新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)講義21 雙曲線（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?解密21 雙曲線
【考點(diǎn)解密】
1．雙曲線的概念
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.

2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
圖形

性
質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸　對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)
a，b，c
的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

【方法技巧】
1. 離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：
① 直接求出，從而求出;
② 構(gòu)造的齊次式，求出;
③ 采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解;
④ 根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．
2.軌跡問(wèn)題一般方法有三種：定義法，相關(guān)點(diǎn)法.
定義法：（1）判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否滿足某種曲線的定義；
（2）設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，求方程中的基本量
（3）求軌跡方程
相關(guān)點(diǎn)法：（1）分析題目：與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)在已知曲線上；
（2）尋求關(guān)系式，，；
（3）將，代入已知曲線方程；
（4）整理關(guān)于，的關(guān)系式得到M的軌跡方程

【核心題型】
題型一：待定系數(shù)法求雙曲線方程
1．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，過(guò)的直線與的右支相交于，兩點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過(guò)，，則的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，連接，則有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再結(jié)合，即可求得答案.
【詳解】解：設(shè)，則，

由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知：，
連接，則有，，
由于在以為直徑的圓周上，
∴，
∵為平行四邊形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以雙曲線的方程為.
故選:D.
2．（2022秋·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考期末）已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓：相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程組，即可求解.
【詳解】圓，整理為，圓心，半徑，雙曲線的漸近線方程，
由題意可知，，解得：，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
3．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線方程為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】不妨設(shè)A在第一象限，由條件可設(shè)，，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性及條件可得，代入圓的方程，可求，由此確定雙曲線方程.
【詳解】以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓的方程為，雙曲線的兩條漸近線方程為，
不妨設(shè)A在第一象限，則，，∵四邊形ABCD的面積為2b，
∴由對(duì)稱性可得，又，
∴，
將代入，可得，∴，
∴雙曲線的方程為1，
故選：D．

題型二：相同漸進(jìn)性求雙曲線方程
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（????）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)共漸近線的雙曲線的設(shè)法，結(jié)合題意分析求解．
【詳解】漸近線方程為的雙曲線為，即，故，故，
故選：C．
5．（2020·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線與的漸近線相同，則曲線的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求得的漸近線，然后根據(jù)的漸近線相同列方程，解方程求得的值.
【詳解】的漸近線方程為，的漸近線方程為，所以，即，∴.
故選：A
【點(diǎn)睛】本小題主要考查同雙曲線漸近線有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.
6．（2018秋·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線上一點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰為左焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(?????)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程，代入點(diǎn)，即可求解.
【詳解】因?yàn)殡p曲線一條漸近線為，所以可設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)樵陔p曲線上，將代入得，可得雙曲線方程為.
故選：C.

題型三：直接法求離心率
7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，若，則雙曲線的離心率是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線定義聯(lián)立方程組求出，，再根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)一步計(jì)算得出結(jié)果．
【詳解】不妨設(shè)在雙曲線的右支上,由題意可得，
根據(jù)雙曲線定義，又，
所以，．
因?yàn)?，所以?br /> 則，故雙曲線的離心率．
故選：B.
8．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在另一條漸近線上．若，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由中位線可知，即可得出一條漸近線的斜率，據(jù)此得出離心率.
【詳解】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，
所以，又，
所以，即，
所以，故.
故選：A
9．（2023·新疆·統(tǒng)考一模）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)（在之間），與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，勾股定理，雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，畫(huà)出圖形分析即可求解.
【詳解】依題意，可得如圖所示：

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，
因?yàn)閳A，所以半徑，
過(guò)圓心作弦的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，
又，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，
所以且，又，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 又因?yàn)?，?br /> 所以，
所以雙曲線的離心率為：.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的幾何性質(zhì)垂徑定理，勾股定理，雙曲線定義的運(yùn)用，雙曲線離心率的求法，解題過(guò)程中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)可優(yōu)先考慮中位線的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化的過(guò)程中要充分考慮相關(guān)圖形的性質(zhì).

