當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.
(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
4、直線和拋物線
（1）拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為.
（2）拋物線的焦點弦
過拋物線（）的焦點的一條直線與它交于兩點，，則
①，；②；③.
說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）
（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；
（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.

第二部分：重難點題型突破
突破一：拋物線定義
1．（2022·福建·莆田第六中學高二階段練習）已知點是拋物線上的動點，點A的坐標為，則點到點A的距離與到軸的距離之和的最小值為（????）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【詳解】如圖，⊥軸，連接，
由拋物線定義得：拋物線的準線方程為，焦點坐標為，
故，
則點到點A的距離與到軸的距離之和，
連接，與拋物線交于點，此時，
故點到點A的距離與到軸的距離之和的最小值為，
其中，故最小值為.

故選：B
2．（2022·重慶市育才中學高三階段練習）已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點，為弦的中點，為上一點，則的最小值為（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【詳解】拋物線，焦點，準線，直線AB的方程為，
由消去y并整理得：，設，，則，
弦中點Q的橫坐標，過點作準線l的垂線，垂足為點，如圖，

令交拋物線于點，在拋物線上任取點，過作于點，連接，
即有，，
當且僅當點與P重合時取等號，
所以的最小值為.
故選：A.
3．（2022·河南·民權縣第一高級中學模擬預測（文））已知拋物線的焦點為為該拋物線上一點，且（點為坐標原點），則（????）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【詳解】當時，，解得，故，
，，其鄰角的余弦值為，
所以，化簡得，解得（負舍）
故選：C.
4．（2022·廣西·高二階段練習）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點在圓上，則的最小值為（????）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【詳解】由題意知，圓心，半徑，拋物線的焦點，準線.

如圖，作于，因為在拋物線上，所以.
因為，，當三點共線時，取等號.
又，則當三點共線時，取等號.
過點，作，垂足為，交圓于點，交拋物線于，
此時，有四點共線，則上述兩式可同時取等號.
所以有，.
所以，的最小值為8.
故選：C.
5．（2022·湖南·湘府中學高二階段練習）設F為拋物線的焦點，點M在C上，點N在準線l上，滿足，，則（　?。?br /> A． B． C．2 D．
【答案】C
【詳解】由題，，拋物線焦點為，準線為，
設準線與軸交點為，如圖所示，
由題知，由定義可知，
因為，所以是正三角形，
則對，因為，所以，
所以，
故選：C

6．（2022·四川·南江中學高三階段練習（理））已知拋物線C：的焦點為F，點N是拋物線C的對稱軸與它的準線的交點，點M是拋物線上的任意一點，則的最大值為_____________．
【答案】
【詳解】如圖所示，過作準線的垂線，垂足記為.

由已知得，，根據(jù)拋物線的定義知，點M到焦點F的距離等于點M到準線的距離．故．在直角△MNH中，表示的倒數(shù)，故求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最小值，此時，也最小值．而的最小值就是曲線在點M處切線過N點時的斜率．由得，故曲線在點處的方程為：．而點在此切線上，故有，則，取，此時切線斜率為：．故切線的傾斜角為45°，即．∴，故所求的最大值為．
故答案為：
7．（2022·四川·樹德中學高二期中（理））已知M為拋物線上一點，過拋物線C的焦點F作直線的垂線，垂足為N，則的最小值為______．
【答案】##
【詳解】由知，焦點，準線的方程為，
由可得，
由解得，即直線恒過定點，
設中點為，則，由題意知，
所以的軌跡為以為直徑的圓，
則圓的方程為，
過作于，則，

