?第1講　直線與圓綜合問(wèn)題
目錄
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：直線傾斜角與斜率
突破二：兩條直線平行與垂直
突破三：直線方程
突破四：距離問(wèn)題
突破五：圓的方程
突破六：與圓上點(diǎn)有關(guān)的距離最值問(wèn)題
突破七：圓的切線問(wèn)題
突破八：兩圓的公共弦問(wèn)題
突破九：圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
1、直線斜率的坐標(biāo)公式
如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：



（1）當(dāng) 時(shí)，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無(wú)關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換；
（3）當(dāng) 時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。
2、兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：
或，斜率都不存在.

3、兩條直線垂直的一般結(jié)論為：
或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零．

4、直線方程
①直線過(guò)點(diǎn)和斜率（已知一點(diǎn)+斜率）：
②直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）：
③直線在軸上的截距為，在軸上的截距為：
④直線的一般式方程：
5、直線系方程
（1）平行直線系方程
把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為 (其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設(shè)中另一個(gè)條件來(lái)確定的值.
（2）垂直直線系方程
一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個(gè)條件來(lái)確定的值.
6、點(diǎn)到直線的距離
平面上任意一點(diǎn)到直線：的距離.

7、對(duì)稱問(wèn)題
（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題(方法：中點(diǎn)坐標(biāo)公式)
求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)
由：
（2）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題（聯(lián)立兩個(gè)方程）
求點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)
①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；
②
整理得：

（3）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題(求關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線，則）
方法一：在直線上找一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，根據(jù)，再由點(diǎn)斜式求解；
方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點(diǎn)到兩直線的距離相等求參數(shù).
方法三：在直線任意一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則該點(diǎn)在直線上.

（4）直線關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題
4.1直線：（）和：（）相交,求關(guān)于直線的對(duì)稱直線
①求出與的交點(diǎn)
②在上任意取一點(diǎn)(非點(diǎn)），求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)
③根據(jù)，兩點(diǎn)求出直線

4.2直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對(duì)稱直線
①
②在直線上任取一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求直線.

8、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
9、圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離
設(shè)的方程，圓心，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)；記;
①若點(diǎn)在外，則;
②若點(diǎn)在上，則;
③若點(diǎn)在內(nèi)，則;

10、圓的一般方程
對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.
①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)
③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形
說(shuō)明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項(xiàng)；③.
11、直線與圓相交
記直線被圓截得的弦長(zhǎng)為的常用方法
（1）幾何法（優(yōu)先推薦）
①弦心距（圓心到直線的距離）
②弦長(zhǎng)公式：
（2）代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)
弦長(zhǎng)公式：
12、圓上點(diǎn)到直線的最大（小）距離
設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
13、圓與圓的公共弦
（1）圓與圓的公共弦
圓與圓相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.
（2）公共弦所在直線的方程
設(shè):
:
聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程
（3）公共弦長(zhǎng)的求法
代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長(zhǎng)．
幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長(zhǎng)．
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：直線傾斜角與斜率
1．（2022·湖南·懷化市湖天中學(xué)高二階段練習(xí)）已知、，直線過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)直線交線段于點(diǎn)，記點(diǎn)，如下圖所示：

當(dāng)直線從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時(shí)，直線的傾斜角逐漸減小，且為鈍角，
此時(shí)直線的斜率；
當(dāng)直線從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時(shí)直線的傾斜角逐漸增大，且為銳角，
此時(shí)直線的斜率.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：C.
2．（2022·遼寧·大連市第二十三中學(xué)高二期中）已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【詳解】
直線恒過(guò)定點(diǎn)，且，，由圖可知，或.
故選：C.
3．（2022·廣東·深圳中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)，，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是，
故選：A.

4．（2022·四川省瀘縣第四中學(xué)高二期中（文））已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【詳解】由題意，將已知轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
直線過(guò)定點(diǎn)，曲線表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓的上半部分（包括與軸的交點(diǎn)），
畫出圖形如下圖所示．