題型四：構(gòu)造齊次方程求離心率
10．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）過(guò)雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先確定為的中點(diǎn)，所以為△的中位線，進(jìn)而得到，，，切圓于，可得，由勾股定理得出關(guān)于，的關(guān)系式，最后即可求得離心率．
【詳解】如圖，

，為的中點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，
為△的中位線，
，，

切圓于

，
，，
由勾股定理
，
．
故選：A．
11．（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由雙曲線的方程可得兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)及漸近錢(qián)的方程，由題意求出的方程，與漸近線聯(lián)立求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值，由點(diǎn)到直線的距離公式，求的值，由由求出a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率．
【詳解】由雙曲線的方程可得雙曲線漸近線方程：，右焦點(diǎn)，
到漸近線的距離，
由漸近線的對(duì)稱性，設(shè)漸近線為，①
則直線方程為∶ ②，
由①②可得，則，
左焦點(diǎn)，所以，
由，有，得，
即，，則的離心率為
故選∶C·
12．（2023·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（????）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：根據(jù)已知條件分別表示出點(diǎn)A、P、Q的坐標(biāo)，代入可得b與a的關(guān)系式，再由及離心率公式可求得結(jié)果.
方法二：運(yùn)用極化恒等式及向量的加法、減法法則計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】方法一：依題意，易得以為直徑的圓的方程為.
又由雙曲線，易得雙曲線C的漸近線方程為.

當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)，則.
聯(lián)立，解得或，所以，.
又因?yàn)?，所以軸.
所以，.所以，所以.
因?yàn)?，所?
同理，當(dāng)時(shí)，亦可得.
故雙曲線C的離心率為.
故選：C.
方法二（極化恒等式）：易得坐標(biāo)原點(diǎn)O為線段PQ的中點(diǎn)，且，
所以，所以，所以.
故選：C.

題型五：漸進(jìn)性的綜合問(wèn)題
13．（2023·寧夏銀川·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┮阎p曲線,直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為,直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方）,且,則的離心率為（?? ??）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由斜率關(guān)系可以確定與漸近線垂直,從而建立直角三角形,然后利用兩漸近線與軸的夾角相等,得出直角三角形三邊的長(zhǎng),從而找到的齊次式,進(jìn)而求離心率.
【詳解】如圖所示,

因?yàn)?,
所以,所以,垂足為;
易求得焦點(diǎn)到漸近線的距離為
所以,
所以;
由角平分線定理可得,
所以,所以
在中,;
所以.
故選：D.
14．（2021·陜西榆林·陜西省神木中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，雙曲線的一條漸近線方程為，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，、和共線時(shí)取等號(hào)，列出的不等式即可.
【詳解】，，

.

??即的最大值為
故選：A.
15．（2023春·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，兩條漸近線分別為，過(guò)F且與平行的直線與雙曲線C及直線依次交于點(diǎn)B，D，點(diǎn)B恰好平分線段，則雙曲線C的離心率為（????）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】數(shù)形結(jié)合，設(shè)，分別聯(lián)立直線與雙曲線，直線與直線可分別解得點(diǎn)的縱坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解得關(guān)系，從而可得雙曲線C的離心率.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)，如圖，

直線與雙曲線聯(lián)立方程組，解得：
，即，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
直線與直線聯(lián)立方程組，可得，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
由于點(diǎn)是中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，
，，
即.
故選：B.

題型六：利用自變量求離心率范圍問(wèn)題
16．（2023春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）直線l與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)A，B，與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)C，D（A，C，D，B從左到右依次排列），若，且，，成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先設(shè)直線方程及四個(gè)點(diǎn)，聯(lián)立后分別求出兩根和和兩根積，再應(yīng)用，，成等差數(shù)列，列式求解即可
【詳解】設(shè)直線，
聯(lián)立，可得，則①
聯(lián)立，可得，則②
因?yàn)?，所以，所以?br /> 因?yàn)椋?，所以，即得?br /> 因?yàn)?，所以中點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以,
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，又因?yàn)锳，C，D，B從左到右依次排列，所以,
所以，代入①②③有，
因?yàn)榍?，又因?yàn)椋瑒t所以，所以，即
綜上，
故選：D.
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)，可設(shè).把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得出，利用求根公式即可解出.結(jié)合，可求出，從而可求出答案.
【詳解】不妨設(shè)在第一象限，因?yàn)?，所以設(shè)，為銳角，
代入雙曲線方程可得：，即，
化簡(jiǎn)可得，即，
因?yàn)?，所以解得?br /> 因?yàn)橹本€，，所以，即，
所以，所以，所以．
故選：．
18．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF＝θ，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（????）
A．(1，＋1] B．
C． D．[，＋∞)
【答案】A
【解析】記雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，由雙曲線的對(duì)稱性、定義及已知可得，得到，再由的范圍得答案．
【詳解】記雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，
因?yàn)锳F⊥BF，A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，由雙曲線的對(duì)稱性可知，
，，，四邊形為矩形，
有，，又∠ABF＝θ，
可得，
則．
由，得，
所以得，
可得
則，
即，
故選：A.