所以由圖知，當運動到時，運動到，共線時，
的最小值為圓上動點到準線的距離的最小值，即.
故答案為：
8．（2022·河南·鄭州外國語學校高二期中）若點滿足方程，則點P的軌跡是______.（填圓錐曲線的類型，填方程不給分）
【答案】拋物線
【詳解】由，得，
所以等式左邊表示點到點的距離，右邊表示點到直線的距離，即點到點的距離與到直線的距離相等，
又因為點不在直線上，由拋物線的定義知，點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線.
故答案為：拋物線.
突破二：拋物線標準方程
1．（2022·云南·玉溪市民族中學模擬預測（文））已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線C的準線l上，線段與y軸交于點A，與拋物線C交于點B，若，則（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】設l與x軸的交點為H，由O為中點，知點A為的中點，
因為，所以．
過點B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，
所以，則，所以．
故選：C

2．（2022·全國·高三專題練習）設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為（　?。?br /> A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【答案】C
【詳解】由可得，
設，則，則，
設以為直徑的圓上任一點，
則，，
則，
所以以為直徑的方程為，
將代入得：，因為，
即，解得：，
由得：，
解得：或，則方程為或，
故選：C
3．（2022·全國·模擬預測（文））已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線上且（0為坐標原點），過點M且與拋物線相切的直線與y軸相交于點N，若，則拋物線的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，，不妨設，則，化簡為所以，則直線的斜率為：，所以所在直線方程為：
，令得．則，所以
所以拋物線的方程為．
故選：C．
4．（2022·北京市第二十二中學高二期中）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點到準線的距離為4的拋物線方程是（????）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【詳解】依題意設拋物線方程為．
因為焦點到準線的距離為4，
所以，所以，
所以拋物線方程為或．
故選：C．
5．（2022·四川·閬中中學高二階段練習（理））已知拋物線的焦點是，是的準線上一點，線段與交于點，與軸交于點，且，（為原點），則的方程為___________.
【答案】
【詳解】過點作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，，
又，所以，所以，
所以.又，所以，
所以，則，
所以拋物線的方程為.

故答案為：.
6．（2022·全國·高二課時練習）設拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上，點在拋物線上，，若以線段為直徑的圓過坐標軸上距離原點為1的點，試寫出一個滿足題意的拋物線的方程為______．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】由題意，若拋物線的焦點在軸正半軸上，則可設拋物線方程為（），，，由焦半徑公式可知，圓的半徑為，
得，并且線段中點的縱坐標是，所以以線段為直徑的圓與軸相切，切點坐標為或，所以，
即點的坐標為，代入拋物線方程（）得，解得或，即當點在軸正半軸上時，拋物線方程是或.
同理，當點在軸負半軸時，拋物線方程為或，當點F在軸正半軸時，拋物線方程為或，當點在軸負半軸時，拋物線方程為或．
故答案為：（答案不唯一）.
7．（2022·全國·高二單元測試）已知拋物線過點，則其準線方程為___________.
【答案】##x+1=0
【詳解】解：拋物線經(jīng)過點，
，
解得：，
拋物線的準線方程為，
故答案為：．
突破三：拋物線弦長
1．（2022·云南·玉溪市民族中學模擬預測（文））已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線C的準線l上，線段與y軸交于點A，與拋物線C交于點B，若，則（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】設l與x軸的交點為H，由O為中點，知點A為的中點，
因為，所以．
過點B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，
所以，則，所以．
故選：C

2．（2022·全國·高三專題練習）設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為（　?。?br /> A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【答案】C
【詳解】由可得，
設，則，則，
設以為直徑的圓上任一點，
則，，
則，
所以以為直徑的方程為，
將代入得：，因為，
即，解得：，
由得：，
解得：或，則方程為或，
故選：C
3．（2022·全國·模擬預測（文））已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線上且（0為坐標原點），過點M且與拋物線相切的直線與y軸相交于點N，若，則拋物線的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，，不妨設，則，化簡為所以，則直線的斜率為：，所以所在直線方程為：
，令得．則，所以
所以拋物線的方程為．
故選：C．
4．（2022·北京市第二十二中學高二期中）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點到準線的距離為4的拋物線方程是（????）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【詳解】依題意設拋物線方程為．
因為焦點到準線的距離為4，
所以，所以，
所以拋物線方程為或．
故選：C．
5．（2022·四川·閬中中學高二階段練習（理））已知拋物線的焦點是，是的準線上一點，線段與交于點，與軸交于點，且，（為原點），則的方程為___________.
【答案】
【詳解】過點作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，，
又，所以，所以，
所以.又，所以，
所以，則，
所以拋物線的方程為.

