?第3講　雙曲線
目錄
第一部分：知識強化
第二部分：重難點題型突破
突破一：雙曲線的定義及其應(yīng)用
突破二：求雙曲線的軌跡方程
突破三：雙曲線的漸近線
突破四：雙曲線的離心率
突破五：雙曲線中焦點三角形
突破六：雙曲線中中點弦問題
突破七：雙曲線弦長及面積
突破八：雙曲線中定點，定值問題
突破九：雙曲線中定直線問題
第三部分：沖刺重難點特訓(xùn)
第一部分：知識強化
1、雙曲線的定義
（1）定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.
這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
（2）集合語言表達式
雙曲線就是下列點的集合:.
（3）說明
若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.
①若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;
②若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.
2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
標準方程
（）
（）
圖形


性質(zhì)
范圍
或
或
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標
，
,
漸近線


離心率
，，
a，b，c間的關(guān)系

3、等軸雙曲線
（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線
①； ②離心率； ③兩漸近線互相垂直，分別為；
④等軸雙曲線的方程，；
4、直線與雙曲線的位置關(guān)系
（1）代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：

①時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；
，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；
②時，
存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若，
時，，直線與雙曲線相交于兩點；
時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；
時，直線與雙曲線有一個交點；相切
不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；
直線與雙曲線相交于兩點；
5、弦長公式
（1）直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點，則

為直線斜率
（2）通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.
6、雙曲線與漸近線的關(guān)系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）
7、雙曲線中點弦的斜率公式
設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設(shè)，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
第二部分：重難點題型突破
突破一：雙曲線的定義及其應(yīng)用
1．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于6，那么點P到另一個焦點的距離為（????）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
【詳解】因為雙曲線，
所以，則，
因為點P到它的一個焦點的距離等于6，
設(shè)點P到另一個焦點的距離為，
所以，解得或
故選：D.
2．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，點滿足方程，且有，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，點且滿足，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，
其中，可得，則，
可得雙曲線的漸近線方程為，
又因為點滿足方程，即，
結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得，即的取值范圍是.
故選：B.

3．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)為橢圓和雙曲線的一個公共點，且在第一象限，是的左焦點，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由橢圓方程知其焦點為；由雙曲線方程知其焦點為；
橢圓與雙曲線共焦點，設(shè)其右焦點為，
為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點，
由橢圓和雙曲線定義知：，解得：.
故選：A.
4．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，過點作漸近線的垂線，垂足為，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如下圖所示，點到直線的距離為，

連接，由雙曲線的定義可得，
所以，，
當且僅當、、三點共線時，等號成立，故，可得，
所以，，因此，該雙曲線的離心率為.
故選：B.
5．（2022·青海西寧·二模（文））設(shè)雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點，為線段的中點，為坐標原點，則（????）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【詳解】由題意可知：雙曲線焦點在x軸上，a=4，b=3，c=5，
設(shè)雙曲線的右焦點F2（5，0），左焦點F（﹣5，0），
由OM為△PFF1中位線，則丨OM丨=丨PF2丨，
由PF與圓x2+y2=16相切于點N，則△ONF為直角三角形，
∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，
則丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，
由丨MF丨=丨PF丨，
∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，
∴|MN|﹣|MO|=1，
故選：B．

6．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的左、有焦點分別為，，實軸長為4，離心率，點Q為雙曲線右支上的一點，點．當取最小值時，的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可得 ，又，故 ，
所以 ，則雙曲線方程為 ，

結(jié)合雙曲線定義可得，
如圖示，連接,交雙曲線右支于點M，即當三點共線，
即Q在M位置時，取最小值，
此時直線方程為 ，聯(lián)立，
解得點Q的坐標為,( Q為雙曲線右支上的一點)，
故，
故選：B
7．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)有限責任公司模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的離心率為，其左，右焦點分別為，過且與x軸垂直的直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】把代入得，所以，又，，所以，
，，，
所以，當且僅當三點共線時等號成立，
，
所以的最小值為．
故選：C．

