?第5講　素養(yǎng)提升之函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新情境、新考法專項(xiàng)沖刺
目錄
一、新情境
角度1：緊跟社會(huì)熱點(diǎn)
角度2：關(guān)注經(jīng)濟(jì)發(fā)展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：結(jié)合生產(chǎn)實(shí)踐
角度5：滲透數(shù)學(xué)文化
角度6：強(qiáng)調(diào)五育并舉
二、新考法
角度1：以高觀點(diǎn)為背景
角度2：以給定定義、熱點(diǎn)信息為背景
角度3：考查開放、探究精神
角度4：考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析得核心素養(yǎng)
角度5：相近學(xué)科融合







一、新情境
角度1：緊跟社會(huì)熱點(diǎn)
1．（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））某容量為萬(wàn)立方米的小型湖，由于周邊商業(yè)過(guò)度開發(fā)，長(zhǎng)期大量排放污染物，水質(zhì)變差，今年政府準(zhǔn)備治理，用沒有污染的水進(jìn)行沖洗，假設(shè)每天流進(jìn)和流出的水均為萬(wàn)立方米，下雨和蒸發(fā)正好平衡.用函數(shù)表示經(jīng)過(guò)天后的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知，其中表示初始湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù).如果，要使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的以下，至少需要經(jīng)過(guò)（????）天（參考數(shù)據(jù)：）
A．113 B．116 C．119 D．120
【答案】B
【詳解】設(shè)至少需要經(jīng)過(guò)天，因?yàn)橐购奈廴舅较陆档介_始時(shí)污染水平的10%以下，
所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 由題意知，，，
所以，整理得，解得，
所以至少需要經(jīng)過(guò)116天.
故選：B
2．（2022·河南省淮陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））年月日，河南平頂山抽干湖水成功抓捕了兩只鱷雀鱔，這一話題迅速?zèng)_上熱搜榜．與此同時(shí)，關(guān)于外來(lái)物種泛濫的有害性受到了熱議．為了研究某池塘里某種植物生長(zhǎng)面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）之間的關(guān)系，通過(guò)觀察建立了函數(shù)模型（，，且）．已知第一個(gè)月該植物的生長(zhǎng)面積為，第個(gè)月該植物的生長(zhǎng)而積為，給出下列結(jié)論：
①第個(gè)月該植物的生長(zhǎng)面積超過(guò)；
②若該植物的生長(zhǎng)面積達(dá)到，則至少要經(jīng)過(guò)個(gè)月；
③若，則成等差數(shù)列；
④若成等差數(shù)列，，，則．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意得：，解得：，；
對(duì)于①，，①正確；
對(duì)于②，令，又，，即至少需要經(jīng)過(guò)個(gè)月，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由得：，
，則成等差數(shù)列，③正確；
對(duì)于④，由得：，，
成等差數(shù)列，，④錯(cuò)誤.
故選：B.
3．（2022·四川綿陽(yáng)·高二期末（文））酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之間為酒后駕車，80mg及以上為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過(guò)的小時(shí)數(shù)約為（????）
（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【詳解】由題設(shè)，想要在不違法的情況下駕駛汽車，則酒精含量小于，
令小時(shí)后，，則小時(shí)，
所以想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過(guò)的小時(shí)數(shù)約為11小時(shí).
故選：B
4．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三開學(xué)考試）2022年北京冬奧會(huì)成功舉辦，更加激發(fā)全國(guó)人民對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的愛好，某地為響應(yīng)全民冰雪運(yùn)動(dòng)的號(hào)召，建立了一個(gè)滑雪場(chǎng).該滑雪場(chǎng)中某滑道的示意圖如圖所示，點(diǎn)A，B分別為滑道的起點(diǎn)和終點(diǎn)，它們?cè)谪Q直方向的高度差為20.兩點(diǎn)之間為滑雪彎道，相應(yīng)的曲線可近似看作某三次函數(shù)圖象的一部分.綜合滑行的安全性與趣味性，在滑道的最陡處，滑雪者的身體與地面所成的夾角約為44°.若還要兼顧滑道的美觀性與滑雪者的滑雪體驗(yàn)，則A，B兩點(diǎn)在水平方向的距離約為（????）

A．23 B．25 C．27 D．29
【答案】D
【詳解】以滑道的最陡處為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，為的中點(diǎn)，
設(shè)三次函數(shù)的解析式為，其中，
設(shè)點(diǎn)，則，，
在滑道最陡處，，則的對(duì)稱軸為直線，則，可得0，
則，
在滑道最陡處，設(shè)滑雪者的身體與地面所成角為，則
，
所以，
由圖可知可得，
因?yàn)椋瑒t.
故選：D.

