直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的問(wèn)題，若直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可使用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，利用焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論求解題目．
【典例】1 (1)(2020·石家莊模擬)已知F是拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為C，過(guò)C作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于C′，若CC′的中點(diǎn)為M(1,4)，則p等于( )
A．4 B．8 C．4eq \r(2) D．8eq \r(2)
(2)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于( )
A．4 B.eq \f(9,2) C．5 D．6
【典例】2 已知拋物線(xiàn)C：y2＝8x，P為C上位于第一象限的任一點(diǎn)，直線(xiàn)l與C相切于點(diǎn)P，連接PF并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)M，過(guò)P點(diǎn)作l的垂線(xiàn)交C于另一點(diǎn)N，求△PMN的面積S的最小值．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET 【拓展訓(xùn)練】
1．設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30° 的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
2．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120° 的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則eq \f(|AF|,|BF|)的值等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
3．已知拋物線(xiàn)C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(－2,2)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，若∠AMB＝90°，則k等于( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．2
4.如圖，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線(xiàn)AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè)，記△AFG，△CQG的面積為S1，S2.
(1)求p的值及拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程；
(2)求eq \f(S1,S2)的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．
培優(yōu)點(diǎn)20 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題
【方法總結(jié)】
直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的問(wèn)題，若直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可使用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，利用焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論求解題目．
【典例】1 (1)(2020·石家莊模擬)已知F是拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為C，過(guò)C作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于C′，若CC′的中點(diǎn)為M(1,4)，則p等于( )
A．4 B．8 C．4eq \r(2) D．8eq \r(2)
【答案】 B
【解析】 如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵M(jìn)(1,4)，∴y1＋y2＝8，
又Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(p,2)，4))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∴kAB＝2，
∴直線(xiàn)AB：y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
代入y2＝2px，
得y2－py－p2＝0，
∴y1＋y2＝p＝8.
(2)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于( )
A．4 B.eq \f(9,2) C．5 D．6
【答案】 B
【解析】 不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，如圖，設(shè)A，B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于點(diǎn)E，
設(shè)|BF|＝m，直線(xiàn)l的傾斜角為θ，
則|AF|＝2m，|AB|＝3m，
由拋物線(xiàn)的定義知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以tan θ＝2eq \r(2).
則sin2θ＝8cs2θ，所以sin2θ＝eq \f(8,9).
由y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長(zhǎng)公式得|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2).
【典例】2 已知拋物線(xiàn)C：y2＝8x，P為C上位于第一象限的任一點(diǎn)，直線(xiàn)l與C相切于點(diǎn)P，連接PF并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)M，過(guò)P點(diǎn)作l的垂線(xiàn)交C于另一點(diǎn)N，求△PMN的面積S的最小值．
【解析】解 由題意知F(2,0)，設(shè)P(x0，y0)(y0>0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),8)，y1))，
Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),8)，y2))，切線(xiàn)l的方程為x－x0＝t(y－y0)，
則eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),8)－2，y1))，eq \(FP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),8)－2，y0))，
由M，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線(xiàn)，可知eq \(FM,\s\up6(→))∥eq \(FP,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),8)－2))y0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),8)－2))y1＝0，
因?yàn)閥0≠y1，所以化簡(jiǎn)可得y0y1＝－16.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－x0＝t?y－y0?，,y2＝8x，))可得y2－8ty＋8ty0－8x0＝0，
因?yàn)橹本€(xiàn)l與拋物線(xiàn)相切，故Δ＝64t2－32ty0＋4yeq \\al(2,0)＝0，故t＝eq \f(y0,4).
所以直線(xiàn)PN的方程為y－y0＝－eq \f(y0,4)(x－x0)，
即y0x＋4y－4y0－eq \f(y\\al(3,0),8)＝0，
所以點(diǎn)M到直線(xiàn)PN的距離為
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1)y0,8)＋4y1－4y0－\f(y\\al(3,0),8))),\r(y\\al(2,0)＋16))，
將y1＝－eq \f(16,y0)代入可得
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(32,y0)＋4y0＋\f(y\\al(3,0),8))),\r(y\\al(2,0)＋16))＝eq \f(?y\\al(2,0)＋16?2,8|y0|\r(y\\al(2,0)＋16))，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0x＋4y－4y0－\f(y\\al(3,0),8)＝0，,y2＝8x，))消去x可得，
y0y2＋32y－yeq \\al(3,0)－32y0＝0，
所以y0＋y2＝－eq \f(32,y0)，y2＝－eq \f(32,y0)－y0，
|PN|＝eq \r(1＋\f(16,y\\al(2,0)))|y0－y2|＝eq \r(1＋\f(16,y\\al(2,0)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2y0＋\f(32,y0)))＝eq \f(2?y\\al(2,0)＋16?\r(y\\al(2,0)＋16),y\\al(2,0))，
故S＝eq \f(1,2)d|PN|
＝eq \f(1,2)×eq \f(?y\\al(2,0)＋16?2,8|y0|\r(y\\al(2,0)＋16))×eq \f(2?y\\al(2,0)＋16?\r(y\\al(2,0)＋16),y\\al(2,0))
＝eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0)＋16,y0)))3＝eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(16,y0)))3
≥eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(y0·\f(16,y0))))3＝64，
當(dāng)且僅當(dāng)y0＝4時(shí)，“＝”成立，
此時(shí)，△PMN的面積S取得最小值，為64.
