新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)講義03 不等式（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?解密03講：不等式
【考點(diǎn)解密】
1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)

2．不等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)內(nèi)容
特別提醒
對(duì)稱(chēng)性
a>b?bb，b>c?a>c
?
可加性
a>b?a＋c>b＋c
?
可乘性
?ac>bc
注意c的符號(hào)
?acb＋d
?
同向同正可乘性
?ac>bd
?
可乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同為正數(shù)
可開(kāi)方性
a>b>0?>(n∈N，n≥2)
a，b同為正數(shù)

3．一元二次不等式的解集
判別式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的圖象

方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有兩相異實(shí)根x1，x2
(x10 (a>0)的解集
{x|xx2}

{x|x∈R}
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x1< x0，b>0.
(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．
(3)其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．

5．幾個(gè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同號(hào))．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.

6．用基本不等式求最值
用基本不等式≤求最值應(yīng)注意：一正二定三相等.
(1)a，b是正數(shù)；
(2)①如果ab等于定值P，那么當(dāng)a＝b時(shí)，和a＋b有最小值2；
②如果a＋b等于定值S，那么當(dāng)a＝b時(shí)，積ab有最大值S2.
(3)討論等號(hào)成立的條件是否滿(mǎn)足．

【方法技巧】
一、比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論．
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．
(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．

二、判斷不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件．
(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案．
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較．

三、利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．
(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．

【核心題型】
題型一：比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小
1．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（? ???）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除D選項(xiàng)；
通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除C選項(xiàng)；
通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除A選項(xiàng)；
【詳解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故選：B.
2．已知：，則3，，的大小關(guān)系是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及運(yùn)算法則比較大小，確定選項(xiàng).
【詳解】，，
∴；
又，∴.故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式化與對(duì)數(shù)式關(guān)系以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
3．設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（? ???）
A． B． C． D．無(wú)法確定
【答案】A
【分析】利用作差法解出的結(jié)果，然后與0進(jìn)行比較，即可得到答案
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以，
∴，
故選：A

題型二：不等式的基本性質(zhì)
4．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中正確的是（ ????）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】由不等式性質(zhì)判斷各選項(xiàng)正誤即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，注意到若，當(dāng)時(shí)，.故A錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，
得，解得.又，，
得.故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng)，因，則，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D選項(xiàng)，，因，則，故D正確.
故選：D
5．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（ ????）
A．若a>b，c>d，則a-d>b-c B．若a>b，c>d則ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，則 D．若a>b，c>d>0，則
【答案】AC
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法逐項(xiàng)分析可求得答案.
【詳解】解：由不等式性質(zhì)逐項(xiàng)分析：
A選項(xiàng)：由，故，根據(jù)不等式同向相加的原則，故A正確
B選項(xiàng)：若，則，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：，，則，化簡(jiǎn)得，故C正確；
D選項(xiàng)：，，，則，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
6．已知，則（?? ??）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】對(duì)A，對(duì)兩邊同除ab化簡(jiǎn)即可判斷；
對(duì)B，對(duì)不等式移項(xiàng)進(jìn)行因式分解得，即可進(jìn)一步判斷的符號(hào)不確定，即可判斷；
對(duì)C，對(duì)不等式移項(xiàng)進(jìn)行因式分解得，由即可判斷；
對(duì)D，對(duì)不等式移項(xiàng)進(jìn)行根式運(yùn)算得，即可進(jìn)一步判斷
【詳解】對(duì)A，，A正確；
對(duì)B，，∵，∴，不等式不一定成立，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，∵，∴，不等式成立，C正確；
對(duì)D，，所以，不等式不成立，D錯(cuò)誤；
故選：AC．

題型三：不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用
7．已知，，則的取值范圍是（ ???）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用待定系數(shù)法得出，并計(jì)算出的取值范圍，利用不等式的性質(zhì)可得出的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，解得，
，
，，，
由不等式的性質(zhì)可得，即，
因此，的取值范圍是，故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查求代數(shù)式的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是將所求代數(shù)式用已知的代數(shù)式加以表示，在求解可充分利用待定系數(shù)法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.
8．已知，，則的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用待定系數(shù)法求得，由，，結(jié)合，從而可得結(jié)果.
【詳解】令
則，
∴，
又，…∴①
，
∴…②
∴①②得．
則．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題.
9．已知,,則的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】由可以推出，由不等式的性質(zhì)可以得到的取值范圍.
【詳解】，而，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得
，所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì).不等式的性質(zhì)中沒(méi)有相除性，可以利用相乘性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是應(yīng)用不等式相乘性時(shí)，要注意不等式的正負(fù)性.

題型四：利用基本不等式求最值
命題點(diǎn)1 配湊法
10．設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，函數(shù)的最小值為（? ???）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】將函數(shù)變形為，再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.
【詳解】解：由題意，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以函數(shù)的最小值為.
故選：A．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

11．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，則xy的最大值為_(kāi)_______．
【答案】
【詳解】因?yàn)閤>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，即x＝，y＝1時(shí)，xy取到最大值.
12．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
【詳解】(a－c)
＝(a－b＋b－c)
＝1＋1＋＋.
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c時(shí)取等號(hào)，
∴(a－c)的最小值為4.

命題點(diǎn)2常數(shù)代換法
13．已知，則的最小值是（? ???）
A．7 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.
結(jié)合可知，當(dāng)時(shí)，有最小值.
故選：D.

14．已知，且，則的最小值為（??? ?）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】利用“乘1法”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開(kāi)利用基本不等式求解．
【詳解】，，又，且，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為9．
故選：A．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：
（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

15．若實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ????）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由條件變形，再結(jié)合基本不等式求最小值.
【詳解】由條件可知，，
所以
，
當(dāng)，即，結(jié)合條件，
可知時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.
故選：D

16．已知，且，則的最小值為_(kāi)________．
【答案】4
【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.
【詳解】，,
，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，
結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

命題點(diǎn)3 消元法
17．負(fù)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)樨?fù)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則，可得，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故的最小值為.
故選：A.

18．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy＋3x＝3，則＋的最小值為_(kāi)_______．
【答案】8
【詳解】∵實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0”和“

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