一、選擇題（共20小題；）
1. 設(shè)定點(diǎn) ，，動點(diǎn) 滿足條件 ，則點(diǎn) 的軌跡是
A. 橢圓B. 線段C. 不存在D. 橢圓或線段

2. 曲線 與曲線 的
A. 焦距相等B. 離心率相等C. 焦點(diǎn)相同D. 準(zhǔn)線相同

3. 已知 、 是橢圓 的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn) 的直線交橢圓于點(diǎn) 、 ，若 ，則
A. B. C. D.

4. 如圖，直線 過橢圓的左焦點(diǎn) 和一個頂點(diǎn) ，該橢圓的離心率為
A. B. C. D.

5. 直線 與拋物線 交于 、 兩點(diǎn)，過 、 兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為 、 ，則梯形 的面積為
A. B. C. D.

6. 已知 、 是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足 的點(diǎn) 總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是
A. B. C. D.

7. 設(shè) ， 分別是橢圓 （）的左、右焦點(diǎn)， 是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為 （ 為半焦距）的點(diǎn)，且 ，則橢圓的離心率是
A. B. C. D.

8. 過橢圓 的左焦點(diǎn) 作 軸的垂線交橢圓于點(diǎn) ， 為右焦點(diǎn)，若 ，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.

9. 橢圓 的離心率為
A. B. C. D.

10. 已知 ， 為橢圓 （）的焦點(diǎn)， 為橢圓上一點(diǎn)， 垂直于 軸，且 ，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.

11. 已知方程 表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

12. 已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，，點(diǎn) 在橢圓上，若 ，， 是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，則點(diǎn) 到 軸的距離為
A. B. C. D.

13. 我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知 ， 是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)， 是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng) 時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率為
A. B. C. D.

14. 已知橢圓 的長軸端點(diǎn)為 ，，若橢圓上存在一點(diǎn) 使 ，則橢圓離心率的取值范圍是
A. B. C. D.

15. 已知橢圓 ，， 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 是橢圓的下頂點(diǎn)，直線 交橢圓于另一點(diǎn) ，若 ，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.

16. 已知橢圓 的焦點(diǎn)為 ，，過 的直線與 交于 ， 兩點(diǎn)．若 ，，則 的方程為
A. B. C. D.

17. 橢圓 上的一點(diǎn) 到左焦點(diǎn) 的距離為 ， 是 的中點(diǎn)，則 等于
A. B. C. D.

18. 設(shè)橢圓 的離心率 ，右焦點(diǎn) ，方程 的兩個根分別為 ，，則點(diǎn) 在
A. 圓 內(nèi)B. 圓 上
C. 外D. 以上三種情況都有可能

19. 已知 是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過 且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，若 是正三角形，則這個橢圓的離心率是
A. B. C. D.

20. 橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為 ，若橢圓 上恰好有 個不同的點(diǎn) ，使得 為等腰三角形，則橢圓 的離心率的取值范圍是
A. B.
C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 已知 ， 是橢圓 的焦點(diǎn)，則在 上滿足 的點(diǎn) 的個數(shù)為 ．

22. 如圖，把橢圓 的長軸 分成 等份，過每個分點(diǎn)作 軸的垂線交橢圓的上半部分于 ，，，，，， 七個點(diǎn)， 是橢圓的一個焦點(diǎn)，則 ．

23. 橢圓 的一個焦點(diǎn)為 ，則 等于 ．

24. 橢圓 的兩個焦點(diǎn)是 ，，以 為邊作正三角形，若橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率為 ．

25. 以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè) 、 為兩個定點(diǎn)， 為正常數(shù)，，則動點(diǎn) 的軌跡為橢圓；
②雙曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn)；
③方程 的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④和定點(diǎn) 及定直線 的距離之比為 的點(diǎn) 的軌跡方程為 ．
其中真命題的序號為 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 當(dāng) 為何值時，直線 與曲線 只有一個交點(diǎn)?