題型七：雙曲線的綜合問(wèn)題
19．（2023·廣東江門(mén)·統(tǒng)考一模）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為8，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程；
(2)已知是軌跡C上一點(diǎn)，直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為1，，求的面積.
【答案】(1)（）
(2)

【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知，，由題意，化簡(jiǎn)可得軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，由過(guò)點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)確定的范圍，由，解得，從而可得直線、的方程，與曲線C的方程聯(lián)立解得的坐標(biāo)，求出及點(diǎn)Q到直線的距離，即可求出的面積.
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動(dòng).
，，
動(dòng)點(diǎn)在右側(cè)，有，同理有，
∵四邊形的面積為8，∴，即，
所以所求軌跡C方程為（）.
（2）如圖，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，

，，在曲線C上，過(guò)點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，
則或，同時(shí)或，解得或.??
，解得或（舍去）.
時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立，消y得：，則或，得.
直線的方程為，
聯(lián)立，消y得：，則或，得，
，
點(diǎn)Q到直線的距離??，
.
方法二：，
，
，則，
.
20．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，，若MA與C的另一交點(diǎn)為P，MB與C的另一交點(diǎn)為Q（P與A，Q與B均不重合）求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為

【分析】（1）把點(diǎn)代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合其離心率來(lái)聯(lián)立方程求解即可；
（2）根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，設(shè)出直線方程為，并設(shè)交點(diǎn)，，聯(lián)立直線與曲線的方程，利用韋達(dá)定理可得，，從而由題意推出直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)，最后檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，也符合題意即可.
【詳解】（1）由題意可知，解得 ,
故雙曲線C的方程為．
（2）證明：①A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，，又
當(dāng)時(shí)，可得，，，
又點(diǎn)P在雙曲線上，∴，
∴．
設(shè)，，：，與雙曲線C的方程聯(lián)立得，
，，，

，
解得，此時(shí)滿足，
∴直線PQ恒過(guò)點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，P與B重合，Q與A重合，此時(shí)直線PQ的方程為．
綜上，直線PQ恒過(guò)點(diǎn)．
21．（2023·安徽安慶·?？家荒＃┰谥苯亲鴺?biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩動(dòng)點(diǎn)滿足，向量與共線.
(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與（1）的軌跡相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
(3)若為點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在；理由見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)，由知，由且向量與共線，知在邊的中垂線上，由此能求出的頂點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入雙曲線方程，得，再由根的判別式和韋達(dá)定理即可求出的取值范圍；
（3）通過(guò)由特殊到一般的方法進(jìn)行求解.
【詳解】（1）設(shè)，由知，
是的重心，.
且向量與共線，在邊的中垂線上，
，
又，
化簡(jiǎn)得，
即所求的軌跡方程是.
（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，
代入得，
，
且，解得.
，則或，

，
則的取值范圍是.
（3）設(shè)，則，即.
當(dāng)軸時(shí)，，
即，故猜想.
當(dāng)不垂直軸時(shí)，，
.
又與同在內(nèi)，
.
故存在，使恒成立.

