?第4講　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題
目錄
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：分離變量法與不等式恒（能）成立問題
突破二：分類討論法與不等式恒（能）成立問題
突破三：同構(gòu)法與不等式恒（能）成立問題
突破四：端點(diǎn)效應(yīng)與不等式恒（能）成立問題
突破五：最值定位法解決雙參不等式問題
突破六：值域法解決雙參等式問題
突破七：單變量不等式證明
角度1：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式
角度2：構(gòu)造函數(shù)，利用最值證明不等式
角度3：等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等式證明
角度4：超越放縮與不等式證明
突破八：利用導(dǎo)數(shù)證明雙變量不等式
角度1：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)
角度2：糅合雙參（比值糅合）
角度3：糅合雙參（差值糅合）
角度4：利用指數(shù)（對數(shù)）平均不等式解決雙變量問題





第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
1、不等式恒成立(能成立)求參數(shù)范圍的類型與解法
（1）分離參數(shù)法
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；
步驟：
①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）
②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．
③求最值.
（2）分類討論法
如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．
（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化法
當(dāng)遇到型的不等式恒成立問題時(shí)，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.
2、最值定位法解決雙參不等式問題
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
3、值域法解決雙參等式問題（任意——存在型）
,,使得成立
①，求出的值域，記為
②求出的值域，記為
③則,求出參數(shù)取值范圍.
4、值域法解決雙參等式問題（存在——存在型）
,,使得成立
①，求出的值域，記為
②求出的值域，記為
③則,求出參數(shù)取值范圍.
5、兩個(gè)超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）
（1）對數(shù)型超越放縮：（）

上式（1）中等號右邊只取第一項(xiàng)得：結(jié)論①
用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②
對于結(jié)論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：
（）結(jié)論③
（2）指數(shù)型超越放縮：（）

上式（2）中等號右邊只取前2項(xiàng)得：結(jié)論①
用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②
當(dāng)時(shí)，對于上式結(jié)論②結(jié)論③
當(dāng)時(shí)，對于上式結(jié)論②結(jié)論④
6、指數(shù)不等式法
在對數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：
7、對數(shù)均值不等式法
兩個(gè)正數(shù)和的對數(shù)平均定義：
對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）
取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：分離變量法與不等式恒（能）成立問題
1．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）已知，若對任意的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_______.
【答案】
【詳解】恒成立，等價(jià)于，
令，則，
則，所以當(dāng)時(shí)都有，所以單調(diào)遞增.
所以不等式轉(zhuǎn)化為，即，即，即，即.
令，則.
當(dāng)都有，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，都有，所以單調(diào)遞減.
所以
所以，即的最小值為.
故答案為：.
2．（2022·黑龍江·高二期中）已知，若存在，使不等式，對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】時(shí)，不等式可化為，
因?yàn)榇嬖谑共坏仁胶愠闪ⅲ?br /> 所以只需，
設(shè)，，
則，，
所以在上為增函數(shù)，
所以，所以，，
所以整理可得，
設(shè)，
所以，令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，則在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是
3．（2022·貴州畢節(jié)·三模（文））函數(shù)．
(1)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)若對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)在上有唯一零點(diǎn)
(2)
(1)
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 所以
在上恒成立，即在上為增函數(shù)，
且
在上有唯一零點(diǎn)
(2)
解：由題意得：在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
所以
令
，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，


4．（2022·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】(1)見解析
(2)
(1)
（1）
若時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).
綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
由，解得 ，
所以，
由時(shí)，，可知在上恒成立
可化為在上恒成立，設(shè)，
則，
設(shè)，則 ，所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以方程有且只有一個(gè)實(shí)根，且 ，，
所以在上，， 單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
從而，又為整數(shù)，所以的最大值為：.
5．（2022·江蘇·無錫市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（）.
(1)當(dāng)時(shí)，對于函數(shù)，存在，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；（）
(2)設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)滿足條件的最大整數(shù)為4；
(2)實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（1）
由已知可得，，，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，，
因?yàn)?，所?br /> 所以函數(shù)在上的的最大值為，最小值為，
因?yàn)榇嬖?，使得成立?br /> 所以，
所以，又，故，
所以滿足條件的最大整數(shù)的值為4；
（2）
不等式，可化為，
因?yàn)椋裕?br /> 由已知在上恒成立；
所以，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
6．（2022·天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)令是函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，使成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】(1)的極小值為，無極大值；
(2)；
(3)1.
(1)
因?yàn)?，所以?br /> 所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以的極小值為，無極大值.
(2)