當(dāng)直線，即直線與圓相切時(shí)，
則有，解得，．
結(jié)合圖形可得當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則有，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
突破二：兩條直線平行與垂直
1．（2022·江蘇南通·高二期中）是直線與直線平行的（????）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【詳解】若直線與直線平行，則有解得或，故當(dāng)直線與直線平行時(shí)，或.
所以是直線與直線平行的充分不必要條件.
故選：A
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直線：與：平行，則實(shí)數(shù)（????）
A．2 B．－2 C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，：的斜率存在且?br /> 所以：的斜率存在且，即.
故選：C
3．（2022·福建省福州第十一中學(xué)高三期中）已知，，直線與直線垂直，則的最小值是___________.
【答案】
【詳解】的法向量的法向量
兩直線垂直得，即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故答案為：.
4．（2022·浙江·元濟(jì)高級(jí)中學(xué)高二期中）已知直線：，：，若，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】－3或0
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線：，：，此時(shí)顯然，符合題意；
當(dāng)時(shí)，整理可得直線：，：，
由，則，解得.
故答案為：－3或0
突破三：直線方程
1．（2022·北京四中高二期中）與直線平行，且與圓相切的直線方程為______.
【答案】或
【詳解】由圓的方程知：圓心為，半徑；
設(shè)所求直線方程為：，
則圓心到直線距離，解得：或，
所求直線方程為：或.
故答案為：或.
2．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)高二期中）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為定值，則直線l的方程為_________________________．
【答案】
【詳解】圓的圓心，半徑，顯然點(diǎn)C的軌跡是直線，
直線，由解得，即直線l過(guò)定點(diǎn)，
因直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為定值，則圓心C到直線l的距離為定值，因此直線l平行于圓心C的軌跡，
設(shè)直線l的方程為：，有，解得，
此時(shí)直線l與圓心C的軌跡的距離為，即直線l與圓C相交，
所以直線l的方程為.
故答案為：
3．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高二期中）直線l過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離為3，則直線的方程為______.
【答案】或
【詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為3，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
所以此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，解得，
所以直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為：或.
故答案為：或.
4．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）寫出與直線垂直且和圓相切的一條直線的方程：__________．
【答案】或
【詳解】圓的圓心，半徑，設(shè)與直線垂直的直線方程為：，
依題意，，解得或，
所以所求的直線方程是或.
故答案為：或
突破四：距離問(wèn)題
1．（2022·浙江·高二期中）點(diǎn)到直線的距離的最大值為（????）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【詳解】由直線，整理可得，
令，解得，
點(diǎn)到直線距離的最大值為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，則，
故選：D.
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函數(shù)的最小值是（????）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【詳解】，
則其幾何意義為點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和，點(diǎn)表示為橫坐標(biāo)上的點(diǎn)，作出如圖所示：

根據(jù)將軍飲馬模型，作出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，
則，此時(shí)直線的直線方程為
令，則，故當(dāng)時(shí)，.
故選：A.
3．（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br /> 記點(diǎn)、、，則，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.

故選：C.
4．（2022·福建省廈門第二中學(xué)高二階段練習(xí)）點(diǎn)到直線（為任意實(shí)數(shù)）的距離的最大值為 （????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】將直線方程整理為：，
由得：，直線恒過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為.
故選：B.
5．（2022·山東青島·高二期中）直線過(guò)點(diǎn)，和兩點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線l的方程為（????）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【詳解】依題意，得
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，此時(shí)到直線的距離為，到直線的距離為，不滿足題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，即，
因?yàn)楹蛢牲c(diǎn)到直線l的距離相等，
所以，即，解得或，
所以直線為或，即或.
故選：B.
6．（2022·遼寧省康平縣高級(jí)中學(xué)高二期中）若圓M：上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離為，則k的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】圓M：的圓心，半徑
顯然一條直線過(guò)圓M的某條半徑的中點(diǎn)并垂直于該半徑時(shí)，圓M上恰有3點(diǎn)到該直線距離為圓M半徑的一半，即，
因此圓M上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離為，等價(jià)于圓心M到直線l的距離，
則有，解得或，
所以k的取值范圍是.
故選：C
7．（2022·河北·石家莊市第十八中學(xué)高二階段練習(xí)）若第一象限內(nèi)的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，則的最小值是（????）
A．25 B． C．17 D．
【答案】B
【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，依據(jù)題意可得：
，解方程組得，又對(duì)稱點(diǎn)在直線上，代入可得
，且在第一象限，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：B
8．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離是，則直線的方程是__________．
【答案】或
【詳解】由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)，，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，滿足點(diǎn)到直線的距離是；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，轉(zhuǎn)化為，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離是，所以，解得，
此時(shí)直線的方程為．
故答案為：或.