【高考必刷】

一、單選題
22．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線C上，且，，則雙曲線C的離心率為（????）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)求得，，結(jié)合已知數(shù)量關(guān)系及雙曲線參數(shù)關(guān)系得到齊次方程，即可求離心率.
【詳解】因?yàn)?，又，則，故，即，
所以，又，且，
所以，從而，解得或（舍）.
故選：B
23．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于，兩點(diǎn)，且為的重心，則直線斜率的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)重心性質(zhì)得出中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線與的右支交于兩點(diǎn)可知點(diǎn)在右支內(nèi)部，
將的坐標(biāo)代入雙曲線中建立不等式，即可得離心率的范圍，根據(jù)點(diǎn)差法可得直線的斜率與之間等式關(guān)系，
由不共線建立不等式，解出離心率具體范圍，根據(jù)離心率的范圍及直線的斜率與之間等式關(guān)系，
即可得斜率的取值范圍，解出即可.
【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)重心性質(zhì)可得，
因?yàn)?，則，
因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，所以點(diǎn)在雙曲線右支內(nèi)部，
故有，解得，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)在軸上，
故三點(diǎn)不共線，不符合題意舍，
設(shè)直線斜率為，設(shè)，
所以，，
因?yàn)樵陔p曲線上，所以，
兩式相減可得：，
即，
即有成立，
即有，因?yàn)椴还簿€，
即，即，即，
所以的離心率的取值范圍為，
因?yàn)?br /> ，
因?yàn)?，即?br /> 所以，
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，屬于難題，關(guān)于圓錐曲線中弦中點(diǎn)和直線斜率有關(guān)問(wèn)題的思路有：
（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)建立等式：，；
（3）將兩點(diǎn)代入圓錐曲線中，再對(duì)兩式作差，用平方差公式對(duì)等式變形；
（4）將，及代入等式中即可得出關(guān)系.
24．（2023·山東威海·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為C上一點(diǎn)，M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N，若，且，則C的漸近線方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由對(duì)稱性知四邊形為平行四邊形，可求得及，在中，由余弦定理建立的關(guān)系，從而求得漸近線方程.
【詳解】如圖所示，不妨設(shè)在左支，

設(shè)右焦點(diǎn)為，連接，
由對(duì)稱性知四邊形為平行四邊形，
由得，
由雙曲線定義知：，
所以，
因?yàn)椋?br /> 在中，由余弦定理得，
即，
整理得，即，所以，
則C的漸近線方程為.
故選：D
【點(diǎn)睛】求雙曲線的漸近線就是求與的關(guān)系，通過(guò)可通過(guò)幾何關(guān)系或代數(shù)式建立關(guān)于的一個(gè)齊次等式，求解均可得到漸近線方程.幾何關(guān)系通過(guò)用到平面幾何中的有關(guān)知識(shí)建立關(guān)系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用來(lái)建立關(guān)系式.
25．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，滿足，若，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算法則，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可確定以為鄰邊的平行四邊形為菱形，得到，結(jié)合雙曲線定義可求得，利用余弦定理可構(gòu)造的齊次方程，從而求得離心率.
【詳解】
設(shè)，則，
是以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，
又，為的角平分線，
以為鄰邊的平行四邊形為菱形，，
由雙曲線定義知：，，，
在中，由余弦定理得：，
雙曲線的離心率.
故選：D.
26．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來(lái)，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.
【詳解】
因?yàn)?，所以∽?br /> 設(shè)，則，設(shè)，則，．
因?yàn)槠椒郑山瞧椒志€定理可知，，
所以，所以，
由雙曲線定義知，即，，①
又由得，
所以，即是等邊三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化簡(jiǎn)得，
把①代入上式得，所以離心率為．
故選：A．
27．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用雙曲線的定義可以得出=，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小.
【詳解】由雙曲線得到,,，左焦點(diǎn)，
設(shè)右焦點(diǎn).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故選：C.
28．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）在xOy平面內(nèi)，雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)左頂點(diǎn)A且斜率為的直線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，若，則該雙曲線的離心率是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得出，進(jìn)而由斜率公式結(jié)合離心率公式求解即可.
【詳解】因?yàn)榍尹c(diǎn)M在漸近線上，
由得，則，，于是.
故選：B
29．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，B為雙曲線E上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，線段與雙曲線E相交于另一點(diǎn)A，AB的中點(diǎn)為M，且，若，則雙曲線E的離心率為（????）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】連結(jié)連接、.設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義可推得，即．進(jìn)而在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得.結(jié)合已知條件，即可得出，從而得出離心率.
【詳解】
如圖，連接、.
因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，，所以．
設(shè)，
因?yàn)?，所?
又因?yàn)椋裕?br /> 則．
因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以，則．
設(shè)，在中，，
在中，，
則，整理可得，所以．
當(dāng)時(shí)，，則，
所以離心率為．
故選：D．