不妨設(shè)，則，
則由，可得，
變形得恒成立，
令，
則在上單調(diào)遞增，
故在恒成立，
在恒成立．
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”， ；
(3)
，．
，，，，
，使得成立．
令，則，
令，則由，可得或（舍．
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．
，在，上恒成立．
在，上單調(diào)遞增，則（1），即．
實(shí)數(shù)的最大值為1．
突破二：分類討論法與不等式恒（能）成立問題
1．（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，，若對于，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值集合是_______．
【答案】##
【詳解】易知函數(shù)和函數(shù)的圖象均過點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，，顯然成立；
②當(dāng)時(shí)，由可得：
當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；
∵，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時(shí)，，
∴，則；
當(dāng)時(shí)，則有：
若，則，故成立；
若，則，故成立；
若，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，故成立；
故符合題意；
③當(dāng)時(shí)，，即，
∴不符合題意
綜上所述：的取值集合是.
故答案為：.
2．（2022·天津市瑞景中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，若對任意的，恒成立，求的最大值.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
【詳解】（1），定義域?yàn)?br />
當(dāng)時(shí)，，在上遞增.
當(dāng)時(shí)，，在上遞增.
當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.
即在上遞增，在上遞減.
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）在上恒成立，
等價(jià)于.
由（1）得，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無最大值，
故此時(shí)原不等式無法恒成立；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則此時(shí)
即須成立.
記函數(shù)，且
則
即在單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br /> 所以滿足的a的最大整數(shù)值為.
綜上：的最大值為.
3．（2022·北京海淀·高三期中）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
，又，
在點(diǎn)處的切線方程為：，即.
（2）當(dāng)時(shí)，令，則；
當(dāng)時(shí)，，，即，
在上單調(diào)遞增，又，，
在上有唯一零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
（3）令，
則對任意，恒成立；又，
令，則；
當(dāng)時(shí)，若，則，，，
在上恒成立，則在上單調(diào)遞增；
①當(dāng)時(shí)，，，
，使得，且當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
恒成立，滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，，
由②知：對任意，，滿足題意；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
4．（2022·福建福州·高二期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)
當(dāng)時(shí)，,定義域?yàn)镽，.
所以，.
所以曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：，
即.
(2)
不等式可化為：，
即存在，使得不等式成立.
構(gòu)造函數(shù)，則.
①當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，解得：，故；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：令，解得：故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，解得：，這與相矛盾，舍去；
③當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，不符合題意，應(yīng)舍去.
綜上所述：m的取值范圍為：.
5．（2022·陜西·咸陽市高新一中高二期中（理））已知函數(shù)
(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．
【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
(1)
，由得，
，
由得，由得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)
若要命題成立，只須當(dāng)時(shí)，，
由可知 當(dāng)時(shí)，
所以只須
對來說，，
（1）當(dāng)時(shí)，在上有，∴
這時(shí)，由得；
（2）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
∴在遞減，，
∴當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，滿足題意的.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的極小值為___________；若函數(shù)，對于任意的，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】???? ????
【詳解】由，得，
令，得，
列表如下：