5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三階段練習(xí)）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與，T近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為（????）
A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，，且，則，于是得
設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間為，則有
即，所以，
而，解得
所以在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為3.6天
故選：A．
角度2：關(guān)注經(jīng)濟(jì)發(fā)展
1．（2022·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高三階段練習(xí)）美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）成正比，已知投入1千萬(wàn)元，公司獲得毛收入0.25千萬(wàn)元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40千萬(wàn)元資金同時(shí)生產(chǎn)，兩種芯片，則可以獲得的最大利潤(rùn)是______千萬(wàn)元．（毛收入＝營(yíng)業(yè)收入－營(yíng)業(yè)成本）

【答案】9
【詳解】解：因?yàn)樯a(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，所以設(shè)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，
即生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式為．
對(duì)于芯片，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，所以，解得，所以，
即生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為．
設(shè)投入，千萬(wàn)元生產(chǎn)芯片，則投入千萬(wàn)元生產(chǎn)芯片，
則公司所獲利潤(rùn)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為9千萬(wàn)元．
故答案為：
2．（2022·山東棗莊·高二期末）某小微企業(yè)制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，可獲利0.4分，且能制作的瓶子的最大半徑為6cm，當(dāng)每瓶飲料的利潤(rùn)最大時(shí)，瓶子的半徑為______cm．
【答案】
【詳解】設(shè)每瓶飲料獲得的利潤(rùn)為，依題意得，，，于是，遞減；，遞增，是極小值點(diǎn)，于是在，只可能使得最大.
故答案為：
3．（2022·北京豐臺(tái)·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.每個(gè)瓶子的造價(jià)P1（單位：元）、瓶?jī)?nèi)飲料的獲利P2（單位：元）分別與瓶子的半徑r（單位：cm，）之間的關(guān)系如圖甲、乙所示.設(shè)制造商的利潤(rùn)為，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①????當(dāng)時(shí)，；
②????在區(qū)間上單調(diào)遞減；
③????在區(qū)間上存在極小值；
④????在區(qū)間上存在極小值.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.

【答案】①③④
【詳解】由圖可知：當(dāng)時(shí)，，故，故①正確；
,當(dāng)時(shí)，由圖象可知，在處的切線斜率大于在處的切線斜率，故，因此 在區(qū)間上單調(diào)遞增，② 錯(cuò)；
根據(jù)圖象可知：圖象先快后慢，而圖象先慢后快，所以可得在上的變化是先減后增，故由極小值，③正確；
，當(dāng)趨近于時(shí)，在處的切線斜率明顯大于在處的切線斜率，而當(dāng)趨近于0時(shí)，在處的切線斜率明顯大于在處的切線斜率，所以可得在上的變化是先減后增，故由極小值，故④正確.
故答案為：①③④
4．（2022·全國(guó)·高一）端午節(jié)來(lái)臨之際，商家推出了兩種禮盒進(jìn)行售賣．A類禮盒中有4個(gè)甜味粽，4個(gè)肉餡粽；B類禮盒中有2個(gè)甜味粽，4個(gè)肉餡粽，6個(gè)咸鴨蛋，兩種禮盒的成本分別為盒中食品的成本之和，包裝費(fèi)用忽略不計(jì)．其中，每個(gè)咸鴨蛋的成本為每個(gè)肉餡粽成本的，每個(gè)甜味粽的成本比每個(gè)肉餡粽的成本少，且每個(gè)甜味粽和每個(gè)肉餡粽的成本均為整數(shù)．已知A類禮盒的售價(jià)為50元，利潤(rùn)率為25%．端午節(jié)當(dāng)天一共賣出了兩類禮盒共計(jì)128盒，且賣出的B類禮盒至少50盒．后續(xù)工作人員在核算總成本的過(guò)程中，把每個(gè)甜味粽和每個(gè)肉餡粽的成本看反了，并用看反的每個(gè)肉餡粽的成本的去計(jì)算每個(gè)成鴨蛋的成本，結(jié)果算出來(lái)的總成本比實(shí)際總成本少了480元，則當(dāng)日實(shí)際賣出的兩種禮盒的總成本為______元．
【答案】5360
【詳解】∵A類禮盒的售價(jià)為50元，利潤(rùn)率為25%．
∴A類禮盒的成本為元，
即4個(gè)甜味粽，4個(gè)肉餡粽的成本為40元，
∴1個(gè)甜味粽，1個(gè)肉餡粽的成本總和為10元，
設(shè)每個(gè)甜味粽的成本為x元，則每個(gè)肉餡粽的成本為元，
∵每個(gè)咸鴨蛋的成本為每個(gè)肉餡粽成本的，
∴每個(gè)咸鴨蛋的成本為元，
∵B類禮盒中有2個(gè)甜味粽，4個(gè)肉餡粽，6個(gè)咸鴨蛋，
∴B類禮盒的成本為元，
設(shè)賣出A類禮盒盒，則賣出B類禮盒盒，
，
整理得：，
當(dāng)日實(shí)際賣出的兩種禮盒的總成本為




