?解密20 橢圓
【考點(diǎn)解密】
1．橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c0，c>0，且a，c為常數(shù)．

2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
圖形


性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸　　對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
坐標(biāo)
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的關(guān)系
a2＝b2＋c2









【方法技巧】
1.橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見求法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．

2.涉及與橢圓有關(guān)的軌跡方程及橢圓中的定點(diǎn)定值，.
求軌跡方程方法為直接法，即將題意轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，化簡(jiǎn)即得軌跡方程；
對(duì)于定點(diǎn)問題，?？捎蓪?duì)稱性確定定點(diǎn)所在位置，后由三點(diǎn)共線結(jié)合向量共線或斜率相等可得定點(diǎn)坐標(biāo).


【核心題型】
題型一：利用橢圓的定義解決焦點(diǎn)三角形或者邊長(zhǎng)問題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可設(shè)可求出所有線段用表示，在中由余弦定理得從而可求.
【詳解】如圖，由已知可設(shè)，又因?yàn)?br /> 根據(jù)橢圓的定義，

在中由余弦定理得，所以

故橢圓方程為：
故選：B
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓C：上一點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑的最大值為，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則的面積的最大值為（????）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，結(jié)合
，，，，可得，再由即可求解.
【詳解】由題意可得：，，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
所以，
因?yàn)榈膬?nèi)切圓半徑的最大值為，
所以
因?yàn)?，所以，可得?br /> 又橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，即，
由，求得，所以的面積的
故選：A

3．（2022秋·黑龍江佳木斯·高三建三江分局第一中學(xué)?？计谥校┮阎谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，，，，，，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，記直線PD，PE的斜率分別為和，且，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)形成曲線F，點(diǎn)M是曲線F上位于x軸上方的點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的有（????）
A．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為
B．面積的最大值為
C．的最大值為5
D．的周長(zhǎng)為6
【答案】A
【分析】設(shè)，由兩點(diǎn)求直線斜率公式化簡(jiǎn)可求點(diǎn)P的軌跡方程，即可判斷A；結(jié)合焦點(diǎn)三角形的面積計(jì)算即可判斷B；根據(jù)橢圓的定義和三角形三邊的大小關(guān)系即可判斷C；結(jié)合焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為定值2a+2c，即可判斷D.
【詳解】由題意得，
設(shè)點(diǎn)，則，
由，得，
整理，得，
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；
由可得，所以，為的焦點(diǎn)，
故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
此時(shí)，故B正確；
將代入可得，故在橢圓內(nèi)，
由橢圓的定義，得，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)P位于第四象限時(shí)等號(hào)成立，
所以，故C正確；
焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為定值，故D正確.
故選：A.

題型二：待定系數(shù)法求橢圓方程
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.過點(diǎn)的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，且△周長(zhǎng)為，那么C的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓定義以及離心率即可求解的值，進(jìn)而根據(jù) 的關(guān)系即可求解，即可得橢圓方程.
【詳解】如圖，設(shè)橢圓方程為.

∵△周長(zhǎng)為，∴4a，得a.
又，∴ .
則 .
∴橢圓C的方程為：.
故選：B.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，B在x軸上，且.若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為3，則橢圓C的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題干條件得到，為的中點(diǎn)，作出輔助線，利用相似得到，即，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得到，求出，得到橢圓方程.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)?，所以，即?br /> 所以為的中點(diǎn)，
又因?yàn)?，所以?br /> 過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則，
根據(jù)，可得，所以，
因?yàn)锳為上頂點(diǎn)，所以
根據(jù)雙曲線定義可知：，所以，
由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：，即，
所以，故，
所以橢圓方程為：

故選：D
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)為，，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓以，為頂點(diǎn)，且離心率為，過作斜率為的直線交雙曲線于另一點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)，若，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出橢圓的方程，設(shè)點(diǎn)，可得出，由點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在雙曲線上，可得出關(guān)于、的方程組，求出、的值，利用斜率公式可求得的值.
【詳解】設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半焦距為，
雙曲線的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，
由于橢圓以，為頂點(diǎn)，則，該橢圓的離心率為，
所以，，解得，所以，橢圓的方程為，
設(shè)點(diǎn)，由于，則點(diǎn)，
由于點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在雙曲線上，
所以，，聯(lián)立得：，解得或，
當(dāng)，所以，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不滿足題意舍去；
當(dāng)，所以，所以.
故選：B.