遞減
極小值
遞增
所以，函數(shù)的極小值為；
（2），，使得，即，.
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，
，即；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，
，即；
③當(dāng)時(shí)，，不符合題意.
綜上：.
故答案為：；.
突破三：同構(gòu)法與不等式恒（能）成立問題
1．（2022·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┮阎瘮?shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)且和曲線相切的直線方程；
(2)若對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)辄c(diǎn)沒有在曲線上，故不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，直線斜率為，
則切線方程為，又因?yàn)樵撝本€過點(diǎn)，
所以，即，
記，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，又，∴，
故切線方程為；
（2）當(dāng)時(shí)，由可得，
即，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
由可得，
所以，即，其中，
令，其中，則．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，即．
2．（2022·江蘇·南京師大蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，是否存在正實(shí)數(shù)，使得成立（為自然對數(shù)的底數(shù)）？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)答案見解析
(2)
（1）
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ．
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上為減函數(shù)，函數(shù)不存在極值；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即，無極大值．
綜上可得：當(dāng)時(shí)函數(shù)無極值，當(dāng)時(shí)，無極大值；
（2）
解：因?yàn)闀r(shí)成立，
即在上有解，
即在上有解，
又，由（1）可知，即，
令，則，
則在上有解，
令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以只需，即時(shí)滿足題意.
3．（2022·江西·蘆溪中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．
(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
（1）
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以對恒成立，
即對恒成立．
令，則．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
即在上單調(diào)遞減，所以，
從而，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
（2）
證明：當(dāng)時(shí)，．
要證，即證，
即證，即證．
令，則只要證．
令，則．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
即成立，故．
突破四：端點(diǎn)效應(yīng)與不等式恒（能）成立問題
1．設(shè)函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；
（Ⅱ）若對任意，，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，令，即，解得；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，即，此方程△，無實(shí)數(shù)解．
由（ⅱ），得的零點(diǎn)為，，
（Ⅱ）方法1．當(dāng)時(shí)，
對于，，得，
顯然函數(shù)在，上遞減，
要使恒成立，只需，即，
得，又，所以符合題意．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
由，知函數(shù)在上遞增，在上遞減．
以下對再進(jìn)行分類當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)在上遞增，在上遞減．
此時(shí)（a），，只需，
即解得，即，
又，所以符合題意．（11分）當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)在，上遞增．
要使恒成立，只需（a），
即，得，
又，所以符合題意．
由（ⅱ），得實(shí)數(shù)的取值范圍是．
方法2．因?yàn)閷θ我?，，恒有，所以?br /> 即，解得．
下面證明，當(dāng)時(shí)，對任意，，恒有，
當(dāng)時(shí)，遞增，
故（a）成立；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
，，
故，成立．
由此，對任意，，恒有，
2．（2021·河南大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f（x）＝ax﹣a+lnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，曲線y＝f（x）總在曲線y＝a（x2﹣1）的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【詳解】 （1）的定義域?yàn)?，對已知函?shù)求導(dǎo)，得：，
若，則，單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，，單調(diào)遞減.
（2）由題意得，
整理得 .
令，則.
由題意知“”是“”的必要條件.
由，解得：.
下面證明：“”是“”的充分條件.
由不等式知，當(dāng)時(shí)，
.
綜上可知.
突破五：最值定位法解決雙參不等式問題
1．（多選）（2022·福建龍巖·高二期中）已知函數(shù)，，若，，使得成立，則a的取值可以是（????）
A．0 B． C． D．
【答案】AD
【詳解】解：，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在，上遞增，
故當(dāng)，時(shí)，，
對于二次函數(shù)，該函數(shù)開口向下，
所以其在區(qū)間，上的最小值在端點(diǎn)處取得，
所以要使對，，，，使得成立，只需，
因?yàn)楹瘮?shù)開口向下，所以當(dāng)，時(shí)，（1），（2），
所以或，所以或，
解得．
故選：AD.
2．（2022·江蘇省石莊高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，若對，，使得成立，則a的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，
因?yàn)殚_口方向向下，
所以在區(qū)間上的最小值的端點(diǎn)處取得，
所以要使對，，使得成立，
只需，即或，
即或，
解得，
所以a的取值范圍是，
故答案為：
3．（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高二期中（理））已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若對于任意、，均有，求的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(2)
(1)
解：函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?br /> ①當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
②當(dāng)時(shí)，由，解得；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
綜上可得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(2)
解：由已知，轉(zhuǎn)化為．
由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
故的極大值即為最大值，，
因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
故的極小值即為最小值，

，即，解得．
的取值范圍為
4．（2022·上海市楊思高級中學(xué)高三期中）已知函數(shù).
（1）若，求曲線在處切線的方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）.
【詳解】（1）由已知，
，
曲線在處切線方程為，即.
（2）.
①當(dāng)時(shí)，由于，故，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
②當(dāng)時(shí)，由，得.
在區(qū)間上，，在區(qū)間上，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）由已知，轉(zhuǎn)化為，
由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故的極大值即為最大值，，
所以，
解得.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值，．
（1）求的值與的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，已知函數(shù)，若對于任意、，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.
【詳解】解：（1）由題意得的定義域?yàn)?，?br /> 函數(shù)在處取得極值，
（2），解得，
則由得或，
、、的關(guān)系如下表：