故答案為：.
6．（2022·全國·高二課時練習）設拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上，點在拋物線上，，若以線段為直徑的圓過坐標軸上距離原點為1的點，試寫出一個滿足題意的拋物線的方程為______．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】由題意，若拋物線的焦點在軸正半軸上，則可設拋物線方程為（），，，由焦半徑公式可知，圓的半徑為，
得，并且線段中點的縱坐標是，所以以線段為直徑的圓與軸相切，切點坐標為或，所以，
即點的坐標為，代入拋物線方程（）得，解得或，即當點在軸正半軸上時，拋物線方程是或.
同理，當點在軸負半軸時，拋物線方程為或，當點F在軸正半軸時，拋物線方程為或，當點在軸負半軸時，拋物線方程為或．
故答案為：（答案不唯一）.
7．（2022·全國·高二單元測試）已知拋物線過點，則其準線方程為___________.
【答案】##x+1=0
【詳解】解：拋物線經(jīng)過點，
，
解得：，
拋物線的準線方程為，
故答案為：．
突破四：拋物線中點弦
1．（2022·全國·高三專題練習）已知A，B在拋物線上，且線段AB的中點為M(1，1)，則|AB|＝（????）
A．4 B．5
C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，設
線段AB的中點為M(1，1)
故
且
兩式相減得：
故
故直線AB的方程為：，即
將直線與拋物線聯(lián)立：
即

則
故選：C
2．（2022·寧夏六盤山高級中學高二階段練習（理））直線與拋物線交于兩點，且線段中點的橫坐標為1，則的值為（????）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：設，由，
消去y得，
由題意得，
∴，.
故選：B
3．（2022·黑龍江·綏棱縣第一中學高三階段練習）斜率為k的直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，與圓（x-5）2+y2 =9相切于點M，且M為線段AB的中點，則k=（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則又兩式相減得，則.設圓心為C（5，0），則kOM=，因為直線l與圓相切，所以，解得，代入得，故選A.
4．（2022·北京二中高三階段練習）已知A，B是拋物線上的兩點，線段AB的中點為，則直線AB的方程為__________．
【答案】
【詳解】依題意，設，
若，則直線，由拋物線的對稱性可知，線段AB的中點為，顯然不符合題意，故，
因為A，B是拋物線上的兩點，
所以，兩式相減得，，整理得，
因為線段AB的中點為，
所以，即，
又，所以，
所以直線AB的方程為，即.
故答案為：.
5．（2022·河南·濮陽南樂一高高二階段練習（文））直線AB過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點，且線段AB的中點的橫坐標是3，則直線AB的斜率是_____________.
【答案】1或
【詳解】因為直線AB過拋物線的焦點F且與拋物線交于A、B兩點，
所以斜率不為0，
設直線AB方程為，
與拋物線方程聯(lián)立得：，
由韋達定理得：，
所以，
解得
所以直線的方程為，
所以.
故答案為：1或
6．（2022·河南省?？h第一中學高二階段練習）已知拋物線上的點（點位于第四象限）到焦點F的距離為5.
(1)求p，m的值；
(2)過點作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點是線段的中點，求直線l的方程.
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）因為拋物線過點，且點到焦點F的距離為5，由拋物線的定義可得：，解得：，
所以拋物線方程為：，將點代入可得：，
因為點位于第四象限，所以，
所以，.
（2）設，因為在拋物線上，
則，兩式作差可得：，
所以直線的斜率，
因為點是線段的中點，所以，則直線的斜率，
所以直線的方程為，也即（經(jīng)檢驗，所求直線符合條件）.
7．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學高一期末）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上.
(1)求點F的坐標和拋物線C的準線方程；
(2)過點F的直線l交拋物線C于A、兩點，且線段AB的中點為，求直線l的方程及.
【答案】(1)的坐標為，準線方程為
(2)，
【詳解】（1）點在拋物線上，，，
的坐標為，拋物線C的準線方程為.
（2）由題可知，直線l經(jīng)過與，
的斜率，直線l的方程為，
設A，B的坐標分別為，，
則由拋物線的定義可知，
又AB的中點為，，
8．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學高二期末）已知拋物線的焦點為，直線與C交于A，B兩點．
(1)若的傾斜角為且過點F，求；
(2)若線段AB的中點坐標為，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為的傾斜角為，，
所以直線的方程為，
聯(lián)立可得，
設，則，
所以；
（2）設，則，
所以，
因為線段AB的中點坐標為，所以，
所以，所以的斜率為，
所以的方程為，即.
突破五：拋物線上點到定點（定直線）最值
1．（2022·福建·莆田第六中學高二階段練習）已知點是拋物線上的動點，點A的坐標為，則點到點A的距離與到軸的距離之和的最小值為（????）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【詳解】如圖，⊥軸，連接，
由拋物線定義得：拋物線的準線方程為，焦點坐標為，
故，
則點到點A的距離與到軸的距離之和，
連接，與拋物線交于點，此時，
故點到點A的距離與到軸的距離之和的最小值為，
其中，故最小值為.