9．（2022·河南·宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線與平行，則，間的距離為___________.
【答案】
【詳解】因?yàn)椋郧遥獾茫?br /> 所以，即，
所以，間的距離為.
故答案為：
10．（2022·黑龍江省饒河縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線，，則直線與之間的距離最大值為______.
【答案】5
【詳解】直線化簡(jiǎn)為：，
令且，解得，，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，
直線化簡(jiǎn)為：，
令且，解得，，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，，
當(dāng)與直線，垂直時(shí)，直線，的距離最大，
且最大值為，
故答案為：5．
11．（2022·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足：，則的最小值為________
【答案】##4.5
【詳解】由題設(shè)可得，，
故，
設(shè)，，則，
即函數(shù)的圖象的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線段的平方，
而，令，則，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為1，
故函數(shù)的圖象在處的切線為，
的最小值即為平行線，之間的距離，
此距離為，故的最小值為，
故答案為：
12．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高二階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為______.
【答案】2
【詳解】由，，故可理解為曲線上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)間的距離的平方，對(duì)于函數(shù)，令，故可得，即函數(shù)在處的切線方程為，切線方程與直線平行，則函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離，故的最小值為.

故答案為：2.
13．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，，則m的最小值為___________.
【答案】
【詳解】由表示到和的距離之和，
又關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
∴到和的距離之和的最小值為與之間的距離，
∴.
故答案為：.
突破五：圓的方程
1．（2022·北京豐臺(tái)二中高三階段練習(xí)）若直線截取圓所得弦長(zhǎng)為2，則（????）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)閳A的半徑為1，直徑為2，故直線過(guò)的圓心，
故，解得.
故選：C
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線恒過(guò)定點(diǎn)P，則與圓C：有公共的圓心且過(guò)點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】直線，即，
由解得，即，圓C：的圓心，，
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B
3．（2022·安徽·合肥市第七中學(xué)高二期中）已知方程表示圓，則k的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)楸硎緢A，
所以，解得，
得的取值范圍是.
故選：C
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則的外接圓的方程是___________．
【答案】
【詳解】解：設(shè)外接圓的方程為，
由題意得，解得，
所以的外接圓方程為.
故答案為：.
5．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））設(shè)圓心在直線與直線上，點(diǎn)在上，則的方程為______．
【答案】
【詳解】由題意解得，
設(shè)的方程為，將代入得，即，
所以的方程為，
故答案為：.
突破六：與圓上點(diǎn)有關(guān)的距離最值問(wèn)題
1．（2022·黑龍江·綏棱縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓C：上的點(diǎn)到直線l：的最大距離為M?最小距離為m，若，則實(shí)數(shù)k的值是（????）
A． B．1 C．或1 D．或1
【答案】D
【詳解】圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為；
直線l：化為一般式是.
由點(diǎn)到直線的距離公式可知，圓心到直線l：的距離為，
易知當(dāng)l與圓C相切時(shí)；
當(dāng)l與圓相交時(shí)，，均不合題意，故直線l與圓C必相離，
此時(shí)圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為，最小距離為.
因?yàn)?，所以，得，即，解得?
經(jīng)檢驗(yàn)直線l與圓C相離，符合題意.綜上，或.
故選：D.
2．（2022·貴州貴陽(yáng)·高二階段練習(xí)）直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】圓，直線恒過(guò)點(diǎn)，
點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)是圓的弦中點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，
圓心和點(diǎn)的距離，
所以最短弦長(zhǎng).
故選：D
3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由得，所以曲線C是以為圓心，的圓，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，
所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值為.
故選：B．
4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知是圓上的一點(diǎn)，則的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
由可化為，則圓心為，半徑為，
點(diǎn)到圓心的距離為，
所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，
即的最小值是.
故答案為：.
5．（2022·安徽省泗縣第一中學(xué)高二期中）直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】直線，令，得，令，得，
，
點(diǎn)到直線的距離為的高，
又圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為：，
所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為，
則面積為，最大值為，
最小值為，所以面積的取值范圍為，故A，B，C錯(cuò)誤.
故選：D.
6．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知圓的方程為，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為__________.
【答案】##
【詳解】設(shè)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，有，得，
在圓上，滿足圓的方程，則有，化簡(jiǎn)得點(diǎn)軌跡方程為，
點(diǎn)軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，