2



0

0


遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由（1）得函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，對任意、，，都有，
即當(dāng)，，時(shí)，，
在，上單調(diào)遞減，，，，
在，上單調(diào)遞減，
則，，
則，
即，解得或，結(jié)合，得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
6．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.
(1)求的值，并判斷的單調(diào)性（不必證明）；
(2)設(shè)為正數(shù)，函數(shù)，若對于任意，總存在，使得成立，求的最大值.
【答案】(1)，，單調(diào)遞增；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)闀r(shí)定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，則，
又，則，解得，所以，
在定義域內(nèi)單調(diào)增.
（2）因?yàn)閷θ我?，總存在，使，所以?br /> 由（1）得，
，
當(dāng)時(shí)，在出取得最小值，在，即處取得最小值，所以，
所以，解得.
所以的最大值為.
7．（2022·江蘇省江浦高級中學(xué)高一期中）已知二次函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式對恒成立，求的取值范圍；
(2)已知函數(shù)，若對，，使不等式成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由得，
當(dāng)時(shí)，，所以對恒成立，只需即可，
令，由得且，
則，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號成立，
所以，
即.
（2）由，，使不等式成立可得 即可，
由在上單調(diào)遞增可得，
而的對稱軸為，
①當(dāng)即時(shí)在上單調(diào)遞增，
則，解得，綜上；
②當(dāng)即時(shí)，
，解得或，
綜上；
③當(dāng)即時(shí)在上單調(diào)遞減，
則，解得；
綜合①②③可得的取值范圍為或.
突破六：值域法解決雙參等式問題
1．（多選）（2022·江蘇·常熟中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若對任意的，均存在，使得，則的取值可能是（????）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】設(shè)在上的值域?yàn)椋谏系闹涤驗(yàn)?，則；
，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，；
方法一：若，則，令對恒成立，
恒成立，即；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，，解得：；
綜上所述：；
方法二：；
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
，，即，
，解得：；
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，
，，即，
，解得：（舍）；
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，不合題意；
綜上所述：.
故選：BC.
2．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)與函數(shù)）的定義域的交集為D，集合M是由所有具有性質(zhì)：“對任意的，都有”的函數(shù)組成的集合.
(1)判斷函數(shù)，是不是集合M中的元素？并說明理由；
(2)設(shè)函數(shù)，，且，若對任意，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)，，理由見解析
(2).
（1）
因?yàn)閷θ我猓?，所?
因?yàn)閷θ我?，，所?
（2）
因?yàn)楹瘮?shù)，且，所以，整理得
，解得，或(舍去)，故.
當(dāng)時(shí)，，.
對于函數(shù)，且
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故，由題意知，解得.
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
3．（2022·河南·新密市第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
(1)若關(guān)于的方程的兩根滿足一根大于1，另外一根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）是上的奇函數(shù)，，即，又，．
即關(guān)于的方程的兩根滿足一根大于1，另外一根小于1，
設(shè)，則函數(shù)的圖象開口向上，
∴，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，
綜上，的值域；
∵，，∴的值域.
∵對任意，總存在，使得成立，
∴，即，所以，
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
突破七：單變量不等式證明
角度1：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式
1．（2022·河南焦作·高三期中（理））已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為．
(1)求的最小值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
參考數(shù)據(jù)：，．
【答案】(1)0；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）由題得，
又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
令得，所以.
所以，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減.
所以函數(shù)的最小值為.
所以函數(shù)的最小值為0.
（2）當(dāng)時(shí)，顯然成立.
當(dāng)時(shí)，令，
所以，
所以，所以在單調(diào)遞增（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），
又，
所以恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
又，
所以存在使得即.
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以
.
故得證.
2．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求a，b的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
（1）
的定義域?yàn)?0,+∞)，,則.
又,則曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即,
所以解得：.
所以,且.
令,解得：；令,解得：.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）
由（1）知,x>0.則要證，只需,只需.
令,則..
令,則，所以在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
而，所以存在唯一的,使得.
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.
所以