題型三：直接法求橢圓離心率問題
7．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若橢圓C上有且僅有4個(gè)點(diǎn)P滿足是直角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由數(shù)形結(jié)合可知，點(diǎn)不是直角頂點(diǎn)，則由，確定離心率的取值范圍.
【詳解】當(dāng)和垂直于時(shí)，恰有4個(gè)點(diǎn)滿足是直角三角形，
由條件可知，點(diǎn)不是直角頂點(diǎn)，則以為直徑的圓與橢圓無交點(diǎn)，
則，得，解得：，
所以橢圓離心率的取值范圍是.
故選：B
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若，則的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)出直線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，由，得出點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線為，
，∴為的中點(diǎn)，.
在橢圓上，，
，代入化簡(jiǎn)整理得，，
，
解得，
又.
故選：C
9．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到，，則，由，得點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)A又在橢圓上，由定義求得，可求橢圓的離心率.
【詳解】對(duì)直線，令，解得，令，解得，
故，， 則 ，設(shè)，則 ，

而，則 ，解得 ， 則，
點(diǎn)A又在橢圓上，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，
由，
則，橢圓的離心率.
故選：C

題型四：構(gòu)造齊次方程求離心率
10．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，半焦距為．在橢圓上存在點(diǎn)使得，則橢圓離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理及橢圓定義得 ，得，結(jié)合，得關(guān)于的不等式，從而求出的范圍.
【詳解】由，得 ，得，
又，則，
∴，即，
又，∴．
故選：B．
11．（2023秋·河北保定·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，過作外角平分線的垂線交的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)．若，則橢圓的離心率（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二倍角公式以及互余關(guān)系可得，進(jìn)而在中，由余弦定理聯(lián)立方程可得，進(jìn)而可求解.
【詳解】設(shè)與外角平分線的交點(diǎn)為,設(shè)，
由于，,所以,進(jìn)而，所以,
設(shè)，則，在中，由余弦定理得,，兩式聯(lián)立得，即，解得或，
由于，故，
故選：D

12．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．橢圓在第一象限存在點(diǎn)，使得，直線與軸交于點(diǎn)，且是的角平分線，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意和橢圓定義可得到，和，的關(guān)系式，再根據(jù)，可得到關(guān)于，的齊次式，進(jìn)而可求得橢圓的離心率．
【詳解】由題意得，
又由橢圓定義得，
記，
則，，
則，
所以，
故，
則，
則，即（負(fù)值已舍）．
故選：B．

題型五：利用自變量范圍求離心率范圍
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓離心率為e，雙曲線的漸近線的斜率小于，則橢圓的離心率e的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)漸近線斜率的取值范圍可得出的關(guān)系，再根據(jù)橢圓離心率的定義即可求得離心率e的取值范圍.
【詳解】根據(jù)雙曲線方程可得，其漸近線方程為，
又因?yàn)?，且漸近線的斜率小于，即；
所以，橢圓的離心率
即離心率e的取值范圍是.
故選：B
14．（2022秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：，定點(diǎn)，，有一動(dòng)點(diǎn)滿足，若點(diǎn)軌跡與橢圓恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，求出其軌跡，求出，即得解.
【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題得，
化簡(jiǎn)得.
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓.
因?yàn)辄c(diǎn)軌跡與橢圓恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以.
所以橢圓的離心率.
因?yàn)闄E圓的離心率，
所以橢圓的離心率的取值范圍為.
故選：D

15．（2022·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)校考二模）已知點(diǎn)P在以，為左、右焦點(diǎn)的橢圓上，橢圓內(nèi)存在一點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上，且滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由和正弦值，可設(shè)出的三邊長(zhǎng)，結(jié)合橢圓定義和勾股定理求出等量關(guān)系，利用點(diǎn)的位置求出的范圍，代入等式有解，可求出的關(guān)系，即可求出離心率的范圍.
【詳解】解： 因?yàn)?，，不妨設(shè)，，，
由橢圓定義可知：，，
由勾股定理可知：，即，化簡(jiǎn)可得：，
點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且在橢圓內(nèi)部，所以，，解得：.
令在上單調(diào)遞增，所以，解得：，，又，且在橢圓內(nèi)部，所以，則，.