，所以的最小值為.
故答案為：
7．（2022·北京市第五十七中學(xué)高三階段練習(xí)）若點(diǎn)在半徑為1，且圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的圓上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為___________.
【答案】
【詳解】原點(diǎn)，而點(diǎn)，有，圓O與圓C半徑分別為1，2，顯然圓O與圓C外離，
因PQ切圓C于點(diǎn)Q，有，因此，
當(dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，而點(diǎn)P在圓上，于是得，
所以.
故答案為：
8．（2022·湖南·衡陽(yáng)市一中高二期中）已知是曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，則的最大值與最小值的比值是__________．
【答案】
【詳解】由，得，
，或．
當(dāng)時(shí)，原方程化為，當(dāng)時(shí)，原方程化為．
所以方程表示的曲線為圓P：的左半部分和圓Q：的右半部分．
畫出方程所表示的曲線如圖：

有，，，，，，，，
當(dāng)、分別與圖中、兩點(diǎn)重合時(shí)，取最大值為6，
當(dāng)、分別與圖中、、、四點(diǎn)中的某兩點(diǎn)重合時(shí)，取最小值為，
的最大值與最小值的比值是．
故答案為：
9．（2022·上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸上一點(diǎn)反射后到達(dá)圓上一點(diǎn)，則的最小值為_____．
【答案】
【詳解】解：由題知：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
如圖，設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，
所以，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，
所以，的最小值為
故答案為：

10．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是圓O：上兩點(diǎn)，且，若弦的中點(diǎn)為，則的最小值為___________.
【答案】
【詳解】設(shè)點(diǎn)，因此表示，
由，
因?yàn)椋?，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，
所以，所以，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，
最小值為，
所以的最小值為，
故答案為：
突破七：圓的切線問(wèn)題
1．（2022·江蘇連云港·高二期末）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長(zhǎng)為（????）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【詳解】的圓心為，
設(shè)切點(diǎn)為A，半徑，如圖所示，

由切線性質(zhì)知，，
則切線長(zhǎng)．
故選: C．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線是圓：的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則等于（????）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：圓即，圓心為，半徑為，
由題意可知過(guò)圓的圓心，
則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
作示意圖如圖所示：

，切點(diǎn)為，則，
所以．
故選：B．
3．（2022·遼寧鞍山·高二期中）過(guò)點(diǎn)引圓的切線，則切線的方程為（????）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【詳解】若切線與軸垂直，則切線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，合乎題意；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即，
由題意可得，解得，
此時(shí)，所求切線的方程為.
綜上所述，所求切線方程為或.
故選：C.
4．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若圓C:上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在圓上，由點(diǎn)向圓作切線，則切線段長(zhǎng)的最小值為（????）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【詳解】 圓，
化簡(jiǎn)為: ，
圓的圓心坐標(biāo): ， 半徑為，
圓關(guān)于直線 對(duì)稱，
在直線上，
可得 ，即，
點(diǎn)與圓心的距離為，
點(diǎn)向圓所作切線長(zhǎng)為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)切線長(zhǎng)最小，最小值為4 .
故選：C.
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_________．
【答案】或
【詳解】由已知圓心，半徑.
又，所以，點(diǎn)在圓外.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為.
此時(shí)，圓心到直線的距離，所以直線不是圓的切線；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，
整理可得，.
因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，
即，整理得，，
解得，或.
當(dāng)時(shí)，直線方程為；
當(dāng)時(shí)，直線方程為，化為一般式方程為.
所以切線的方程為或.
故答案為：或.
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）曲線與直線l：y＝k（x－2）＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
【答案】
【詳解】直線l過(guò)點(diǎn)A（2，4），又曲線的圖象是以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，
如圖，當(dāng)直線l與半圓相切，C為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線l的距離d＝r，

即，解得.
當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B（－2，1）時(shí)，直線l的斜率為，
則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
故答案為：

突破八：兩圓的公共弦問(wèn)題
1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圓 ?與圓?公共弦所在直線方程為___________．
【答案】
【詳解】解法一：設(shè)、為公共弦上兩點(diǎn)，
則，
得，
同理得，
∴ 兩圓的公共弦方程為．
解法二：直接把兩圓方程相減得為公共弦方程．
故答案為：．
2．（2022·四川成都·高二期中（文））圓與圓的公共弦長(zhǎng)為______．
【答案】
【詳解】圓與圓的方程相減可得公共弦長(zhǎng)所在直線的方程，即，
圓的圓心為，半徑為2，
圓心到的距離，
∴兩圓公共弦長(zhǎng)，
故答案為：.
3．（2022·天津·耀華中學(xué)高二期中）兩圓和相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)為__________.
【答案】##
【詳解】由，解得，或，
所以不妨取兩圓的交點(diǎn)為，
所以.
故答案為：.
4．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二階段練習(xí)（理））過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB 的方程為_____．（請(qǐng)用直線方程的一般式作答）
【答案】
【詳解】由題設(shè)，圓心為、，則以為直徑的圓為，
所以為和的公共弦，
故直線的方程，將兩圓方程相減可得：.
故答案為：
突破九：圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題
1．（2022·天津市第二耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）若直線被圓截得線段的長(zhǎng)為6，則實(shí)數(shù)的值為__________.
【答案】25
【詳解】，圓心
又根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：