8．（2022·河南·南陽中學(xué)三模（文））已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點為，點P在雙曲線右支上運動，點Q在圓上運動，則的最小值為___________.
【答案】8
【詳解】由雙曲線的一條漸近線方程為，
可得，解得.
所以，雙曲線的左焦點坐標，右焦點坐標為，
由雙曲線的定義，知，即，
由圓可得圓心，半徑為，
，
問題轉(zhuǎn)化為求點到圓上的最小值，
即，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：.
9．（2022·河北邯鄲·一模）已知點在雙曲線的右支上，，動點滿足，是雙曲線的右焦點，則的最大值為___________.
【答案】##
【詳解】動點滿足，則點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓,
設(shè)雙曲線的左焦點為，由題知，
則，
當且僅當，，三點共線時，等號成立，

所以的最大值為，
故答案為：
突破二：求雙曲線的軌跡方程
1．（2022·湖南·長沙一中高二期中）已知圓：，為圓心，為圓上任意一點，定點，線段的垂直平分線與直線相交于點，則當點在圓上運動時，點的軌跡方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，
所以有，
由，得，該圓的半徑為，
因為點在圓上運動時，
所以有，于是有，
所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線，所以，
所以點的軌跡方程為，
故選：D
2．（2022·湖北省天門外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）直線和上各有一點（其中點的縱坐標分別為且滿足），的面積為4，則的中點的軌跡方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為直線和互相垂直，
所以，
又，
所以點在一，四象限或者二，三象限，
設(shè)，
因為為的中點，
所以，
所以
因為，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
故選：B
3．（2022·云南省玉溪第一中學(xué)高三開學(xué)考試）方程－＝12的化簡結(jié)果為（????）
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0)
【答案】C
【詳解】解：設(shè)A(?10,0)，B(10,0)，，
由于動點P(x,y)的軌跡方程為－＝12，
則|PA|?|PB|=12，故點P到定點A(?10,0)與到定點B(10,0)的距離差為12，
則動點P(x,y)的軌跡是以(±10,0)為焦點，以12為實軸長的雙曲線的右支，
由于2a=12，c=10，則，
故P的軌跡的標準方程為－＝1(x＞0).
所以原方程可以化簡為－＝1(x＞0).
故選：C
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）動圓M與圓：和圓：均外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)動圓M的半徑為r，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因為動圓M與圓和圓均外切，所以，，所以，所以點M的軌跡是以點，為焦點的雙曲線的右支．，，，所以.所以動圓圓心M的軌跡方程為．
故選：A．
5．（2022·遼寧·本溪滿族自治縣高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的方程為，其左?右頂點分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為___________.
【答案】
【詳解】由題意知，
設(shè)直線為，，
由三點共線及三點共線，
得，
兩式相乘化簡，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以點的軌跡方程為.
故答案為：
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓，作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，作垂直于y軸的直線m交橢圓于C，D兩點，且，直線l與直線m交于P點，則點P的軌跡方程為______．
【答案】
【詳解】
設(shè)直線l的方程為，直線m的方程為，
所以，
不妨設(shè)點，，，，
所以，，
因為，
所以，
所以，
即．
故答案為：
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，以為一個焦點作過，的橢圓，則橢圓的另一個焦點的軌跡方程是________.
【答案】
【詳解】根據(jù)橢圓定義知：，即，故，
故焦點的軌跡方程為雙曲線的下支，，，故，
故軌跡方程為：.
故答案為：.
突破三：雙曲線的漸近線
1．（2022·福建·莆田二中高二階段練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點為，則雙曲線C的一條漸近線方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可知，，
則由得；
所以，漸近線方程為，即
故選：A.
2．（2022·山東省實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）與曲線共焦點，且與雙曲線共漸近線的雙曲線的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為曲線為橢圓，焦點在軸上，且，
又因為所求雙曲線與雙曲線共漸近線，
所以設(shè)所求雙曲線為，即，
則，解得，
所以所求雙曲線為.
故選：A.
3．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））點到雙曲線的一條漸近線的距離為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，即，由對稱性不妨考慮點到直線的距離：，
故選：B.
4．（2022·上海松江·一模）已知，是雙曲線：的左、右焦點，點是雙曲線上的任意一點（不是頂點），過作的角平分線的垂線，垂足為，線段的延長線交于點，是坐標原點，若，則雙曲線的漸近線方程為______
【答案】
【詳解】因為是的角平分線，，
所以是等腰三角形，，為的中點，
又為的中點，所以是的中位線，
所以，因為，
當點在雙曲線的右支上時，，
當點在雙曲線的左支上時，，
所以，即，
所以，
所以，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
5．（2022·江蘇連云港·高二期中）已知雙曲線的左?右焦點分別為為原點，若以為直徑的圓與的漸近線的一個交點為，且，則的漸近線方程為__________.
【答案】
【詳解】由題意知,,,