（元）．
故答案為：5360.
角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·北京朝陽(yáng)·高二期末）激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的函數(shù)．函數(shù)是常用的激活函數(shù)之一，其解析式為．關(guān)于函數(shù)的以下結(jié)論
①函數(shù)是增函數(shù)；
②函數(shù)是奇函數(shù)；
③對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
④曲線不存在與直線垂直的切線．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．
【答案】①②④
【詳解】定義域?yàn)镽，，
所以為奇函數(shù)，②正確；
恒成立，所以函數(shù)是增函數(shù)，①正確；
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，且，
故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；
，且，
所以，故曲線不存在與直線垂直的切線．④正確.
故答案為：①②④
2．（2022·河南·鄭州四中高三階段練習(xí)（理））在人工智能領(lǐng)域，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)比較熱門的話題．由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展而來(lái)的深度學(xué)習(xí)正在飛速改變著我們身邊的世界．從AlphaGo到自動(dòng)駕駛汽車，這些大家耳熟能詳?shù)睦樱际且陨窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)作為其理論基礎(chǔ)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，有一類很重要的函數(shù)稱為激活函數(shù)，Sigmoid函數(shù)即是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最有名的激活函數(shù)之一，其解析式為：．下列關(guān)于Sigmoid函數(shù)的表述正確的是：______．
①Sigmoid函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；
②Sigmoid函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為；
③對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，方程有且只有一個(gè)解；
④Sigmoid函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足：．
【答案】①②④
【詳解】因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故①正確；
因?yàn)椋許igmoid函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為，故②正確；
因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，且，，
僅當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)解，故③錯(cuò)誤；
，
，所以，故④正確．
故答案為：①②④.
3．（2022·北京朝陽(yáng)·高三階段練習(xí)）2022年6月5日神舟十四號(hào)載人飛船在長(zhǎng)征二號(hào)F遙十四運(yùn)載火箭的托舉下點(diǎn)火升空，成功進(jìn)入預(yù)定軌道．我國(guó)在航天領(lǐng)域取得的巨大成就，得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)．根據(jù)火箭理想速度公式，可以計(jì)算理想狀態(tài)下火箭的最大速度v（單位：），其中（單位：）是噴流相對(duì)速度，m（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，應(yīng)稱為總質(zhì)比．己知A型火箭噴流相對(duì)速度為，根據(jù)以上信息：
（1）當(dāng)總質(zhì)比為50時(shí)，A型火箭的最大速度為___________；
（2）若經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到原來(lái)的2倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?lái)的，若要使火箭的最大速度至少增加，則在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值為___________．
（所有結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】???? 3129???? 68
【詳解】（1）當(dāng)總質(zhì)比為50時(shí)，A型火箭的最大速度為：
；
（2）經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度為，總質(zhì)比為，
要使火箭的最大速度至少增加，
則，
即 ，
即 ，
即 ，
所以，
所以在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值為68.
故答案為:3129；68.
角度4：結(jié)合生產(chǎn)實(shí)踐
1．（2022·云南昆明·高一期末）某地方政府為鼓勵(lì)全民創(chuàng)業(yè)，擬對(duì)本地年產(chǎn)值（單位：萬(wàn)元）的小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案為：獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨企業(yè)年產(chǎn)值x的增加而增加，且獎(jiǎng)金不低于7萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)企業(yè)年產(chǎn)值的15%．若函數(shù)，則m的取值范圍為__________．