故選：B
2．（2022·陜西·西安市第三中學高二期中）已知拋物線：的焦點為，圓：，過點的直線與拋物線交于，兩點，與圓交于，兩點，且點，在同一象限，則的最小值為（????）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【詳解】由已知得．顯然，直線不與軸垂直．
圓：的圓心為,半徑為3,
設直線：．聯(lián)立 ，得，．
設，， ，則，得，
所以，
當且僅當，時等號成立，故的最小值為12，
故選：B
3．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線上的動點，為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設，則，
，
，
，
則當時，，即的最小值為.
故選：C.
4．（2022·江西·南昌十五中高二階段練習（理））的最小值為（????）
A． B． C． D．5
【答案】B
【詳解】設，則
表示點到點和到點的距離之和，
因為點在拋物線上，且F為C的焦點，準線為 ，
并且，由于 ，所以點在拋物線內(nèi)，
作圖如下：

，
過P點作準線的垂線，垂足為 ，根據(jù)拋物線的性質(zhì)有 ，
過A點作準線的垂線，垂足為B，與拋物線C交于H點，
顯然當P點與H點重合時，最小，最小值= ；
故選：B.
5．（2022·江蘇南通·高三階段練習）已知是拋物線上一點，則的最小值為______.
【答案】
【詳解】如下圖示，過拋物線上的動點作直線的垂線交直線于，過點作軸的垂線交軸于Q，交準線于G點，F(xiàn)為拋物線焦點.

則，動點到軸的距離為.
，當且僅當三點共線時，有最小值，即（為點到直到的距離）.
而到直線距離為：.
，
.
最小值為：.
故答案為：.
6．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學高二期末（理））已知P為拋物線y2＝4x上的一個動點，直線l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為_______
【答案】
【詳解】將P點到直線l1：的距離轉(zhuǎn)化為點P到焦點F(1，0)的距離，過點F作直線l2的垂線，交拋物線于點P，此即為所求最小值點，
∴P到兩直線的距離之和的最小值為＝2，
故答案為：.