27. 在 中，，，求 值．

28. 已知橢圓 的兩個焦點(diǎn)為 ，，且經(jīng)過點(diǎn) ．
（1）求橢圓 的方程；
（2）過 的直線 與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)（點(diǎn) 位于 軸上方），若 ，且 ，求直線 的斜率 的取值范圍．

29. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn) ，，，， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若 是直角三角形，求 的值；
（2）若四邊形 是平行四邊形，求 的最小值．

30. 設(shè) 是橢圓 的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有 個不同的點(diǎn) （），使 ，，，，組成公差為 的等差數(shù)列，求 的取值范圍．
答案
1. D【解析】提示：，當(dāng)且僅當(dāng) 時，取得等號．而 ，所以 ，故點(diǎn) 的軌跡是橢圓或線段．
2. A【解析】提示：由 知該方程表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，
由 知該方程表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線．
3. A【解析】由橢圓定義，可得 ， ， ．
4. D【解析】提示：顯然 ，．
5. B
【解析】直線與拋物線交于 ， 兩點(diǎn)，如圖所示：
直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得 消 得，，故 ，．
所以 ，，所以 ，由拋物線定義可知 ，，．
6. C【解析】提示：滿足 的點(diǎn) 在以 為直徑的圓上，故只需 即可，從而 ，從而 ．
7. D【解析】，，由 得 ．
8. B【解析】因?yàn)?，再由 ，及橢圓定義有 ，從而可得 ．
9. A
10. C
11. D
12. D
13. A【解析】不妨設(shè)橢圓：，
雙曲線：．
，，，，．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
故選A．
14. B【解析】不妨設(shè) ，
則 ，，，
所以 ，，
則 ，
又 ，所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
所以當(dāng) 時， 取得最大值，
所以當(dāng) 在短軸上時， 取得最大值，
因?yàn)闄E圓上存在一點(diǎn) 使 ，
所以 （ 為短軸頂點(diǎn)），設(shè) ，則 ，
又因?yàn)?，所以離心率 ，
又因?yàn)?，所以 的取值范圍為 ．
15. A
【解析】如圖．
點(diǎn) 在橢圓上，所以 ，
由 ，，
代入上式得，，，
在 ，，
又 ，
所以 ，即 ．
16. B【解析】設(shè)橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）．
因?yàn)?，，
所以 ．
又因?yàn)?，
所以 ，則 ，，
．
方法一：在 中，由余弦定理，
得 ．
因?yàn)闄E圓 的焦點(diǎn)為 ，，
所以 ，．
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
所以橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
方法二：
因?yàn)?，
所以點(diǎn) 為橢圓的上、下頂點(diǎn)．不妨設(shè) ，，
因?yàn)?，
所以 ，代入橢圓方程得 ，解得 ．
又因?yàn)?，
所以 ，
所以橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
17. B【解析】如圖， 為橢圓的右焦點(diǎn)，連接 ，
則 是 的中位線，
所以 ，
又 ，
，
所以 ，
所以 ．
18. A【解析】由 不難得到 ，．故方程 化簡后得 ．
所以

設(shè)點(diǎn) 和圓心之間的距離為 ，則 ．
19. B
20. D
【解析】當(dāng) 時，橢圓上存在兩點(diǎn)使得 為等腰三角形，當(dāng) ，或 時，各存在兩個點(diǎn)，當(dāng) 時，有 ，，所以當(dāng)橢圓上有 個不同的點(diǎn) 時，有 ，解得 ，且 ．
21.
22.
【解析】設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為 ，根據(jù)橢圓第一定義有 根據(jù)橢圓的對稱性得 ，所以 ．
23. 或
24.
25. ②③④
【解析】根據(jù)橢圓的定義，當(dāng) 時是橢圓，所以①不正確；
雙曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，所以②正確；
方程 的兩根為 或 ，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，所以③正確；
設(shè) ，則 ，整理得 ，所以 ④ 正確．
26. ．
27. 當(dāng) 時，， ．
；
當(dāng) 時，，
，
，
；
當(dāng) 時，， ，
．
綜上知， 或 或 ．
28. （1） 設(shè)橢圓 的方程為 ．
則 ，可得 ，．
所以橢圓 的方程為 ．
（2） 設(shè)直線 ．
由 得 ．
設(shè) ，，則 ，．
又 ，所以 ，即 ．
由于 ，所以 ，即 ．
又 ，所以 ．
故斜率k的取值范圍為 ．
29. （1） 由題意得，
，，，
若 ，則 ，即 ，
所以 ；
若 ，則 ，即 ，
所以 ；
若 ，則 ，即 ，無解，
所以 的值為 或 ．
（2） 若四邊形 是平行四邊形，則 ，
設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
即 ，
所以 即 ，
所以 ，
所以當(dāng) 時， 取得最小值 ．
30. 在橢圓中：，，，設(shè) ，，
當(dāng)這個數(shù)列為增數(shù)列時 ，則 ，，且 ，又 ，所以 ，即 ；
當(dāng)這個數(shù)列為減數(shù)列時 ，同理可得 ；
綜上所述得 ．

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