故答案為：.
突破四：雙曲線的離心率
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點分別是，，若雙曲線C上存在點P使得，，則其離心率的值是（????）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【詳解】設(shè)，則①，
利用向量加法法則知，則
即，
故②，
設(shè)，
則，
③，
由②③得，即，
又，所以，即，即
所以雙曲線離心率的值是3
故選：D
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點分別是，若雙曲線C上存在點P使得，，則其離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)，
利用向量加法法則知，則
即，
故①，
設(shè)，
則，
②，
由①②得，即，
又，所以，即，即
所以雙曲線離心率的值大于3，
故選：D
3．（2022·江西·南昌二中高二階段練習(xí)）已知，分別為雙曲線C：左、右焦點，過點的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點，且，，則雙曲線C的離心率是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，
因為，所以，．
又，即，
則，所以．
設(shè)，則，
又，則，解得，
所以，，
所以是正三角形，從而．
在中，由，
得，得，所以．
故選：C．
4．（2022·上海寶山·一模）雙曲線C的左、右焦點分別為、，點A在y軸上.雙曲線C與線段交于點P，與線段交于點Q，直線平行于雙曲線C的漸近線，且，則雙曲線C的離心率為______.
【答案】
【詳解】
如圖，交軸于.根據(jù)雙曲線的對稱性，知與軸平行，且.
設(shè)，則，，所以.
雙曲線漸近線方程為.，由已知直線斜率為，
則直線的方程為，則，.
因為，所以有，即，
整理可得，，則，則，
所以有，所以.
故答案為：.
5．（2022·重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是__________．
【答案】且
【詳解】雙曲線的漸近線為，取其中一條漸近線，取雙曲線的右焦點為，故雙曲線的一個焦點到它一條漸近線的距離為，
故，所以，雙曲線變?yōu)?，?lián)立直線方程得到，整理得，，則，得到，所以，
，故，又因為直線不與漸近線平行，，得到，解得，故雙曲線的離心率的取值范圍是且.
故答案為：且
突破五：雙曲線中焦點三角形
1．（2022·陜西·乾縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與的左?右兩支分別交于兩點，，則實數(shù)（????）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【詳解】如圖所示：設(shè)，，即，

解得，，即，故．
，，，，，即．
故選：C
2．（2022·福建省永泰縣城關(guān)中學(xué)高二期中）設(shè)，是雙曲線C：的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C的漸近線上，且，則的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】雙曲線的漸近線為，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，由得，
又，∴的面積.
故選：A
3．（2022·遼寧沈陽·高二期中）是雙曲線的左、右焦點，過左焦點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)，則，，
，；
由雙曲線定義可知：，，
，，
，，
，，則.
故選：D.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線的左、右焦點分別為，點為圓與此雙曲線的一個公共點，則的面積（????）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．為 D．為
【答案】D
【詳解】由雙曲線方程知，，
恰好為圓的直徑，所以，如圖所示：
由雙曲線定義知，，