二、多選題
30．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線E的右支上一點(diǎn)，若，雙曲線E的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
B．雙曲線E的漸近線方程為
C．點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為
D．若直線與雙曲線E的另一支交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為PM的中點(diǎn)，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)雙曲線定義及離心率求出得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出漸近線方程判斷AB，再由點(diǎn)到漸近線的距離判斷C，點(diǎn)差法可判斷D.
【詳解】根據(jù)雙曲線的定義得，，故，由，得，
所以，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為，即，所以A正確，B不正確；
設(shè)，則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為，所以C正確；
設(shè)，，因?yàn)镻，M在雙曲線E上，所①，②，
①－②并整理得，，即，所以，所以D正確．
故選：ACD．
31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線和圓，則（????）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的漸近線方程為
C．當(dāng)時(shí)，雙曲線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，雙曲線與圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出離心率與漸近線方程，即可判斷A、B，求出圓心到漸近線的距離，即可判斷C，設(shè)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示出的距離，即可得到圓心到雙曲線上的點(diǎn)的距離的最小值，從而判斷D.
【詳解】解：由已知得，，則，所以雙曲線的離心率，故選項(xiàng)A正確；
雙曲線的漸近線方程為，即，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
因?yàn)閳A心到雙曲線的漸近線的距離，
所以當(dāng)時(shí)，圓與雙曲線的漸近線相切，此時(shí)雙曲線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；
設(shè)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則圓心到點(diǎn)的距離為
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以圓心到雙曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為，且雙曲線上只有兩個(gè)點(diǎn)到圓心的距離為，
所以當(dāng)時(shí)，雙曲線與圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD
32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)，的一條漸近線的方程為，且到的距離為，點(diǎn)為在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為的平分線則下列正確的是（????）
A．雙曲線的方程為 B．
C． D．點(diǎn)到軸的距離為
【答案】ACD
【分析】由到的距離為以及漸近線方程為可求得，即可得出方程，判斷A；由可求出判斷B；結(jié)合雙曲線定義可求得，求出，即可求出，判斷C；利用等面積法可求得點(diǎn)到軸的距離，判斷D.
【詳解】到的距離為，，解得，
又漸近線方程為，則，結(jié)合可解得，，
則雙曲線的方程為，故A正確；
為的平分線，，故B錯(cuò)誤；
由雙曲線定義可得，則可得，，
則在中，，
則，
則，即，故C正確；
在中，，
設(shè)點(diǎn)到軸的距離為d，則，
即，解得，故D正確．
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：是根據(jù)已知求出雙曲線方程，結(jié)合雙曲線的定義求得焦點(diǎn)三角形的各邊長(zhǎng).
33．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于、兩點(diǎn)，下列命題正確的有（????）
A．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為
B．若，則
C．
D．若直線的斜率為，且，則
【答案】BCD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，代入雙曲線，用點(diǎn)差法即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，表示出和，得出，再結(jié)合即可得出結(jié)論；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，其中，由雙曲線方程，得出，利用兩點(diǎn)之間距離公式，分別表示出和，通過(guò)做差即可得出結(jié)論；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義，得出，再證出點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，即可得出結(jié)論．
【詳解】選項(xiàng)A：
設(shè)，代入雙曲線得，
，兩式相減得，
，
∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴，，
即，，
∴，
，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：
設(shè)，
，，
，
，
又，
，故B正確；
選項(xiàng)C：
設(shè)，其中，
則，即，
，
，
，
，
，
，故C正確；
選項(xiàng)D：
，，
，，
，
∵直線的斜率為即，且過(guò)點(diǎn)，
∴直線的方程為：，
又∵，，

，
即，
又∵點(diǎn)到直線的距離：，
點(diǎn)到直線的距離：，
即，
∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，
，故D正確；
故選：BCD．

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題涉及到雙曲線中的有關(guān)結(jié)論：
（1）若點(diǎn)是雙曲線上一條弦的中點(diǎn)，則直線的斜率；
（2）若雙曲線上有兩點(diǎn)、，且位于不同兩支，則．

三、填空題
34．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)M，若在點(diǎn)M處的切線平行于的一條漸近線，則__________．
【答案】##
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)及漸近線方程，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)處切線的斜率，得出的關(guān)系，再根據(jù)三點(diǎn)共線的斜率性質(zhì)構(gòu)造方程即可得解.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且；
雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，漸近線方程為，
由題意可知，在點(diǎn)M處的切線平行的漸近線應(yīng)為，
設(shè)，則，得，
又點(diǎn)共線，即點(diǎn)共線，
所以，解得，所以.
故答案為：.
35．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分分別為M、N，當(dāng)時(shí)，.則的離心率為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】依題意，垂直于漸近線，結(jié)合圖形在直角三角形利用三角函數(shù)構(gòu)造齊次式求的離心率.
【詳解】解法1：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
因?yàn)椋源怪庇跐u近線，如圖所示，