故答案為：25
2．（2022·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））若直線過(guò)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線方程為______
【答案】或
【詳解】由，得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為，
所以圓心到直線的距離為，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線的方程為，也符合題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
因?yàn)閳A心到直線：的距離為，
所以，解得 ，
所以直線方程為 ．
即所求直線 的方程為或．
故答案為：或．
3．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若，則______．
【答案】
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，即，
因?yàn)?，的半徑?，
故弦的弦心距為，即圓心到直線的距離為，
故，解得，即,
故,
故答案為：.
4．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））過(guò)點(diǎn)作一條直線與圓分別交于M，N兩點(diǎn).若弦MN的長(zhǎng)為，則直線MN的方程為______.
【答案】或（其他形式，只要正確亦可）
【詳解】由題意可知，直線MN的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則直線MN的方程為，即.
若弦MN的長(zhǎng)為，則圓心到直線MN的距離為，所以，解得.
故直線MN的方程為或，即或.
故答案為：或.
5．（2022·山西運(yùn)城·高二階段練習(xí)）已知圓過(guò)平面內(nèi)三點(diǎn)，，．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)B也在圓上，且弦AB長(zhǎng)為，求直線AB的方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，
，解得
即，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）圓心到直線的距離，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為：，此時(shí)，不符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，
，解得
∴直線方程為或．
6．（2022·福建·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校石獅分校高二期中）已知圓:，點(diǎn)坐標(biāo)為，為圓上動(dòng)點(diǎn)，中點(diǎn)為.
(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與的軌跡相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1），所以在圓外.
設(shè)，由于的中點(diǎn)是，所以，
所以，
整理得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）點(diǎn)的軌跡方程為，所以是以為圓心，半徑為的圓，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
由，解得或，滿足.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
由于，，，
所以圓心到直線的距離為，
即，解得，所以直線的方程為，
即.
綜上所述，直線的方程為或.
7．（2022·北京市師達(dá)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓，直線.
(1)若直線與圓交于兩點(diǎn)，，求的值.
(2)求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；
(3)求直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)，以及此時(shí)直線的方程.
【答案】(1)
(2)證明見詳解
(3)，
【詳解】（1）依題意，圓心，
根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式
解之：
（2）
由直線方程
解得定點(diǎn)，
又，在圓內(nèi)，
無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)得證.
（3）由弦長(zhǎng)公式
此時(shí)
此時(shí)
綜上：
8．（2022·遼寧·本溪滿族自治縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直.
(1)求直線的方程；
(2)若圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在軸的負(fù)半軸上，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由已知，得解得兩直線交點(diǎn)為，
設(shè)直線的斜率為，因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得，
所以直線的方程為，即.
（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則由題意，得
解得或（舍去），
所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
9．（2022·山東省濟(jì)南市萊鋼高級(jí)中學(xué)高二期中）已知圓和點(diǎn)．
(1)過(guò)點(diǎn)M向圓O引切線，求切線的方程；
(2)求以點(diǎn)M為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為8的圓M的方程；
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）若過(guò)點(diǎn)M的直線斜率不存在，直線方程為：，為圓O的切線；
當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，即，
∴圓心O到切線的距離為：，解得：
∴直線方程為：．
綜上，切線的方程為：或
（2）點(diǎn)到直線的距離為：，
又∵圓被直線截得的弦長(zhǎng)為8，由垂徑定理得：，
∴
∴圓M的方程為：
10．（2022·貴州貴陽(yáng)·高二階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn).
(1)求圓的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦的長(zhǎng)為4，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：因?yàn)閳A的圓心在直線上，
所以設(shè)圓心為，
又因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)，
所以，
解得，
所以圓心為，半徑為 ，
所以圓的方程；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：直線方程為，
圓心到直線的距離為，
所以弦長(zhǎng)為，成立；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以弦長(zhǎng)為，
解得，
所以直線方程為：，
所以直線的方程為 或.
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
一、單選題
1．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期中）直線的傾斜角為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，且
所以，則.
故選：B.
2．（2022·浙江·杭州市源清中學(xué)高二期中）已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】直線的斜率為1，設(shè)直線的傾斜角為，則，
因?yàn)?，所?
故選:.
3．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知x，y滿足，若不等式恒成立，則c的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)榭苫癁?，表示的是以為圓心，為半徑的圓，
可以看作是直線在軸上的截距，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，縱截距取得最大值或最小值，
此時(shí)，解得或，所以，
又因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ裕?br /> 則c的取值范圍是.
故選：B.
4．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)（????）
A． B． C．或0 D．或0
【答案】D
【詳解】解：若直線與互相垂直，
則，即，解得或.
故選：D.
5．（2022·河北·任丘市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由圓，圓，
兩式相減，得圓與圓的公共弦所在直線方程為：，
聯(lián)立，解得，即，，
又在直線上，
，即．
有，得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
的取值范圍是.
故選：C．
6．（2022·河北·涉縣第一中學(xué)高三期中）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題可知點(diǎn)在圓上，，則切線的斜率為，
所以切線方程為，化簡(jiǎn)可得.
故選：B
7．（2022·河南·馬店第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知?jiǎng)狱c(diǎn)M，N分別在拋物線：和圓：上，則的最小值為（????）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【詳解】設(shè)，則，即，
由題意可得：，
∵，
令，則在R上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
即，，則.
故選：A.
8．（2022·湖南長(zhǎng)沙·高二階段練習(xí)）已知直線：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB所對(duì)的圓心角的余弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
所以弦長(zhǎng)，
在中，由余弦定理可得：
.
故選：C
9．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二期中（文））一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在的直線方程為（????）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【詳解】點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以反射光線經(jīng)過(guò)，
當(dāng)反射光線所在直線與軸垂直時(shí)，即，
圓到直線的距離為，
因?yàn)椋灾本€與圓相離，故反射光線所在直線的斜率存在，設(shè)為，
則反射光線所在直線的方程為，即，
因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切，所以，解得或，
所以反射光線所在直線的方程為，或，
整理得或.
故選：A.
10．（2022·四川省遂寧高級(jí)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中（理））已知圓，圓，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線、切點(diǎn)分別為、，則的最小值是（????）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【詳解】解：由題意可知，圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心，半徑為2，
所以，
而，所以兩圓相離，
，要使取得最小值，
需要和越小，且越大才能取到，
設(shè)直線CM和圓交于H，G兩點(diǎn)（如下圖），