∴，
所以
∴，
故選：D.
5．（2022·全國·高二單元測試）雙曲線的兩焦點為、，點P在雙曲線上，直線、傾斜角之差為，則面積為（????）
A． B． C．32 D．42
【答案】A
【詳解】根據(jù)、為雙曲線的兩焦點可得，
又直線、傾斜角之差為，所以，
根據(jù)余弦定理可得，
整理得①，
根據(jù)點P在雙曲線上可得，
則②，
①-②得，，
則面積為.
故選：A.
突破六：雙曲線中中點弦問題
1．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）已知雙曲線，過點的直線與該雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程為（????）
A． B．
C． D．該直線不存在
【答案】D
【詳解】解：設(shè)，且，代入雙曲線方程得，兩式相減得：

若是線段的中點，則，所以，即直線的斜率為，
所以直線方程為：，即；
但聯(lián)立，得，則，方程無解，所以直線不存在.
故選：D.
2．（2022·四川·射洪中學(xué)高二期中）直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（????）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【詳解】設(shè)點，，因為AB的中點，則有，
又點A，B在雙曲線上，則，即，
則l的斜率，此時，直線l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，
所以l的斜率為2.
故選：C
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且使得A是的中點，直線l方程為（????）
A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在
【答案】D
【詳解】設(shè)點，因點是的中點，則，
從而有，兩式相減得：，
即，于是得直線l的斜率為，
直線l的方程為：，即，
由消去y并整理得：，此時，即方程組無解，
所以直線l不存在.
故選：D
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點的直線與雙曲線交兩點，且線段的中點坐標為，則雙曲線方程是_______________.
【答案】
【詳解】設(shè)，，
則，，
兩式相減可得：，
所以，
因為點是線段的中點，所以，，
所以，
因為，
所以，即，
因為，所以，，
所以雙曲線方程是，
故答案為：.
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）點平分雙曲線的一條弦，則這條弦所在直線的方程一般式為_________________.
【答案】
【詳解】設(shè)弦的兩個端點分別為，，則，，
兩式相減得，
因為線段的中點為，所以，，所以，
所以直線的方程為代入滿足，即直線方程為.
故答案為：.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標為，則此雙曲線的方程是______.
【答案】
【詳解】設(shè)點、，
由題意可得，，，
直線的斜率為，
則，兩式相減得，
所以，
由于雙曲線的一個焦點為，則，，，
因此，該雙曲線的標準方程為.
故答案為：.
突破七：雙曲線弦長及面積
1．（2022·四川·簡陽市陽安中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線：與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知雙曲線的左?右焦點分別為，，直線經(jīng)過，傾斜角為，與雙曲線交于兩點，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）依題意，設(shè)所求雙曲線方程為，
代入點得，即，
所以雙曲線方程為，即．
（2）由（1）得，則，，，
又直線傾斜角為，則，故直線的方程為，
設(shè)，，
聯(lián)立，消去，得，
則，，，
由弦長公式得，
又點到直線的距離，
所以．
2．（2022·上海市閔行區(qū)教育學(xué)院附屬中學(xué)高二期末）已知雙曲線的漸近線為，左焦點為經(jīng)過點的直線交雙曲線于兩點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若直線在軸上截距為2，求；
(3)若的中點橫坐標為1，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意得，所以，
所以雙曲線的標準方程為；
（2）由題意得直線的方程為，由得，，設(shè)，則，所以；
（3）當直線的斜率不存在時，中點橫坐標為，顯然不合題意，所以設(shè)直線的方程為，
由，得，
設(shè)，則，解得，
此時所聯(lián)立方程可整理化簡得：，滿足，符合題意，
故直線的方程為．
3．（2022·四川·成都外國語學(xué)校高二期中（理））已知雙曲線C：的離心率為，實軸長為2.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若直線被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）雙曲線離心率為，實軸長為2，
，，
解得，，
，
所求雙曲線C的方程為；
（2）設(shè),,
聯(lián)立，，，
，．
，
，解得．
4．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距長為8.
(1)求的方程；
(2)若，過點的直線交于兩點，若，求直線的方程.
【答案】(1)當時，的方程為；當時，的方程為
(2)或
【詳解】（1）根據(jù)已知條件表示雙曲線，
可知，解得或.
由雙曲線的焦距長為8可知，即.
當時，有，則，此時雙曲線的方程為；
當時，雙曲線的方程為，有，則，此時雙曲線的方程為.
綜上所述，當時，的方程為；當時，的方程為；
（2）由（1）可知，當時，雙曲線的方程為，其中，.
當直線的斜率為0時，直線為，代入得，則，不適合題意；
當直線的斜率不為0時，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得.
則，
設(shè)，，則，.
，解得或，則或.
故直線的方程為或.
5．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二期中（文））已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)直線與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）根據(jù)題意：解得，故雙曲線的方程為：．
（2）設(shè)，則，消去得：，
，
又點O到直線的距離，
．
6．（2022·上海市延安中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線中，，虛軸長為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點，傾斜角為的直線與雙曲線交于、兩點，為坐標原點，求的面積.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：由已知條件可得，解得，
因此，雙曲線的標準方程為.
（2）
解：由題意可知，直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立，可得，解得，，
因此，.
7．（2022·福建省南安國光中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為．點在第一象限的雙曲線上，過點作雙曲線切線與直線交于點．
(1)證明：；
(2)已知斜率為的直線與雙曲線左支交于 兩點，若直線，的斜率互為相反數(shù)，求的面積．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【詳解】（1）解：因為雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為，
所以，，解得，
所以，雙曲線的標準方程為，
因為過點作雙曲線切線與直線交于點，故切線的斜率存在，
所以，設(shè)，在點的切線方程為，
聯(lián)立方程得
所以，，即①
