1．拋物線的概念
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
2．拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)
【方法技巧】
求圓錐曲線中的有關(guān)三角形的面積時，常聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達定理求出弦長.然后根據(jù)點到直線的距離公式，求出三角形的高，即可得出.
【核心題型】
題型一：定義法求焦半徑
1．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）設(shè)F為拋物線C：的焦點，點M在C上，點N在準線l上且MN平行于x軸，若，則（ ）
A．B．1C．D．4
2．（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學(xué)校考一模）已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為6，到軸的距離為3，O為坐標原點，則（ ）
A．B．6C．D．9
3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，若的面積為，則（ ）
A．2B．4C．D．
題型二：定義法求焦點弦
4．（2021秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線交于A（點A在第二象限），兩點，則（ ）
A．B．C．4D．5
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，直線l過焦點F且與拋物線交于點，，與拋物線C的準線交于點Q，若（O為坐標原點），，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）拋物線的焦點為，對稱軸為，過且與的夾角為的直線交于，兩點，的中點為，線段的中垂線交于點．若的面積等于，則等于（ ）
A．B．4C．5D．8
題型三：求距離的最值問題
7．（2023·湖南·模擬預(yù)測）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）曲線上有兩個不同動點，動點到的最小距離為，點與和的距離之和的最小值為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·河南信陽·高三信陽高中校考期末）已知點是拋物線上任意一點，則點到拋物線的準線和直線的距離之和的最小值為（ ）
A．B．4C．D．5
題型四：拋物線的對稱問題
10．（2021·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知拋物線C：（）的焦點為F，準線與x軸交于點K，過點K作圓的切線，切點分別為點A，B.若，則p的值為（ ）
A．1B．C．2D．3
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：與拋物線：交于兩點，為坐標原點，若的外接圓經(jīng)過點，則等于（ ）
A．B．C．2D．4
12．（2020·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為 ，準線為，點在拋物線上，且點到準線的距離為6，的垂直平分線與準線交于點，點為坐標原點，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
題型五：拋物線的綜合問題
13．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知拋物線上的一個動點P到拋物線的焦點F的最小距離為1．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)過焦點F的直線l交拋物線C于兩點，M為拋物線上的點，且，，求的面積．
14．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知點在拋物線上，且到拋物線的焦點的距離為2.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，若直線與直線交于點，且點到直線?直線的距離分別為.求證：為定值.
15．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知拋物線為其焦點，點在上，且（為坐標原點）.
(1)求拋物線的方程；
(2)若是上異于點的兩個動點，當時，過點作于，問平面內(nèi)是否存在一個定點，使得為定值？若存在，請求出定點及該定值：若不存在，請說明理由.
【高考必刷】
一、單選題
16．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知F為拋物線的焦點，P為該拋物線上的動點，點，則的最大值為（ ）
A．B．C．2D．
17．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點是拋物線C：的焦點，過的直線交拋物線C于不同的兩點M，N，設(shè)，點Q為MN的中點，則Q到x軸的距離為（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）截至2023年2月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)?？萍夹〗M制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（ ）
A．1B．2C．4D．8
20．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，點在上．若，，則到的距離等于（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）以拋物線的焦點F為端點的射線與C及C的準線l分別交于A，B兩點，過B且平行于x軸的直線交C于點P，過A且平行于x軸的直線交l于點Q，且，則△PBF的周長為（ ）
A．16B．12C．10D．6
22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于點A，B，與拋物線的準線交于點M，且點A位于第一象限，F(xiàn)恰好為AM的中點，，則（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，圓與線段相交于點，且被直線截得的弦長為，若，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
24．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎獟佄锞€，O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，點P在拋物線上，則下列說法中正確的是（ ）
A．若點，則的最小值為4
B．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條
C．若正三角形ODE的三個頂點都在拋物線上，則ODE的周長為
D．點H為拋物線C上的任意一點，，，當t取最大值時，GFH的面積為2
25．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過上的點作的切線m，m與y軸、l、x軸分別相交于點N、P、Q，過M作l垂線，垂足為，則（ ）
A．B．為中點
C．四邊形是菱形D．若，則
26．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F是拋物線的焦點，點在拋物線W上，過點F的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線W交于B，C和D，E，過點A分別作，的垂線，垂足分別為M，N，則（ ）
A．四邊形面積的最大值為2
B．四邊形周長的最大值為
C．為定值
D．四邊形面積的最小值為32
27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知P為拋物線上的動點，為坐標原點，在拋物線C上，過拋物線C的焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，，則（ ）
A．的最小值為4
B．若線段AB的中點為M，則弦長AB的長度為8
C．若線段AB的中點為M，則三角形OAB的面積為
D．過點作兩條直線與拋物線C分別交于點G，H，且滿足EF平分，則直線GH的斜率為定值
三、填空題
28．（2023·全國·校聯(lián)考一模）拋物線：的準線截圓所得的弦長為_________.
29．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若P，Q分別是拋物線與圓上的點，則的最小值為________．
30．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線，拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，點關(guān)于軸對稱的點為.若過點的圓與直線相切，且與直線交于點，則當時，直線的斜率為___________.
31．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線為拋物線內(nèi)一點，不經(jīng)過點的直線與拋物線相交于兩點，連接分別交拋物線于兩點，若對任意直線，總存在，使得成立，則該拋物線方程為______.
四、解答題
32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，，Q在準線上，Q的縱坐標為，點M到F與到定點的距離之和的最小值為4．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點，求的面積．
33．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上的一點，直線的斜率為的面積為1．
(1)求的方程；
(2)過點作一條直線，交于兩點，試問在上是否存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
34．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線E：的焦點關(guān)于其準線的對稱點為，橢圓C：的左，右焦點分別是，，且與E有一個共同的焦點，線段的中點是C的左頂點．過點的直線l交C于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線交x軸于點M．
(1)求C的方程；
(2)證明：．
標準
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點
坐標
O(0,0)
對稱軸
x軸
y軸
焦點
坐標
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準線
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑
x0＋eq \f(p,2)
－x0＋eq \f(p,2)
y0＋eq \f(p,2)
－y0＋eq \f(p,2)
通徑長
2p

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