7．（2022·全國·高二課時練習）過拋物線焦點F作斜率分別為、的兩條直線、，其中交拋物線C于A、B兩點，交拋物線C于D、E兩點，若，則的最小值為______．
【答案】24
【詳解】由題意得：，
則直線為：，與聯(lián)立得：，
設，
則，，，
則，
同理可求得：，
所以，當且僅當時，等號成立，
故答案為：24
8．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學校三模（文））已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且點的坐標為，則的最大值是_______.
【答案】3
【詳解】，由拋物線的定義知等于到準線的距離，
記直線與準線的夾角為，可得，
①若斜率不存在，則原式，
②若斜率存在，當PA與拋物線相切時，最小，
設的直線方程為，聯(lián)立得
，由得，即，
故，此時
故答案為：3
9．（2022·河南·鄭州市回民高級中學高二期中）已知P為拋物線上任意一點，則點P到y(tǒng)軸的距離與點P到直線的距離之和的最小值為___________.
【答案】
【詳解】拋物線的焦點，準線，拋物線上的點P到y(tǒng)軸的距離等于它到準線距離減去1的差，
由拋物線定義知，，令點P到直線的距離為，
于是得點P到y(tǒng)軸的距離與點P到直線的距離之和為，
過P作于M，連PF，MF，過點F作于Q，交拋物線于點，如圖，

顯然，，當點P與點不重合時，有：
，
則當點P是過焦點F作直線l的垂線與拋物線交點時，點P到y(tǒng)軸的距離與點P到直線的距離之和取得最小值，
此最小值為.
故答案為：
突破六：拋物線中定點，定值問題
1．（2022·全國·高三階段練習）已知拋物線的準線與x軸的交點為H，直線過拋物線C的焦點F且與C交于A，B兩點，的面積的最小值為4．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若過點的動直線l交C于M，N兩點，試問拋物線C上是否存在定點E，使得對任意的直線l，都有，若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由．
【答案】(1)
(2)存在定點
【詳解】（1）斜率不為零，設代入，，
設，則，
，
當時，取最小值，，，拋物線C的方程為：．
（2）假設存在，設，由題意，斜率不為零，
設的方程為代入，可得，
，，，
故，即，即，
，解得，故存在定點滿足題意．
2．（2022·上海長寧·一模）已知拋物線的焦點為F，準線為l；
(1)若F為雙曲線的一個焦點，求雙曲線C的離心率e；
(2)設l與x軸的交點為E，點P在第一象限，且在上，若，求直線EP的方程；
(3)經(jīng)過點F且斜率為的直線l'與相交于A，B兩點，O為坐標原點，直線分別與l相交于點M，N；試探究：以線段MN為直徑的圓C是否過定點；若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)以線段MN為直徑的圓C過定點，理由見詳解
【詳解】（1）拋物線的焦點為，準線為，
雙曲線的方程為雙曲線，即，則，
由題意可知：，則，
故雙曲線C的離心率.
（2）由（1）可知：，
過點P作直線的垂線，垂足為M，則，
∵，且，
∴，
故直線EP的傾斜角，斜率，
∴直線EP的方程為，即.

（3）以線段MN為直徑的圓C過定點，理由如下：
設直線，
聯(lián)立方程，消去y可得：，
則可得：，
∵直線，當時，，
∴，
同理可得：，
∵
，

，
則線段MN為直徑的圓C的圓心，半徑，
故圓C的方程為，整理得，
令，則，解得或，
故以線段MN為直徑的圓C過定點.
3．（2022·廣東廣州·高二階段練習）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，B在x軸的上方，且點B到F的距離為5，且B的縱坐標為．

(1)求拋物線C的標準方程與點B的坐標；
(2)設點M為拋物線C上異于A，B的點，直線MA與MB分別交拋物線C的準線于E，G兩點，x軸與準線的交點為H，求證：為定值，并求出定值．
【答案】(1)，
(2)定值為4，證明見解析
【詳解】（1）由題意得：，因為點B到F的距離為5，且B在x 軸的上方，且B的縱坐標為所以，故，即，因為得，
故拋物線C的方程為：，此時.
（2）由（1）得：，線方程，
直線l的方程：，
由，解得或，于是得．
設點，又題意且，
所以直線MA：，即，令，得，即.
同理直線MB：，即，
令，得，
即，
故．
4．（2022·江蘇·南京市中華中學高二階段練習）已知拋物線C：x2＝4y，A，B是拋物線上異于原點的O的兩個動點．
(1)若M點坐標為（0，3），求AM的最小值：
(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，問：是否存在定點R，使得RH為定值．若存在，求出R點坐標，若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在定點，使得RH為定值
（1）
設，，則，時，等號成立；
（2）
由題意可設AB方程為，，
由，得．
由得，，，
∴（舍去）或
則直線AB過定點
又，則H在以ON為直徑的圓上（不含y軸交點）
令ON的中點為，則，
所以，存在定點，使得RH為定值。