所以,即.
3．（2022·河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，
(1)若，求的極值；
(2)討論的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：當(dāng)時(shí)，.
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)答案見解析
(3)證明見解析
（1）
當(dāng)時(shí)，，則其定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
的極小值為，無極大值.
（2）
由題意得：定義域?yàn)?，?br /> ①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）
令，則，
令，則；
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，，
在上恒成立，在上單調(diào)遞減，
，即當(dāng)時(shí)，.
4．（2022·廣東廣州·高二期末）設(shè)x＞0，f(x)=lnx，
(1)求證：直線y=x-1與曲線y=f(x)相切；
(2)判斷f(x)與g(x)的大小關(guān)系，并加以證明．
【答案】(1)見解析；
(2)，證明見解析.
(1)
證明：因?yàn)橹本€y=x-1過點(diǎn)(1,0), f(x)=lnx過點(diǎn)(1,0).
設(shè)過點(diǎn)(1,0)與f(x)=lnx相切的直線為,
因?yàn)?
設(shè)切點(diǎn)為：，
所以切線方程為，代入（1，0）,得，
所以切線方程為，
即與曲線y=f(x)相切；
(2)
。
證明：令，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，即，
所以，即有，得證.
角度2：構(gòu)造函數(shù)，利用最值證明不等式
1．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若，比較與的大小關(guān)系.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，化簡可得，
當(dāng)時(shí)，，所以，故的取值范圍是.
（2）令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
則，
所以，即.
2．（2022·云南·巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）函數(shù).
(1)求證：；
(2)求證：.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析
（1）
令，，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
∴，∴，
即；
（2）
由題意將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，
，
令，
恒成立，
∴在上為減函數(shù)且，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí),，，
∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
∴，

∴
3．（2022·河南·一模（理））已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?，?br /> ①當(dāng)時(shí)，，則恒成立，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由題意得：，，
令，則，
在上單調(diào)遞減，又，，
，使得，即，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
；
令，則，
在上單調(diào)遞增，，
即，.
角度3：等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等式證明
1．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（文））已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)已知，求證：當(dāng)時(shí)，總有.
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)證明見解析
(1)
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
故函數(shù)存在極小值為，無極大值.
(2)
，
令，.
∵且，∴，
由于，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
∴恒成立，于是,
故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴,
又，即函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
且 ，故，即，∴,
∴當(dāng)時(shí)，總有.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(1)的定義域.

當(dāng)時(shí)，分下面三種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，令，得，或，
所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，，令，得，或，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在和為增函數(shù)，在為減函數(shù)；時(shí)，在為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在和為增函數(shù)，在為減函數(shù).
(2)（2）當(dāng)時(shí)，要證明，
即證.
設(shè)，則，
又函數(shù)在為增函數(shù)，而，
所以存在，使得，且有，
所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù).
所以，
令，顯然在為減函數(shù)，所以，
即，而，所以，
即，
故當(dāng)時(shí)，恒成立.
3．（2022·山東·菏澤一中高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，若過點(diǎn)與函數(shù)相切的直線有兩條，求的取值范圍；
(2)若，，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(1)解：，.
設(shè)切點(diǎn)為P
令，.
得有兩根
令，
時(shí)，不符合題意
時(shí)，令，
單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
，得
又，且
.
(2)證明：要證
只需證明成立
因?yàn)椋?br /> 所以
原問題可轉(zhuǎn)化為證明.
①當(dāng)時(shí)，
所以
所以成立
所以成立
②當(dāng)時(shí)，設(shè)