因為，代入①式得，解得
所以，在點的切線方程為，
所以點的坐標為，即，
因為，
所以
所以，
（2）解：由題，設(shè)直線的方程為，
與雙曲線方程聯(lián)立得，
設(shè)，
所以
因為直線，的斜率互為相反數(shù)，所以，
所以，
整理得：②
將代入②整理得：③
結(jié)合可知時，③式恒成立，
所以，由（1）可知，，，
所以，
所以的面積.
突破八：雙曲線中定點，定值問題
1．（2022·上海市朱家角中學(xué)高一期末）已知雙曲線的一條漸近線方程，原點到過、點的直線的距離為．
(1)求雙曲線方程；
(2)過點能否作直線，使與已知雙曲線交于兩點、，且是線段的中點？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）解：因為直線過、兩點，所以方程為，
因為原點到直線的距離為，所以，
因為雙曲線的一條漸近線方程，
所以，解得，，
所以雙曲線方程為；
（2）解：假設(shè)直線存在，設(shè)是線段的中點，且，，
則，，
因為、在雙曲線上，
則，兩式相減整理得，
所以，所以，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，消得，
因為，
所以直線與雙曲線無交點，所以直線不存在．
2．（2022·廣東·廣州市第十七中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線，四點中恰有三點在C上．
(1)求C的方程；
(2)過點的直線l交C于P，Q兩點，過點P作直線的垂線，垂足為A．證明：直線AQ過定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意可知點，兩點關(guān)于原點對稱，所以，一定在雙曲線上，
而，因為，但，所以點不在雙曲線上，
所以點，，在雙曲線上，則，解得，，
所以雙曲線方程為；
（2）證明：設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程可得：，
設(shè)，，，，則，則，，
所以直線的方程為：，即，
令，則，
由，，得，
所以，
綜上，直線過定點．
3．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））在平面直角坐標系xOy中，已知，，動點C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3．
(1)求動點C的軌跡方程E．
(2)過點作直線l交曲線E于P，Q兩點（P，Q在y軸兩側(cè)），過原點O作直線的平行線交曲線E于M，N兩點（M，N在y軸兩側(cè)），試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)為定值2
【詳解】（1）設(shè)，因為直線AC與直線BC的斜率乘積為3，
所以，所以，
故動點C的軌跡方程為．
（2）易知直線的斜率存在且不為0．
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立方程組得，
則，
因為P，Q在y軸兩側(cè)，
所以，所以，
所以．
因為，所以的方程為．
設(shè)，則，
聯(lián)立方程組，得．
所以，，
所以，
所以，即為定值2．
4．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)高二期中）已知雙曲線（，）的左焦點坐標為，直線與雙曲線交于，兩點，線段中點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)經(jīng)過點且與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個不同點，，點，直線，與雙曲線分別交于另一點，，若直線與直線的斜率都存在，并分別設(shè)為，.是否存在實常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）解：由題意知，直線的斜率為，設(shè)，，
由題意，兩式相減得：，
整理得：，即，
又，所以，，即雙曲線，經(jīng)檢驗滿足題意.
（2）解：因為的斜率存在且，直線的方程為，設(shè)，，
又，設(shè)直線，??
聯(lián)立，整理得，
由韋達定理得，
又∵，∴，
于是，
故，同理可得，??
∴
∴，
∴為定值，所以的值.
5．（2022·河南商丘·高二期中（理））橢圓與雙曲線之間有許多優(yōu)美的對稱性質(zhì)，已知橢圓和雙曲線
(1)設(shè)AB是雙曲線的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為弦AB的中點，O為坐標原點，則為定值.類比雙曲線的性質(zhì)：若AB是橢圓的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，O為坐標原點，試猜想的值，并證明；
(2)設(shè)橢圓交x軸于A，B兩點，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交y軸于點M，N，則為定值，類比橢圓的性質(zhì)：若雙曲線交x軸于A，B兩點，點P是雙曲線上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交y軸于點M，N，試猜想的值，并證明.
【答案】(1)猜想：，證明見解析
(2)猜想：，證明見解析
(1)
猜想：.
證明：設(shè)，，，則有
，，
則.
將A，B的坐標代入橢圓方程中得：①，②，
①-②得：，，即.
(2)
猜想：
證明：由題意得，，設(shè)，則，
所以直線PA方程為.
令，則，所以點M坐標為.
又，所以；同理可得：.
所以，又因為，
所以，得證.
突破九：雙曲線中定直線問題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：（，）實軸端點分別為，，右焦點為，離心率為2，過點且斜率1的直線與雙曲線交于另一點，已知的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過的直線與雙曲線交于，兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；如不在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)在定直線方程上
（1）
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴雙曲線的方程為．
（2）
當直線點的斜率不存在時，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得的，
當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，∴，，
∴直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，兩邊平方得，
又，滿足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
綜上，在定直線上，且定直線方程為．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線（不與坐標軸垂直）過點，且與雙曲線交于，兩點.
（1）若，求直線的方程；
（2）若直線與相交于點，求證：點在定直線上.
【答案】（1）或；（2）證明見解析.
【詳解】解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線
聯(lián)立方程組，，可得，
則，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直線的方程為或．
（2）直線的方程為，直線的方程為，
直線與的交點為，故，即，
進而得到，又，
故，解得
故點在定直線上．
第三部分：沖刺重難點特訓(xùn)
一、單選題
1．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的一個頂點是，其漸近線方程為，則雙曲線的標準方程是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由題意得：
雙曲線的一個頂點是，
焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為，