則，，，所以的離心率.
因?yàn)?，所以?
過(guò)作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，在直角中，.
因?yàn)?，因?yàn)?，所?
因此的離心率為.
解法2：因?yàn)椋源怪庇跐u近線，則，，
因?yàn)?，所以?br /> 在中，，在中，，
，
，可得，則有，即，
所以C的離心率.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，可得垂直于漸近線，這是本題的著手點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合在直角三角形中利用三角函數(shù)構(gòu)造齊次式可求的離心率.
36．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，若，則以（e為雙曲線C的離心率）為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件求得雙曲線的離心率，也即求得，從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】依題意，，雙曲線的一條漸近線方程為，
依題意，三角形是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
所以到的距離是，
即，
所以對(duì)于拋物線，有，
所以拋物線方程為.
故答案為：
37．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線分別交兩條漸近線于，兩點(diǎn)，若且，則的離心率為_(kāi)_____.
【答案】2
【分析】設(shè)直線的方程為，通過(guò)聯(lián)立方程組的方法求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得中點(diǎn)的坐標(biāo).對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，由化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率.
【詳解】設(shè)直線的方程為，由得，
同理可得，所以的中點(diǎn)
因?yàn)?，所?br /> （1）當(dāng)時(shí)，軸，此時(shí)，，
又由得，即
所以，這與矛盾，不合題意，所以
（2）當(dāng)時(shí)，則，即，
則，即，
又由得

，
化簡(jiǎn)得，所以，所以.
由（1）（2）可知，雙曲線的離心率為2.
故答案為：2
【點(diǎn)睛】求解直線和直線、直線和圓錐曲線的交點(diǎn)的問(wèn)題，可通過(guò)聯(lián)立方程組來(lái)進(jìn)行求解.求解雙曲線的離心率問(wèn)題，有兩個(gè)思路，一個(gè)是求得，從而求得雙曲線的離心率；另一個(gè)是求得或的關(guān)系式，由此來(lái)求得雙曲線的離心率.

四、解答題(共0分)
38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為e，點(diǎn)在C上，，分別為C的左、右頂點(diǎn)，C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線，分別與y軸交于點(diǎn)M，N.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求以MN為直徑的圓的方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由條件列關(guān)于的方程，解方程求可得雙曲線方程；
(2)設(shè)設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合設(shè)而不求法表示條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求以MN為直徑的圓的方程.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在雙曲線C上，
∴??①，
由已知右焦點(diǎn)到漸近線的距離??②.
??③，
由①②③得，，
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，
過(guò)點(diǎn)的斜率為0的直線為，
與雙曲線的交點(diǎn)為，與已知矛盾，
故可設(shè)直線l：，
聯(lián)立方程得，消去x并整理得，
由已知，
方程的判別式
，
設(shè)，，
則，
因此.
設(shè)，，
易知直線的方程為，
令，得，
直線的方程為，
令，得，
則
????，
∴.
∵，∴.
當(dāng)時(shí)，，
以MN為直徑的圓的方程為，即；
當(dāng)時(shí)，，
以MN為直徑的圓的方程為，即.
故以MN為直徑的圓的方程為.
【點(diǎn)睛】解決直線與雙曲線的綜合問(wèn)題，一般利用設(shè)而不求法解決，解決過(guò)程中需注意直線的斜率是否存在，是否為0.
39．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)和．

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解，進(jìn)而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解，
（2）聯(lián)立直線與曲線的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)圓的對(duì)稱性可判斷若有定點(diǎn)則在軸上，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系得向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】（1）∵雙曲線的左焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，而，∴．
∴雙曲線的方程為．
依題意直線的方程為．
由消去y整理得：，
依題意：，，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，
則．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且時(shí)，，
∴雙曲線的方程為．
（2）依題意直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為．
由消去整理得：，
∴，．
設(shè)，，則，．
直線的方程為，令得：，∴．
同理可得．由對(duì)稱性可知，若以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在軸上，
設(shè)該定點(diǎn)為，則，，
故

．
解得或．
故以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)和．

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