【方法總結(jié)】
設(shè)AB是拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的一條焦點(diǎn)弦，焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
(3)|AB|＝eq \f(2p,sin2α)(α為弦AB所在直線(xiàn)的傾斜角)．
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1．設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30° 的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
【答案】 D
【解析】 由已知得焦點(diǎn)為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，因此直線(xiàn)AB的方程為y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0.
方法一 聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，
化簡(jiǎn)得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，
故|yA－yB|＝eq \r(?yA＋yB?2－4yAyB)＝6.
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4).
方法二 聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程得x2－eq \f(21,2)x＋eq \f(9,16)＝0，故xA＋xB＝eq \f(21,2).
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12，
同時(shí)原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為d＝eq \f(|－3|,\r(42＋?－4\r(3)?2))＝eq \f(3,8)，
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(9,4).
2．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120° 的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則eq \f(|AF|,|BF|)的值等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
【答案】 A
【解析】 記拋物線(xiàn)y2＝2px的準(zhǔn)線(xiàn)為l′，如圖，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分別是A1，B1，C，則
cs∠ABB1＝eq \f(|BC|,|AB|)＝eq \f(|BB1|－|AA1|,|AF|＋|BF|)
＝eq \f(|BF|－|AF|,|AF|＋|BF|)，
即cs 60°＝eq \f(|BF|－|AF|,|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)，
得eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(1,3).
3．已知拋物線(xiàn)C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(－2,2)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，若∠AMB＝90°，則k等于( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．2
【答案】 D
【解析】 拋物線(xiàn)C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，
由題意可知直線(xiàn)AB的斜率一定存在，
所以設(shè)直線(xiàn)方程為y＝k(x－2)(k≠0)，
代入拋物線(xiàn)方程可得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝4＋eq \f(8,k2)，x1x2＝4，
所以y1＋y2＝eq \f(8,k)，y1y2＝－16，
因?yàn)椤螦MB＝90°，所以Meq \(A,\s\up6(→))·Meq \(B,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝eq \f(16,k2)－eq \f(16,k)＋4＝0，
解得k＝2，故選D.
4.如圖，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線(xiàn)AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè)，記△AFG，△CQG的面積為S1，S2.
(1)求p的值及拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程；
(2)求eq \f(S1,S2)的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【解析】解 (1)由題意可得eq \f(p,2)＝1，則p＝2,2p＝4，
拋物線(xiàn)方程為y2＝4x，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x－1)，k>0，
與拋物線(xiàn)方程y2＝4x聯(lián)立可得，
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
故x1＋x2＝2＋eq \f(4,k2)，x1x2＝1，
y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝eq \f(4,k)，
y1y2＝－eq \r(4x1)×eq \r(4x2)＝－4，
設(shè)C(x3，y3)，由重心坐標(biāo)公式可得，
xG＝eq \f(x1＋x2＋x3,3)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(4,k2)＋x3))，
yG＝eq \f(y1＋y2＋y3,3)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)＋y3))，
令yG＝0可得，y3＝－eq \f(4,k)，則x3＝eq \f(y\\al(2,3),4)＝eq \f(4,k2)，
即xG＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(4,k2)＋\f(4,k2)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(8,k2)))，
由斜率公式可得，kAC＝eq \f(y1－y3,x1－x3)＝eq \f(y1－y3,\f(y\\al(2,1),4)－\f(y\\al(2,3),4))＝eq \f(4,y1＋y3)，
直線(xiàn)AC的方程為y－y3＝eq \f(4,y1＋y3)(x－x3)，
令y＝0，可得xQ＝x3＋eq \f(－y3?y1＋y3?,4)＝eq \f(y\\al(2,3),4)＋eq \f(－y3?y1＋y3?,4)＝－eq \f(y1y3,4)，
故S1＝eq \f(1,2)×(xG－xF)×y1＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(8,k2)))－1))×y1＝eq \f(y1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3k2)－\f(1,3)))，
且S2＝eq \f(1,2)×(xQ－xG)×(－y3)
＝－eq \f(y3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(y1y3,4)－\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(8,k2)))))，
由y3＝－eq \f(4,k)，代入上式可得S2＝eq \f(2,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1,k)－\f(2,3)－\f(8,3k2)))，
由y1＋y2＝eq \f(4,k)，y1y2＝－4可得
y1－eq \f(4,y1)＝eq \f(4,k)，則k＝eq \f(4y1,y\\al(2,1)－4)，
則eq \f(S1,S2)＝eq \f(\f(y1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3k2)－\f(1,3))),\f(2,k)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1,k)－\f(2,3)－\f(8,3k2))))＝eq \f(2y\\al(2,1)?y\\al(2,1)－2?,?y\\al(2,1)－4??y\\al(2,1)＋4?)
＝2－eq \f(4,?y\\al(2,1)－8?＋\f(48,y\\al(2,1)－8)＋16)
≥2－eq \f(4,2\r(?y\\al(2,1)－8?×\f(48,y\\al(2,1)－8))＋16)
＝1＋eq \f(\r(3),2)，
當(dāng)且僅當(dāng)yeq \\al(2,1)－8＝eq \f(48,y\\al(2,1)－8)，即yeq \\al(2,1)＝8＋4eq \r(3)，y1＝eq \r(6)＋eq \r(2)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k＝eq \f(4y1,y\\al(2,1)－4)＝eq \r(2)，xG＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(8,k2)))＝2，
則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,0)．

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專(zhuān)題21 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦 微點(diǎn)1 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦常用結(jié)論試題及答案

專(zhuān)題21 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦 微點(diǎn)1 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦常用結(jié)論試題及答案
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