則的最小值是，
，，
則，
所以，
故選：C.
11．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓上任意一點(diǎn)均滿足，其中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓和圓的公切線有（????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】C
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則有，解得，所以.
又圓的半徑，則圓的半徑，
所以圓的方程為.
設(shè)，則，.
又，則，
整理可得，，
圓的方程為，圓心，.
則圓和圓圓心距，
又，則
所以，圓和圓外切，所以兩圓的公切線有3條.
故選：C.
二、多選題
12．（2022·浙江·杭州市源清中學(xué)高二期中）已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．圓M關(guān)于對(duì)稱
C．直線與截圓M的弦長(zhǎng)為 D．直線與圓M相切
【答案】BCD
【詳解】已知圓，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，圓心，
將點(diǎn)到圓心的距離，
所以，點(diǎn)在圓外，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
將圓心代入直線，得，成立
所以直線過(guò)圓心，則圓關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)正確；
因?yàn)閳A心直線的距離,
可得弦長(zhǎng)為 ,C選項(xiàng)正確；
因?yàn)閳A心直線的距離，
所以直線與圓相切，D選項(xiàng)正確；
故選：
13．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）設(shè)動(dòng)直線交圓于A，B兩點(diǎn)（C為圓心），則下列說(shuō)法正確的有（????）
A．直線l過(guò)定點(diǎn) B．當(dāng)取得最大值時(shí)，
C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值 D．的取值范圍是
【答案】AD
【詳解】對(duì)于A，由，得，
由，得，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，由可知，圓心，半徑，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，取得最大值，
所以，解得，故B不正確；
對(duì)于C，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
所以，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在內(nèi)，所以當(dāng)最小時(shí)，
最大，最小，
因?yàn)榈淖钚≈禐椋源藭r(shí)，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br /> 由B知，，所以，即的取值范圍是，故D正確.
故選：AD
14．（2022·福建省南安國(guó)光中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓（為圓心），直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線分別與圓切于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．四邊形的面積最小值為
B．最短時(shí)，弦長(zhǎng)為
C．最短時(shí)，弦直線方程為
D．直線過(guò)定點(diǎn)為
【答案】AB
【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；