故選B．


題型六：橢圓的綜合問題
16．（2023·寧夏·六盤山高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若△為等邊三角形，且點(diǎn)在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為，不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)（異于橢圓E的頂點(diǎn)），直線與y軸的交點(diǎn)分別為M、N，若，證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)點(diǎn)或

【分析】（1）由已知條件，橢圓的定義及的關(guān)系可知和，再設(shè)出橢圓的方程，最后將點(diǎn)代入橢圓的方程即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，，由直線的方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件可知，分直線的斜率存在和直線的斜率不存在兩種情況分別求解，得出直線的方程，即可判斷出直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】（1）∵△為等邊三角形，且，
∴，
又∵，∴，
設(shè)橢圓的方程為，
將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，
所以橢圓E的方程為.
（2）由已知得，設(shè)，,
則直線的斜率為，直線的方程為，
即點(diǎn)坐標(biāo)為，
直線的斜率為，直線的方程為，
即點(diǎn)坐標(biāo)為,
∵,∴,∴，
又∵，，
∴，即，
整理得，
①若直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，
其中，
，，
即，，，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線恒過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線恒過點(diǎn)，
②若直線的斜率不存在時(shí)，
由得，
即，解得或，
此時(shí)直線的方程為或，
所以此時(shí)直線恒過點(diǎn)或，
綜上所述，直線恒過點(diǎn)或.
17．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸?軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)直線過定點(diǎn).

【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可；
（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，方程為，，進(jìn)而得的方程為，再聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理得，進(jìn)而得定點(diǎn)，再說明斜率不存在時(shí)滿足即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸?軸，
所以，設(shè)橢圓的方程為，
因?yàn)闄E圓過兩點(diǎn)，
所以，解得，
所以，橢圓的方程為.
（2）解：當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)方程為，，
聯(lián)立方程得，
則，解得或，

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，
所以，直線的方程為
所以，將代入整理直線的方程得：

所以，直線過定點(diǎn).
當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，
點(diǎn)在軸上，直線的方程即為，過點(diǎn).
綜上，直線過定點(diǎn).
18．（2023春·天津河西·高三天津市新華中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知橢圓離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于點(diǎn)B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若以BH為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F，設(shè)直線l的斜率為k，直線OM的斜率為，且，求直線l斜率k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解方程組，再求出橢圓C的方程；
（2）由已知設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，由，求出H的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，由直線和直線l，解得求得M的坐標(biāo)，從而得到，由，得到，再求出k的范圍即可．
【詳解】（1）因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3，所以①，
又因?yàn)闄E圓離心率為，所以②，
又③，
聯(lián)立①②③可得，，，
所以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)直線的斜率為，則，設(shè)，
由，得，
則，得，則，
由（1）知，，設(shè)，
所以，，
因?yàn)橐訠H為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F，則，所以，
所以，解得，
所以直線的方程為，
設(shè)，由，可得，
由，則，即，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以直線的斜率的取值范圍為．



【高考必刷】
一、單選題
19．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知過橢圓的上焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與直線相交于兩點(diǎn).若為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜截式方程設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件、點(diǎn)在直線上及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意可知，所以
所以橢圓的上焦點(diǎn)為，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去，得，
所以.
由題設(shè)知，所在的直線方程為.
因?yàn)橹本€與直線相交于點(diǎn)，
所以；
同理可得.
所以.
因?yàn)闉殇J角，
所以，
所以
，
即，解得：或，
所以，或，或.
故直線的斜率的取值范圍是.
故選:D.
20．（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線：上，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題得，解不等式得到，再解不等式即得解.
【詳解】點(diǎn)在雙曲線：上，所以.
所以橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)?，所?
所以.
因?yàn)?，所?
點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，所以，
所以或.
綜上：.
故選：A
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用數(shù)量積知識(shí)得，然后利用第一定義及勾股定理得到a、c關(guān)系，即可求出離心率
【詳解】由，得，則點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓C的交點(diǎn)，不妨設(shè)和點(diǎn)P在第一象限，如圖