漸近線方程為，
，，
該雙曲線的標準方程為?．
故選：C
2．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（文））已知點F是雙曲線的右焦點，點P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，且PF與x軸垂直，點Q是雙曲線漸近線上的動點，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由雙曲線方程可得，點F坐標為，將代入雙曲線方程，得，
由于點P在第一象限，所以點P坐標為，
雙曲線的漸近線方程為，點P到雙曲線的漸近線的距離為．
Q是雙曲線漸近線上的動點，所以的最小值為．
故選：B．
3．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））若直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則a的值為（????）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【詳解】由已知得：
雙曲線的方程為，其漸近方程為 ，
∵直線與雙曲線的漸近線垂直，∴雙曲線的漸近線的斜率為，
∴?? ，
∴ ，
故選：B
4．（2022·河北·模擬預(yù)測（理））已知雙曲線經(jīng)過點，且右焦點到其漸近線的距離為4，雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)雙曲線右焦點，其中一條漸近線為，
由右焦點到其漸近線的距離為4，即，即；
又雙曲線經(jīng)過點，故，解得，
則，．
故選：．
5．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）已知是雙曲線的左右焦點，直線過與拋物線的焦點且與雙曲線的一條漸近線平行，則（????）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【詳解】已知雙曲線的左焦點，雙曲線的漸近線方程為，
拋物線的焦點.
因為直線過與拋物線的焦點且與雙曲線的一條漸近線平行，
所以，又，解得：，所以.
故選：C
6．（2022·廣西廣西·模擬預(yù)測（理））雙曲線的左右頂點分別為，曲線上的一點關(guān)于軸的對稱點為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則當取到最小值時，雙曲線離心率為（　　）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
【詳解】設(shè)，
則，，所以，
將曲線方程代入得，
又由均值定理得，當且僅當，即時等號成立，
所以離心率，
故選：B
7．（2022·云南·昆明一中模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的左右焦點分別為，P是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點，且直線與y軸的正半軸交于A點，三角形的內(nèi)切圓在邊上的切點為Q，雙曲線的左焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，，則該雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】假設(shè)直線，與圓的切點分別為，，
由對稱性可知，容易得，，，
因為點在雙曲線的右支，由雙曲線的定義得，
所以，
又因為雙曲線的左焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，
設(shè)一條準線為：，則焦點到準線距離，
所以，
所以雙曲線的離心率為，
故選：A ．

