?第8節(jié)　拋物線
考試要求　1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.


1.拋物線的定義
(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
圖形




標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
性
質(zhì)
頂點(diǎn)
O(0，0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點(diǎn)
F
F
F
F
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下

1.通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.
2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑.

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.(　　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　)
(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.(　　)
(4)若直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時，軌跡為過定點(diǎn)F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化為x2＝y(tǒng)，是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y＝－.
(3)拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形.
(4)一條直線平行于拋物線的對稱軸，此時與拋物線只有一個交點(diǎn)，但不相切.
2.(易錯題)拋物線y＝－x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A.(0，－1) B.(0，1)
C.(1，0) D.(－1，0)
答案　A
解析　拋物線y＝－x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，開口向下，p＝2，＝1，故焦點(diǎn)為(0，－1).
3.(多選)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸且過點(diǎn)P(－2，3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.y2＝x B.x2＝y(tǒng)
C.y2＝－x D.x2＝－y
答案　BC
解析　設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y(tǒng).
4.(2020·新高考全國Ⅰ卷)斜率為的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.
答案　
解析　由題意得，拋物線焦點(diǎn)為F(1，0)，
設(shè)直線AB的方程為
y＝(x－1).
由得3x2－10x＋3＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.
5.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為________.
答案　x＝－
解析　法一　由題意易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－.
法二　由題意易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－.
6.(2022·龍巖一模)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，以AF為直徑的圓在第一象限交拋物線于點(diǎn)B，則·的值等于________.
答案　6－2
解析　設(shè)B(x0，y0).由方程組
消去y并整理，
得x2＋4x－1＝0(x≥0)，解得x0＝－2.
由題意，得F(1，0)，A(－1，0)，
∴＝(－2，0)，＝(x0－1，y0).
∴·＝(－2，0)·(x0－1，y0)＝－2(x0－1)＝2－2x0＝2－2(－2)＝6－2.

　考點(diǎn)一　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
1.設(shè)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)在直線2x＋3y－8＝0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　)
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
答案　A
解析　直線2x＋3y－8＝0與x軸的交點(diǎn)為(4，0)，∴拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為(4，0)，∴準(zhǔn)線方程為x＝－4.
2.動圓過點(diǎn)(1，0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________.
答案　y2＝4x
解析　設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x.
3.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________.
答案　y2＝3x
解析　如圖，分別過A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于K，則|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴拋物線方程為y2＝3x.
4.(2022·廣州模擬)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P(4，y0)在拋物線上，K為l與y軸的交點(diǎn)，且|PK|＝|PF|，則y0＝________，p＝________.
答案　2　4
解析　作PM⊥l，垂足為M，由拋物線定義知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，
∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝＝＝，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK為等腰直角三角形，
∴|PM|＝|MK|＝4，
又知點(diǎn)P在拋物線x2＝2py(p＞0)上，
∴解得
感悟提升　求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
　考點(diǎn)二　拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
角度1　焦半徑和焦點(diǎn)弦
例1 (1)已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且＝t(t＞1)，|AB|＝，則t＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　∵焦點(diǎn)F(1，0)，設(shè)直線l為x＝λy＋1(λ≠0)，代入拋物線方程得y2－4λy－4＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達(dá)定理得y1y2＝－4，①
由＝t，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，有y1＝－ty2，②
∴由①②得y2＝，y1＝－2或y2＝－，y1＝2，即x1＝t，x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋t＋2＝，化簡得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝(舍).
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________.
答案　y＝±x
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由拋物線的定義：
|AF|＝y(tǒng)1＋，|BF|＝y(tǒng)2＋，|OF|＝，
所以|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋＋y2＋＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，
可得：y1＋y2＝p，
聯(lián)立方程：?－＝1?－＋1＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝－＝·b2＝p，
∴p＝p?＝?＝.
∴雙曲線漸近線方程為y＝±x.
角度2　與拋物線有關(guān)的最值問題
例2 (1)若在拋物線y2＝－4x上存在一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到A(－2，1)的距離之和最小，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
答案　
解析　如圖，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0).依題意可知當(dāng)A，P及P到準(zhǔn)線的垂足三點(diǎn)共線時，點(diǎn)P與點(diǎn)F、點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離之和最小，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1.將y＝1代入拋物線方程求得x＝－，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
(2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________.
答案　
解析　如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1，0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時最小值為＝.
(3)已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為________.
答案　2
解析　由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過點(diǎn)A作AA1⊥l交l于點(diǎn)A1，過點(diǎn)B作BB1⊥l交l于點(diǎn)B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作MM1⊥l交l于點(diǎn)M1，則|MM1|＝.因為|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故點(diǎn)M到x軸的距離d≥2，故最短距離為2.
感悟提升　與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略
轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.
轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.
訓(xùn)練1 (1)若拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線為l，P是拋物線上任意一點(diǎn)，則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是(　　)
A.2 B. C. D.3
答案　A
解析　由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，由拋物線y2＝4x及直線方程3x＋4y＋7＝0可得直線與拋物線相離.
∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值為點(diǎn)F(1，0)到直線3x＋4y＋7＝0的距離，即＝2.
(2)已知拋物線y2＝4x，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|＋|BD|的最小值為________.
答案　2
解析　由題意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值時當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值.依拋物線定義知，當(dāng)|AB|為通徑，即|AB|＝2p＝4時為最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值為2.
　考點(diǎn)三　直線與拋物線的綜合問題
例3 已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直線l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解　設(shè)直線l的方程為y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由題設(shè)得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，
則x1＋x2＝－.
從而－＝，得t＝－(滿足Δ>0).
所以l的方程為y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t>0，
所以y1＋y2＝2，從而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
感悟提升　1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.
2.涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.
提醒　涉及弦的中點(diǎn)、斜率時一般用“點(diǎn)差法”求解.
訓(xùn)練2 (2022·湖州模擬)如圖，已知拋物線x2＝y(tǒng)，點(diǎn)A，B，拋物線上的點(diǎn)P(x，y).過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.
(1)求直線AP斜率的取值范圍；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解　(1)設(shè)直線AP的斜率為k，
k＝＝x－，因為－＜x＜，
所以直線AP斜率的取值范圍是(－1，1).
(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程