連接，令，則，，．
因?yàn)椋?，即，得，又，所以，將代入，得?br /> 故選：A
22．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)、作平行直線、，直線、在軸上方分別與交于、兩點(diǎn)，若與之間的距離為，且（表示面積，為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，從而得到，設(shè)，則，在、中利用余弦定理求出、，由可得，即可得解.
【詳解】解：由題意知直線、的斜率一定存在，
設(shè)、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意知，，
所以，設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
同理在中利用余弦定理可得，
因?yàn)?，所以?br /> 即，即，所以.
故選：A
23．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作橢圓的切線l，PM垂直于直線l且與x軸交于點(diǎn)M，若M為的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由橢圓方程和切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，得M點(diǎn)坐標(biāo)，由M的位置，求得離心率.
【詳解】因?yàn)闉闄E圓 上一點(diǎn)，所以過P作橢圓的切線，
切線斜率，所以PM的斜率，直線PM的方程為，
令，得，所以，由題， ，所以，．
故選：C．
24．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點(diǎn)P，以FP，F(xiàn)O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由給定條件及橢圓的對(duì)稱性可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再借助斜率坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求解作答.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，，中，，而點(diǎn)P，Q均在橢圓上，由橢圓對(duì)稱性得，

令橢圓半焦距為c，，由得：，解得，
而，因此，即，又，則，
整理得，而，則有，解得，
所以該橢圓的離心率為.
故選：B
25．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若離心率，則橢圓的離心率的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知，結(jié)合橢圓的定義解得，再由求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 由橢圓的定義得：，解得，
因?yàn)?，所以?br /> 兩邊同除以a得，解得 ，
因?yàn)?，所以，
所以該離心率的取值范圍是
故選：D.
26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓存在一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率取值范圍為（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，，根據(jù)橢圓的定義和余弦定理得，再根據(jù)基本不等式和離心率公式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，則，
在中，，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，又，
所以.
故選：C

二、多選題
27．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，若C的離心率為，連結(jié)交C于點(diǎn)B，則（????）
A．C的方程為 B．
C．的周長(zhǎng)為 D．的內(nèi)切圓半徑為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和離心率求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.
【詳解】對(duì)A，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程，并由 得下列方程組：
，解得，∴雙曲線，A正確；
對(duì)B，，，，
，∴，B正確；
對(duì)C， ，
，，周長(zhǎng)，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，令 ，則 ，??，在 中，
，∴，設(shè) 的周長(zhǎng)為l，內(nèi)切圓半徑為r，則 ，
由三角形面積公式知： ，
??，D正確；
故選：ABD．
28．（2023·河北邢臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，為的上頂點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)．若，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，則（????）
A．的最大值是
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)，在軸的同側(cè)時(shí)，的最大值為
D．當(dāng)，在軸的異側(cè)時(shí)（，與不重合），
【答案】ABC
【分析】由題可得，根據(jù)橢圓的焦半徑的取值范圍可判斷A，根據(jù)結(jié)合橢圓方程可求坐標(biāo)，然后根據(jù)余弦定理可判斷B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合基本不等式及斜率公式可判斷CD.
【詳解】因?yàn)闄E圓，
所以，，，
又，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，則，
不妨設(shè)，由題可知，則的最大值是，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，
則，解得，不妨取，

設(shè)，則，解得，
所以或，
當(dāng)時(shí)，又，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，，
所以，，
綜上，當(dāng)時(shí)，，故B正確；
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，，，，，

當(dāng)，在軸的同側(cè)時(shí)，則，關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則，
所以，由，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，故C正確；
當(dāng)，在軸的異側(cè)時(shí)（，與不重合），則，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