對(duì)于AB，，
若取得最小值，則取得最小值，
，
當(dāng)，即為圓心到直線的距離時(shí)，最小，即最小，
，，，
此時(shí)，解得：，AB正確；
對(duì)于CD，設(shè)，，
當(dāng)在點(diǎn)處的切線斜率存在時(shí)，其斜率為，則切線方程為：，
即，
，又，
在點(diǎn)處的切線方程為：；
當(dāng)在點(diǎn)處的切線斜率不存在時(shí)，即時(shí)，，則切線方程為：，滿足；
綜上所述：在點(diǎn)處的切線方程為；
同理可得：在點(diǎn)處的切線方程為；
又為兩條切線的交點(diǎn)，設(shè)，
則滿足，
坐標(biāo)滿足方程，
當(dāng)過(guò)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為時(shí)，直線方程為：，
當(dāng)最小時(shí)，直線方程為：，即，
由得：，即；
此時(shí)直線方程為：，即，且此時(shí)直線不過(guò)點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
三、填空題
15．（2022·吉林·長(zhǎng)春博碩學(xué)校高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與曲線，有兩個(gè)公共點(diǎn)，b的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】解：由得，
作出圖像如下：

當(dāng)直線與相切時(shí)，
，
解得，（舍去）．
滿足題意的直線夾在和之間（圖中虛線所示），
．
故答案為：．
16．（2022·山東·菏澤市定陶區(qū)明德學(xué)校（山大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校）高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)軸上的點(diǎn)分別向圓和圓引切線，記切線長(zhǎng)分別為、.則的最小值為__________.
【答案】
【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.
設(shè)點(diǎn)，則，
所以，的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
，
所以，的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如下圖所示：

，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
17．（2022·河北·涉縣第一中學(xué)高三期中）已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，若，求直線的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【詳解】（1）是雙曲線的一條漸近線方程，
則，故，
又因?yàn)椋?，即?br /> 所以雙曲線的方程為.
（2）由題可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，
若，則線段的垂直平分線即為軸，不滿足題意，所以；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線斜率為，即直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，則.
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，
恒成立，
根據(jù)韋達(dá)定理可得，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
，又，
所以線段的垂直平分線的方程為.
令，則，即，
所以，即，
即，整理得，所以或（舍去），
所以，即直線的方程為或.
18．（2022·海南·嘉積中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)在直線上，直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與交于，兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）把代入，則，
∴即，
∴拋物線的方程為：.
（2）設(shè)，，則…①，…②
②-①得：，，
∴，
則直線的方程為：，即
19．（2022·河北·任丘市第一中學(xué)高二期中）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且______．從下列3個(gè)條件中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答．
①與軸相切；②圓恒被直線平分；③過(guò)直線與直線的交點(diǎn)C．
(1)求圓的方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程．
【答案】(1)任選一條件，方程都為
(2)或
【詳解】（1）解：選①，設(shè)圓的方程為，
由題意可得，解得，則圓的方程為；
選②，直線恒過(guò)，
而圓恒被直線平分，
所以恒過(guò)圓心，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，
所以圓心為，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，
則圓的方程為．
選③，由條件易知，
設(shè)圓的方程為，
由題意可得，解得，
則圓的方程為，即．
綜上所述，圓的方程為；
（2）解：因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓外，
若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，
則切線方程為，即
所以，解得．
所以切線方程為，
若直線斜率不存在，直線方程為，滿足題意．
綜上過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或．
20．（2022·山西·晉城市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知圓，直線，，且直線和均平分圓.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）因?yàn)橹本€和均平分圓，所以直線和均過(guò)圓心，
因?yàn)椋獾?，所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以圓心的坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A，所以圓心坐標(biāo)為，
所以，解得，
所以圓的方程為，即，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，
因?yàn)?，且為等腰三角形，所以?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以圓心到直線的距離，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，
即，解得或，
所以實(shí)數(shù)的值為或.







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