突破七：拋物線中定直線問題
1．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線，圓，直線與拋物線和圓同時相切.
（1）求和的值；
（2）若點的坐標為，過點且斜率為的直線與拋物線分別相交于、兩點（點在點的右邊），過點的直線與拋物線分別相交于、兩點，直線與不重合，直線與直線相交于點，求證：點在定直線上.
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【詳解】（1）圓的標準方程為，可知圓的圓心為，半徑為，
由直線與圓相切，可得，解得或（舍去），
聯(lián)立方程，消去后整理為，
因為直線與拋物線相切，所以，得，
故，.
（2）證明：直線的方程為，
聯(lián)立方程，解得或，
則點的坐標為，點的坐標為，
設直線的方程為，
點的坐標為，點的坐標為
聯(lián)立方程，消去整理為，
有，，
，
由得或，
直線的斜率為，
直線的斜率為，
直線的方程為，化為，
直線的方程為，化為，
聯(lián)立直線、的方程消去后得，
得，因為直線與不重合，所以，所以，
故點在定直線上.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點
Ⅰ求橢圓的標準方程；
Ⅱ已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點的動直線與拋物線相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在定直線上．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.
【詳解】解：Ⅰ由題意可知解得，，
故橢圓的方程為．
證明Ⅱ由已知可得拋物線的標準方程為，
設點Q，A，B的坐標分別為，，，
由題意知，不妨設A在P，Q之間，設，，
又點Q在P，B之間，故，
，
，
由可得解得，，
點A在拋物線上，
，
即，，
由可得解得，，
點B在拋物線上，
，
即，，．
由可得，
，
，
點Q總在定直線上

第三部分：沖刺重難點特訓
一、單選題
1．（2022·北京·海淀教師進修學校附屬實驗學校高二階段練習）拋物線的焦點到準線的距離為（????）
A． B． C． D．1
【答案】B
【詳解】解：由可得拋物線標準方程為：，
所以拋物線的焦點為，準線方程為，
所以焦點到準線的距離為，
故選：B.
2．（2022·河北·涉縣第一中學高三期中）是拋物線上一點，是拋物線的焦點，則（????）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【詳解】解：因為是拋物線上一點，
所以，
則拋物線的準線方程為，
由拋物線的定義可知，，
故選：A.
3．（2022·湖北·高二階段練習）已知拋物線，則拋物線的焦點坐標為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】已知，則標準方程為，焦點在x軸上，
所以，
所以焦點坐標為，
故選：A.
4．（2022·江蘇連云港·高二期末）已知點P在拋物線上．若點P到拋物線焦點的距離為4，則點P的坐標是（????）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【詳解】對于拋物線??，準線方程為 ，
設點，根據(jù)拋物線得定義得：
點P到拋物線焦點的距離等于點P到準線的距離為，所以，
則，，所以點P的坐標為或；
故選：C．
5．（2022·陜西·乾縣第二中學高二階段練習）已知斜率為正數(shù)的直線過拋物線的焦點，且與的其中一個交點為，與的準線交于點，若，則直線的斜率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】依題意，直線的斜率為正數(shù)，傾斜角為銳角，
如圖，過點作垂直于的準線，垂足為，
則根據(jù)拋物線定義可知，而，．
設直線的傾斜角為，則，所以，
于是直線的斜率為．
故選：C