設(shè)，則，由，可得，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
29．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為B，直線l：與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，的角平分線與x軸相交于點(diǎn)E，與y軸相交于點(diǎn)，則（????）
A．四邊形的周長(zhǎng)為8 B．的最小值為9
C．直線BM，BN的斜率之積為 D．當(dāng)時(shí)，
【答案】AC
【分析】對(duì)A選項(xiàng)，由橢圓的定義知，四邊形的周長(zhǎng)為即可求解；對(duì)B選項(xiàng)，由直線與橢圓相交的對(duì)稱性知：，，借助基本不等式可得的最小值；對(duì)C選項(xiàng)，設(shè)，則，由點(diǎn)在橢圓上，即可化得的值；對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)出，由條件推出，，又在橢圓C中，由其第二定義得，從而得到 ，，三點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)其三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)求解即可．
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，由橢圓的定義知，四邊形的周長(zhǎng)為，A正確；
對(duì)B選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C選項(xiàng)，設(shè)，則，又，所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，
所以，C正確；
對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)，則，
所以，，
在橢圓C：中，
由其第二定義（指的是橢圓上的點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離）得
，
，所以，故，，，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．
故選：AC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達(dá)定理解決相應(yīng)關(guān)系，其中的計(jì)算量往往較大，需要反復(fù)練習(xí)加以強(qiáng)化.
30．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)I是的內(nèi)心，延長(zhǎng)MI交線段于N，拋物線（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若四邊形是菱形，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．橢圓的離心率是
C．的最小值為 D．的值為
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，利用橢圓與拋物線的對(duì)稱性得到，從而將代入拋物線方程得到，進(jìn)而得以判斷；對(duì)于B，將代入橢圓的方程得到，由此得以判斷；對(duì)于C，利用橢圓的定義與基本不等式“1”的妙用即可判斷；對(duì)于D，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)與三角形角平分線的性質(zhì)，結(jié)合比例的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，則，，，，

因?yàn)閽佄锞€（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，
所以由橢圓與拋物線的對(duì)稱性可得，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，，，
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以的中點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則，
將代入拋物線方程得，，
所以，則，所以，故A正確；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A得，再代入橢圓方程得，
化簡(jiǎn)得，則，故，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由選項(xiàng)B得，所以，則，
所以，不妨設(shè)，則，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為，故C正確；
對(duì)于D，連接和，如圖，

因?yàn)榈膬?nèi)心為，所以為的平分線，則有，
同理：，所以，
所以，所以，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用橢圓與拋物線的對(duì)稱性，可設(shè)的坐標(biāo)，再由菱形的性質(zhì)與中點(diǎn)坐標(biāo)公式推得，從而求得的值，由此得解.