因?yàn)?br /> 所以
所以
所以在上為增函數(shù)
所以
所以在上為增函數(shù)
所以
所以
所以成立
綜上
得證.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；
(2)若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】(1)極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為
(2)證明見解析
(1)定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)，
由，得或，
令，得；
令，得或．
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
故的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為．
(2)欲證，只需證，
即證
設(shè)函數(shù)，
則，
令，得；令，得．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
即當(dāng)時(shí)，．
設(shè)函數(shù)，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
則，即，
所以，即，
又，所以，（點(diǎn)撥：放縮法是常用的證明不等式的方法）
所以當(dāng)時(shí)，．
5．（2022·廣西·欽州一中高二期中（理））已知函數(shù).
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若，證明不等式在上成立.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【詳解】（1）由，得.
所以，且斜率，
故所求切線方程為，即；
（2）證明：由題欲證只需證，
即證在上成立，
令，則，令，
當(dāng)時(shí)，遞減；
當(dāng)時(shí)，遞增，
故，
∴當(dāng)時(shí)，∴，
即得證.
角度4：超越放縮與不等式證明
1．（2022·江蘇省包場高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值并討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】(1)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.
(2)證明見解析
（1），
，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，
，解得，
，設(shè)，則，
是的唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)，時(shí)，，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，即，
，
取函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得唯一的極小值，即最小值為，
，
故.
2．（2022·安徽·高二期末）函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)，且.
①證明：有兩個(gè)極值點(diǎn)；
②證明：對任意的.
【答案】(1)，無極大值
(2)①證明見解析；②證明見解析
（1）
當(dāng)時(shí)，，
解得
當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有極小值，，無極大值；
（2）
①證明：
則，
所以
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；
所以，

由零點(diǎn)存在定理知，在上各有一個(gè)零點(diǎn)，
即存在，使得
所以在上，，單調(diào)遞增，在，，單調(diào)遞減
再在上，，單調(diào)遞增
所以有兩個(gè)極值點(diǎn)；
②證明：由①可知的最小值為0，
令，則，得到
即，令，則，
所以
3．（2022·四川·成都七中高二期中（理））函數(shù).
(1)若，對一切恒成立，求a的最大值；
(2)證明：，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
【答案】(1)1
(2)證明見解析
(1)
，又，
①當(dāng)，恒成立，滿足題意；
②當(dāng)，令，，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增；
所以在處取得極小值，即最小值.要使恒成立，即，
代入得，解得.
綜上，∴a的最大值為1.
(2)
由（1）知，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，兩邊取對數(shù)得，
由不等式對任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號，
∴，恒成立.
令（，且）
則，
∴

，
即，∴.
4．（2022·四川·成都七中高二期中（文））函數(shù).
(1)若，對一切恒成立，求a的最大值；
(2)證明：，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
【答案】(1)1
(2)證明見解析
(1)
由題意得，，又，
①當(dāng)，恒成立，滿足題意；
②當(dāng)，令，，當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增；
所以在處取得極小值，即最小值.
要使恒成立，即，
代入得，解得.
綜上，∴ a的最大值為1.
(2)
證明：當(dāng)時(shí)，由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)成立.
令，即.
∴，，…，，
將各式相乘可得，
即.
突破八：利用導(dǎo)數(shù)證明雙變量不等式
角度1：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)
1．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）若對任意的，，且，都有，則m的值可能是（????）
A． B． C． D．1
【答案】BCD
【詳解】，且，
則，整理得
設(shè)，則只需要在上單調(diào)遞減即可，
，
令，解得，
則，
所以BCD符合，
故選：BCD.
2．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學(xué)高三階段練習(xí)），均有成立，則的取值范圍為___________.
【答案】
【詳解】不妨設(shè)，則，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，則，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，
所以對于恒成立，
所以對于恒成立，
可得對于恒成立，
所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，
所以，
故答案為：
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線與軸平行．
(1)求實(shí)數(shù)的值及的極值；
(2)若對任意，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，的極小值為，無極大值
(2)，
(1)
函數(shù)，
，
令（1），
，
解得；
令，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以有極小值為（1）；無極大值；
(2)
由（1）可知在上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，則，即

函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
在上恒成立，
在上恒成立，又在上，

因此實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)證明：若，則對于任意的，，，有．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
(1)由題意知，，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不等的正根，
即有兩個(gè)不等的正根，
所以，解得，所以的取值范圍是，．
(2)構(gòu)造函數(shù)，
則．
由于，，故，即在上單調(diào)遞增，
從而當(dāng)時(shí)，有，
即，故；
當(dāng)時(shí)，同理可證．
綜上，對于任意的，，，有
角度2：糅合雙參（比值糅合）
1．（2022·廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
(1).
當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
(2)證明：由題意得，.
要證，
只需證，
即證，
即證.
令，
所以只需證在上恒成立，
即證在上恒成立.
令，則，
令，則.
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以.
所以.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，且，證明：.
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
(1)函數(shù)定義域?yàn)椋?br /> ，