解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ＝.
因為|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)
＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因為f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
因此當(dāng)k＝時，|PA|·|PQ|取得最大值.
拋物線的幾個“二級結(jié)論”的應(yīng)用
拋物線焦點(diǎn)弦的有關(guān)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的重要部分，了解和掌握相關(guān)結(jié)論，在解題時可迅速打開思路，拋物線焦點(diǎn)弦的常見結(jié)論如下：
設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直線AB的傾斜角).
(4)＋＝為定值(F是拋物線的焦點(diǎn)).
例1 過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于(　　)
A.4 B. C.5 D.6
答案　B
解析　[通法]易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為
y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|
＝xA＋xB＋p＝.
[優(yōu)解]法一　由對稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，如圖，設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，
設(shè)|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，
則|AB|＝3m，
由拋物線的定義知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.則sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝＝.
法二　因為|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
例2 設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　[通法]由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，因此直線AB的方程為y＝，即4x－4y－3＝0.
與拋物線方程聯(lián)立，化簡得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
[優(yōu)解]由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原點(diǎn)到直線AB的距離
d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.


1.拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　D
解析　拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝2py(p>0)中p的幾何意義為拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，又p＝.故選D.
2.若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)是橢圓＋＝1的一個焦點(diǎn)，則p等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
答案　D
解析　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，
所以＝，解得p＝8.
3.(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A. B. C.(1，0) D.(2，0)
答案　B
解析　將x＝2與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立，可得y＝±2，不妨設(shè)D(2，2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以拋物線C的方程為y2＝2x.其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
4.(多選)(2021·煙臺調(diào)研)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則(　　)
A.C的準(zhǔn)線方程為x＝－4
B.F點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，4)
C.|FN|＝12
D.三角形ONF的面積為16(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
答案　ACD
解析　不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)F′，作MB⊥l于點(diǎn)B，NA⊥l于點(diǎn)A.
由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為x＝－4，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，A正確，B錯誤.故|AN|＝4，|FF′|＝8，在直角梯形ANFF′中，中位線|BM|＝＝6，
由拋物線的定義有|MF|＝|MB|＝6，結(jié)合題意，有|MN|＝|MF|＝6，
故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，C正確，而|ON|＝＝8，
SONF＝×8×4＝16，D正確.
5.設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則||＋||＋||的值為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又焦點(diǎn)F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，
則||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
6.(多選)(2022·武漢模擬)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn).若△ABF的面積為9，則(　　)
A.|BF|＝3
B.△ABF是等邊三角形
C.點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3
D.拋物線C的方程為y2＝6x
答案　BCD
解析　因為|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，所以|FA|＝|FB|；又|BF|＝|FD|＝|FA|，所以∠ABD＝90°，|FA|＝|AB|，可得△ABF為等邊三角形，B正確；
過F作FC⊥AB交于C，則C為AB的中點(diǎn)，C的橫坐標(biāo)為，B的橫坐標(biāo)為－，所以A的橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得y＝3p2，|yA|＝p，
△ABF的面積為9，即(xA－xB)|yA|＝··p＝9，解得p＝3，所以拋物線的方程為y2＝6x，D正確；
焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為×2＝3，C正確；
此時點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，所以|BF|＝|AF|＝|AB|＝＋＝6，A不正確.