三、填空題
31．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）橢圓是特別重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的核心，它集中地體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.而黃金橢圓是一條優(yōu)美曲線，生活中許多橢圓形的物品，都是黃金橢圓，它完美絕倫，深受人們的喜愛.黃金橢圓具有以下性質(zhì)：①以長(zhǎng)軸與短軸的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個(gè)焦點(diǎn)，②長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距依次組成等比數(shù)列.根據(jù)以上信息，黃金橢圓的離心率為___________.
【答案】
【分析】由①得原點(diǎn)到直線AB的距離，求得，由②得，求得，從而，兩邊同除以得，又，即可解得．
【詳解】設(shè)左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，則直線AB的方程為，
以長(zhǎng)軸與短軸的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個(gè)焦點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線AB的距離，
即，即，即，所以，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距依次組成等比數(shù)列，則，所以，
綜上，，即，兩邊同除以得，又，解得．
故答案為：．
32．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)在橢圓上，則過點(diǎn)的橢圓切線方程為.現(xiàn)過點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為時(shí)，___________.
【答案】
【分析】點(diǎn)，由題意可得切線方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)的面積整理可得，結(jié)合橢圓方程即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則切線，
令，得，
可得，則，
∵點(diǎn)在橢圓上，則，
即，解得，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為切入點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意可得切線，這樣就可得，再根據(jù)題意運(yùn)算求解即可.
33．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．若過A，，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的半徑為a，則C的離心率為_______．
【答案】##0.5
【分析】由題意得到過A，，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的半徑也為a，求出線段的垂直平分線的方程及線段的垂直平分線，求出交點(diǎn)及圓心坐標(biāo)，從而利用半徑列出方程，求出，得到離心率.
【詳解】由題意得：過A，，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的半徑也為a，
其中，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
故直線的斜率為，故線段的垂直平分線的斜率為，
故線段的垂直平分線的方程為，
又線段的垂直平分線為，
聯(lián)立與得：，
故圓心坐標(biāo)為，故半徑為，
故，其中，
解得：.
故答案為：
34．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：，過點(diǎn)的直線l斜率范圍為，過向l作垂線，垂足為P，Q為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓右焦點(diǎn)，則的最小值為______．
【答案】
【分析】表示出直線l和與之垂直的垂線的方程，聯(lián)立表示出垂足橫坐標(biāo)，根據(jù)橢圓第二定義表示出與垂足橫坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)斜率取值范圍即可求出最小值.
【詳解】設(shè)直線l斜率為k，直線l的方程為，過向l作垂線的方程為，聯(lián)立方程，解得，其中，
若，右準(zhǔn)線為，則到右準(zhǔn)線的距離為，
為橢圓右焦點(diǎn)，故且，則，
所以，故，
而橢圓的離心率，則Q到右準(zhǔn)線的距離.
過P作于N，則，
當(dāng)且在線段上時(shí)，取最小值，最小值為，
所以的最小值為.

故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：橢圓的第二定義--平面上到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e（即橢圓的離心率，）的點(diǎn)的集合（定點(diǎn)F不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)），其中定點(diǎn)為橢圓焦點(diǎn)，定直線稱為橢圓的準(zhǔn)線（該定直線方程是（焦點(diǎn)x軸上）或者（焦點(diǎn)y軸上））

四、解答題
35．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）已知橢圓：（），四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問直線，的斜率之和是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)是，1

【分析】（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性以及已知建立方程組求解.
（2）利用直線與橢圓的方程聯(lián)立以及韋達(dá)定理、斜率公式進(jìn)行計(jì)算求解.
【詳解】（1）由橢圓的對(duì)稱性可知，，在橢圓上．
由題意可得解得
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則不妨令，．
因?yàn)椋?，?br /> 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立整理得，
則由，得，，．
因?yàn)椋?br /> 所以

．
綜上，直線，的斜率之和是定值，且該定值為1．
36．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎矫鎯?nèi)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，1）的距離和到定直線y=4的距離的比為定值．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過點(diǎn)的直線交曲線C于不同的兩點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A、B分別作直線x=t的垂線，垂足分別為、，判斷是否存在常數(shù)t，使得四邊形的對(duì)角線交于一定點(diǎn)?若存在，求出常數(shù)t的值和該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，t=3，定點(diǎn)為

【分析】（1）設(shè)，由題有：，化簡(jiǎn)后可得軌跡方程；
（2）設(shè)過直線方程為：，將其與曲線C聯(lián)立，由韋達(dá)定理可知.又由對(duì)稱性可知，若定點(diǎn)存在，其一定在x軸上，并設(shè)定點(diǎn)為D.后利用向量共線可得定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）設(shè)，由題有
.
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：；
（2）由題過直線斜率不為0，設(shè)過直線方程為：，將其與橢圓方程聯(lián)立，，消去x得，.
由題其判別式大于0，設(shè)，，則，.
則由韋達(dá)定理有：，，
得.若存在常數(shù)t，使得四邊形的對(duì)角線交于一定點(diǎn)，
由對(duì)稱性知，該定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)該定點(diǎn)為，則，B，D共線.
又，，則

.
由s為定值，則.
同理，若A，，D共線，可得.
故存在常數(shù)t=3，使得四邊形的對(duì)角線交于一定點(diǎn)，該定點(diǎn)為

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