6．（2022·上海虹口·一模）已知是橢圓與拋物線的一個共同焦點，與相交于A，B兩點，則線段AB的長等于（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】橢圓的右焦點坐標為，
則拋物線的焦點坐標為，
則，則，拋物線
由，解得或
則
故選：B
7．（2022·福建·廈門外國語學校石獅分校高二期中）已知點是拋物線上的動點，焦點為F，點，則的最小值為（????）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【詳解】∵，則，
∴焦點，準線l方程，點在拋物線上方，
設過A作l的垂線，垂足為E，∴由拋物線的定義知，，
如圖所示，

∴，當且僅當B、A、E三點共線時取等號，
當B、A、E三點共線時，，故的最小值為，
故選：C.
8．（2022·福建·莆田第六中學高二階段練習）已知點是拋物線上的動點，點A的坐標為，則點到點A的距離與到軸的距離之和的最小值為（????）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【詳解】如圖，⊥軸，連接，
由拋物線定義得：拋物線的準線方程為，焦點坐標為，
故，
則點到點A的距離與到軸的距離之和，
連接，與拋物線交于點，此時，
故點到點A的距離與到軸的距離之和的最小值為，
其中，故最小值為.

故選：B
9．（2022·江西·南昌二中高二階段練習）勞動教育是國民教育體系的重要內(nèi)容，是學生成長的必要途徑，具有樹德、增智、強體、育美的綜合育人價值．南昌二中作為全國雙新示范校，“勞動教育課程”緊跟時代步伐，特在校園的一角專門開辟了一塊勞動基地——心遠農(nóng)場（如圖1）．現(xiàn)某社團為農(nóng)場節(jié)水計劃設計了如下噴灌技術，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個方向上呈拋物線狀，如圖2所示．現(xiàn)要求水流最高點B離地面4m，點B到管柱OA所在直線的距離為3m，且水流落在地面上以O為圓心，以7m為半徑的圓上，則管柱OA的高度為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】以B為坐標原點建立平面直角坐標系如圖所示，

記BM⊥OC且垂足為M，AD⊥y軸且垂足為D，
設拋物線方程為，
由題意可知：，，，所以，
所以，代入拋物線方程可得，所以，
所以拋物線方程為，
又因為在拋物線上，所以，解得，所以，
所以，所以OA的高度為，
故選：B．
10．（2022·四川省岳池中學高三階段練習（理））橢圓與拋物線的公共弦過公共焦點，且，則橢圓離心率（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】拋物線的焦點為，
因為橢圓與拋物線的公共弦過公共焦點，則、關于軸對稱，
不妨設點、，所以，，因為，則，
從而可知橢圓的下焦點為，上焦點為，則，
由橢圓的定義可得，又因為，
因此，該橢圓的離心率為.
故選：C.
二、多選題
11．（2022·江蘇連云港·高二期末）下列結論判斷正確的是（????）
A．平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡一定是拋物線
B．方程（，，）表示的曲線是橢圓
C．平面內(nèi)到點，距離之差等于的點的軌跡是雙曲線
D．雙曲線與（，）的離心率分別是，，則
【答案】BD
【詳解】對于A，由拋物線定義，直線不經(jīng)過點（當時，與定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是過點且與直線的垂直的直線，不是拋物線），故選項A錯誤；
對于B，方程（，，）可化為，且由，，有或，即是焦點在軸或焦點在軸的橢圓的標準方程，故方程（，，）表示的曲線是橢圓，選項B正確；
對于C，由雙曲線的定義，平面內(nèi)與兩定點，的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于）的點的軌跡叫作雙曲線，所以平面內(nèi)到點，距離之差等于（）的點的軌跡是雙曲線一支，故選項C錯誤；
對于D，雙曲線（，）的離心率，雙曲線（，）的離心率，故，故選項D正確.
故選：BD.
12．（2022·山西·晉城市第二中學校高二階段練習）已知拋物線C：，點F是拋物線C的焦點，點P是拋物線C上的一點，點，則下列說法正確的是（????）
A．拋物線C的準線方程為
B．若，則△PMF的面積為2
C．|的最大值為
D．△PMF的周長的最小值為
【答案】ACD
【詳解】，，，準線方程為，故A正確；
根據(jù)拋物線定義得，，,
軸，當時，，
若點在第一象限時，此時,
故，的高為1，故，
若點在第四象限，此時，故，
的高為1，故，故B錯誤；
，,故C正確；
（連接，并延長交于拋物線于點，此時即為最大值的情況，
圖對應如下）