【答案】
【詳解】由題意為增函數(shù)，故，解得.
又根據(jù)題意可得對(duì)恒成立，
故且在恒成立.
解可得，又在區(qū)間上為增函數(shù)，
故.綜上有，即m的取值范圍為
故答案為：
2．（2022·河北·承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）某公司生產(chǎn)防疫器材，生產(chǎn)固定成本為20000元，若每生產(chǎn)一臺(tái)該器材需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量（單位：臺(tái)）滿足函數(shù)：，當(dāng)該公司月生產(chǎn)量為______________臺(tái)，公司利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是____________________元（總收入=總成本+利潤(rùn)）
【答案】???? 300???? 25000
【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，
，
故答案為：.
3．（2022·河南·安陽(yáng)37中高一期中）某蔬菜倉(cāng)庫(kù)供應(yīng)甲、乙兩個(gè)大型超市．蔬菜倉(cāng)庫(kù)的設(shè)計(jì)容量為萬(wàn)噸，去年年底時(shí)該倉(cāng)庫(kù)的蔬菜存儲(chǔ)量為萬(wàn)噸，從今年開始，每個(gè)月購(gòu)進(jìn)蔬菜萬(wàn)噸，再按照需求量向兩個(gè)超市調(diào)出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量為萬(wàn)噸，乙超市前個(gè)月的蔬菜總需求量為萬(wàn)噸，其中且，且前個(gè)月，乙超市的蔬菜總需求量為萬(wàn)噸．
(1)求第個(gè)月月底時(shí)，該倉(cāng)庫(kù)的蔬菜存儲(chǔ)量（萬(wàn)噸）與的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若要今年每月按計(jì)劃購(gòu)進(jìn)蔬菜之后，倉(cāng)庫(kù)總能滿足兩個(gè)超市的需求，且每月調(diào)出蔬菜后，倉(cāng)庫(kù)的蔬菜剩余量不超過(guò)設(shè)計(jì)容量，試確定的取值范圍．
【答案】(1)（且）
(2)
【詳解】（1）由題意知：，解得：；
（且）.
（2）由題意得：，即；
對(duì)任意且恒成立；
設(shè)，則，
當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；
，則，的取值范圍為.
4．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高一期中）2022年8月9日，美國(guó)總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對(duì)中國(guó)的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來(lái)說(shuō)，短期內(nèi)可能會(huì)受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因?yàn)樗鼘⒓ぐl(fā)中國(guó)自主創(chuàng)新更強(qiáng)的爆發(fā)力和持久動(dòng)力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入a萬(wàn)元，現(xiàn)為加大對(duì)研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員工x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬(wàn)元．
(1)求調(diào)整后企業(yè)對(duì)全部技術(shù)人員的年總投入和對(duì)全部研發(fā)人員的年總投入的表達(dá)式：
(2)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?
(3)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件，①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不低于調(diào)整前的水平．請(qǐng)問是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出m的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)，且，
，且；
(2)125；
(3)存在，.
【詳解】（1）由題意得，，且，
，且.
（2）由（1）得，，解得，又，則調(diào)整后研發(fā)人員的人數(shù)最少為.
（3）由條件①得：，整理得，則，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；
由條件②得：，解得，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最大值，所以；
綜上所述，存在這樣的滿足以上兩個(gè)條件，的范圍為.
角度5：滲透數(shù)學(xué)文化
1．（2022·重慶市第十一中學(xué)校高一階段練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，?已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】顯然，.
當(dāng)時(shí)，
，
令，
當(dāng)x>0時(shí)，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，x=1時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)x

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