7.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1米后，水面寬________米.

答案　2
解析　建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0).
由題意將點(diǎn)A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.
設(shè)B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米.
8.已知直線l是拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線，半徑為3的圓過拋物線頂點(diǎn)O和焦點(diǎn)F與l相切，則拋物線的方程為________.
答案　y2＝8x
解析　∵半徑為3的圓與拋物線的準(zhǔn)線l相切，
∴圓心到準(zhǔn)線的距離等于3，
又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝，
∴＋＝3，∴p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x.
9.直線l過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F(1，0)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則p＝________，＋＝________.
答案　2　1
解析　由題意知＝1，從而p＝2，
所以拋物線方程為y2＝4x.
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，將x＝1代入拋物線方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
從而＋＝1.
當(dāng)直線AB的斜率存在時，
設(shè)AB的方程為y＝k(x－1)，
聯(lián)立
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
從而＋＝＋＝＝＝1.
綜上，＋＝1.
10.已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.
(1)求該拋物線的方程；
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值.
解　(1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線AB的方程是y＝2，
與y2＝2px聯(lián)立，化簡得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.又|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0得x2－5x＋4＝0.
又x1＜x2，
從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
從而A(1，－2)，B(4，4).
設(shè)＝(x3，y3)，所以(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1).
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
11.(2022·北京昌平區(qū)模擬)已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1)，過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn).
(1)解　把P(1，1)代入y2＝2px得p＝，
∴拋物線C的方程為y2＝x，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－.
(2)證明　∵BM⊥x軸，
∴設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，
根據(jù)題意顯然有x1≠0.
若要證A為BM的中點(diǎn)，
只需證2yA＝y(tǒng)B＋y1即可，
左右同除以x1有＝＋，
即只需證明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.
當(dāng)直線MN斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點(diǎn)不滿足題意，所以直線MN斜率存在且不為零.
設(shè)直線MN：y＝kx＋(k≠0)，
聯(lián)立消y得，k2x2＋(k－1)x＋＝0，
考慮Δ＝(k－1)2－4××k2＝1－2k，
由題可知有兩交點(diǎn)，所以判別式大于零，所以k

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第7節(jié) 直線與橢圓、雙曲線 (含解析)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第7節(jié) 直線與橢圓、雙曲線 (含解析)，共18頁。試卷主要包含了設(shè)雙曲線C，過雙曲線C，已知F1，F(xiàn)2為橢圓C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第6節(jié) 雙曲線 (含解析)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第6節(jié) 雙曲線 (含解析)，共24頁。試卷主要包含了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，焦點(diǎn)三角形的面積，已知雙曲線C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第6節(jié) 雙曲線 (含解析)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第6節(jié) 雙曲線 (含解析)，共24頁。試卷主要包含了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，焦點(diǎn)三角形的面積，已知雙曲線C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第5節(jié) 橢圓 (含解析)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第5節(jié) 橢圓 (含解析)
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第3節(jié) 圓的方程 (含解析)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第3節(jié) 圓的方程 (含解析)
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系 (含解析)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系 (含解析)
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第1節(jié) 直線的方程 (含解析)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第1節(jié) 直線的方程 (含解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部