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
②當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
綜上可知：
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)依題意，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)，因?yàn)椋?br /> ，，
不等式，
，所證不等式即
設(shè)，令，
則，在上是增函數(shù)，且，
所以在上是增函數(shù)，且，
即，從而所證不等式成立.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：
【答案】(1)答案不唯一，具體見解析
(2)證明見解析
（1），
設(shè)．，，
①當(dāng)時(shí)，，，則，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，，且，
令，得，或，令，得，
在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，
③當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
不妨設(shè)，則，
要證：，只要證，
只需要證，
即證，
設(shè)，，
設(shè)函數(shù)，
，
，
，
，
在上單調(diào)遞減，則，
又，
則，
則，
從而．
4．（2022·安徽省舒城中學(xué)一模（理））已知函數(shù).
（1）求證：當(dāng)時(shí)，；
（2）設(shè)斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，證明：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【詳解】解：（1）證明：令，
，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
所以．
（2）證明：因?yàn)樾甭蕿榈闹本€與曲線交于兩點(diǎn)，，，，
所以，，，
要證，
只需證，
即證，
只需證，
只需證，
令，即證，
由（1）得時(shí)，，
令，
求導(dǎo)得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
綜上，當(dāng)時(shí)，，
所以．
5．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）存在，，，求證：.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.
【詳解】（1）(方法一)當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(方法二)當(dāng)時(shí)，，，
由，
結(jié)合函數(shù)與圖象可知：當(dāng)時(shí)，，，
所以兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，且.
所以當(dāng)時(shí)，.
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）證明：不妨設(shè)，由得，
，
.
設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，
，從而，
，
，
要證只要證，
下面證明：，即證，
令，則，即證明，只要證明：，
設(shè)，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，從而得證，即，
，即.
角度3：糅合雙參（差值糅合）
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，令，則的最小值屬于（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，則，，，
令，，易知單增，
且，，則存在，使，
即，，單減；，，單增；
又，
則，
易知在單減，即
故選：C
2．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為，且曲線在x＝0處的切線與直線平行（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）如果，且，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【詳解】解：（1）由已知．
則易知，又因?yàn)椋蔭＝0．
此時(shí)可得．
①若b＞0，則當(dāng)時(shí)，遞減；
當(dāng)時(shí)，遞增．
此時(shí)，函數(shù)有最小值，無最大值．
②若b＜0，則當(dāng)時(shí)，遞增；
當(dāng)時(shí)，遞減．
此時(shí)，解得．
所以即為所求．
（2）由，且得：．
∴．設(shè)，則
可得，所以要證，即證．
∵t＞0，所以，所以即證．
設(shè)，則．
令，則
當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增．
所以，即，所以在上遞增．
所以．
．
角度4：利用指數(shù)（對數(shù)）平均不等式解決雙變量問題
1．（2022·江蘇·高一單元測試）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】對A，如圖，作出函數(shù)、和的草圖，因?yàn)锳，B關(guān)于C對稱，且，因?yàn)?，所以，故A正確；

對B，由基本不等式，，因?yàn)?，所以等號不成立，故B正確；
對C，因?yàn)?，所以，記?br /> 則，故時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，故C正確；
對D，記，則，，則，又，易知在上單調(diào)遞增，故，故D錯(cuò)誤．
故選：D．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若存在，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求證：.
【答案【詳解】（1）由，，
當(dāng)，，在上為增函數(shù)，無極值，
當(dāng)，，；，，
在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
，有極小值，無極大值，
綜上知：當(dāng)，無極值，
當(dāng)，有極小值，無極大值.
（2），，
，，，
所以，當(dāng)，在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，恒有，即成立；
當(dāng)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)，在上為增函數(shù)，
這時(shí)，在上為增函數(shù)，
所以不可能存在，，
滿足當(dāng)時(shí)，，
所以有.
設(shè)，得：
，
①，
，
②，
由①②式可得：，
即，
又，，
③，
要證④，所以由③式知，
只需證明：，即證，
設(shè)，只需證，
即證：，令，
由，在上為增函數(shù)，
，成立，
所以由③知，成立.






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