過點作準線，垂足為點，

的周長，
若周長最小，則長度和最小，顯然當點位于同一條直線上時，的和最小，
此時,
故周長最小值為，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．（2022·山東·棗莊市第三中學高二階段練習）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對稱軸方向射出.有拋物線（如圖）一條平行軸的光線射向上一點點，經(jīng)過的焦點射向上的點，再反射后沿平行軸的方向射出，若兩平行線間的最小距離是9，則的方程是__________.

【答案】
【詳解】
如圖，為準線，分別作為的中位線，
根據(jù)拋物線定義有：當重合時取等號，此時PQ為平行線之間的距離，所以
故答案為：
14．（2022·貴州·鎮(zhèn)遠縣文德民族中學校高三階段練習（文））已知拋物線的焦點為，準線為，直線交拋物線于，兩點，過點作準線的垂線，垂足為，若等邊的面積為，則的面積為______.
【答案】
【詳解】解：如圖，因為為等邊三角形，且面積為，
所以，，解得，
因為，
所以，
因為由焦半徑公式得：，解得，
所以，拋物線，直線的方程為：.
所以，聯(lián)立方程得，解得，
因為，
所以
所以
故答案為：

四、解答題
15．（2022·四川·成都七中高二階段練習（理））已知橢圓的左右焦點分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點為M，線段CD的中點為N，證明：直線過定點，并求出該定點的坐標．
【答案】(1)；
(2)證明見解析，定點.
【詳解】（1）拋物線焦點坐標為，故.
設，由拋物線定義得：點P到直線的距離為t.
，由余弦定理，得.
整理，得，解得或（舍去）.
由橢圓定義，得，
，
∴橢圓的方程為；
（2）設，
聯(lián)立，
即，
，代入直線方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直線MN過定點.
16．（2022·全國·高三階段練習）已知拋物線的準線與x軸的交點為H，直線過拋物線C的焦點F且與C交于A，B兩點，的面積的最小值為4．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若過點的動直線l交C于M，N兩點，試問拋物線C上是否存在定點E，使得對任意的直線l，都有，若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由．
【答案】(1)
(2)存在定點
【詳解】（1）斜率不為零，設代入，，
設，則，
，
當時，取最小值，，，拋物線C的方程為：．
（2）假設存在，設，由題意，斜率不為零，
設的方程為代入，可得，
，，，
故，即，即，
，解得，故存在定點滿足題意．
17．（2022·上海長寧·一模）已知拋物線的焦點為F，準線為l；
(1)若F為雙曲線的一個焦點，求雙曲線C的離心率e；
(2)設l與x軸的交點為E，點P在第一象限，且在上，若，求直線EP的方程；
(3)經(jīng)過點F且斜率為的直線l'與相交于A，B兩點，O為坐標原點，直線分別與l相交于點M，N；試探究：以線段MN為直徑的圓C是否過定點；若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)以線段MN為直徑的圓C過定點，理由見詳解
【詳解】（1）拋物線的焦點為，準線為，
雙曲線的方程為雙曲線，即，則，
由題意可知：，則，
故雙曲線C的離心率.
（2）由（1）可知：，
過點P作直線的垂線，垂足為M，則，
∵，且，
∴，
故直線EP的傾斜角，斜率，
∴直線EP的方程為，即.

（3）以線段MN為直徑的圓C過定點，理由如下：
設直線，
聯(lián)立方程，消去y可得：，
則可得：，
∵直線，當時，，
∴，
同理可得：，
∵
，

，
則線段MN為直徑的圓C的圓心，半徑，
故圓C的方程為，整理得，
令，則，解得或，
故以線段MN為直徑的圓C過定點.


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