8．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知分別為雙曲線的左焦點和右焦點，過的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，且直線l的傾斜角為，則的值為（????）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【詳解】記的內(nèi)切圓圓心為C，邊上的切點分別為M，N，E，

則C，E橫坐標相等，則，
由，即，得，即，記C的橫坐標為，則，
于是，得，同理的內(nèi)心D的橫坐標也為a，
則有軸，由直線的傾斜角為，則，，
在中，，可得，
在中，，可得，
可得．
故選：B
二、多選題
9．（2022·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線經(jīng)過點，則（????）
A．的實軸長為 B．的焦距為
C．的離心率為 D．的漸近線方程是
【答案】BC
【詳解】由題意得，得即雙曲線方程為．
所以，雙曲線的實軸長是，焦距是，離心率為，漸近線方程是
故BC正確，AD錯誤，
故選：BC
10．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知點，，若某直線上存在點P，使得，則稱該直線為“好直線”，下列直線是“好直線”的是（????）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】由題意， ，雙曲線的方程為，
“好直線”就是與雙曲線有交點的直線，
對于A，聯(lián)立方程 ，解得 無解，故A不是“好直線”；
對于B，聯(lián)立方程 ，解得 ， ，故B是“好直線”；
對于C，聯(lián)立方程 ，解得 ，無解，故C不是“好直線”；
對于D，聯(lián)立方程 ，解得 ，??，即直線 與雙曲線有交點，
故D是“好直線”；
故選BD.
三、填空題
11．（2022·全國·大化瑤族自治縣高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））若圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率為___________.
【答案】##
【詳解】雙曲線的漸近線方程為
圓的圓心為，半徑為1，由直線和圓相切，
可得，解得，
則離心率.，
故答案為：
12．（2022·上海閔行·二模）已知雙曲線的實軸為，對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，則雙曲線的兩條漸近線夾角的最大值為___________；
【答案】
【詳解】對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，
當點位于原點時，則要，才能滿足要求，
所以，設(shè)漸近線與x軸的夾角為，則，
因為，則雙曲線的兩條漸近線夾角為，
故答案為：
13．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（文））已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則________.
【答案】9
【詳解】由雙曲線C的方程可得其漸近線方程為，
由已知可得，
所以，，所以，
由雙曲線定義可知，則或，
又因為，故，
故答案為：9.
四、解答題
14．（2022·陜西·咸陽市高新一中模擬預(yù)測（文））已知焦點在軸上的雙曲線經(jīng)過點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若直線與雙曲線交于兩點，求弦長．
【答案】(1)
(2)8
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為．將代入，
得，解得．
所以，雙曲線的方程為；
（2）由（1）得雙曲線的方程為，設(shè)．
由，得，由韋達定理得．
所以，
故弦長為8．
15．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））在平面直角坐標系xOy中，已知，，動點C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3．
(1)求動點C的軌跡方程E．
(2)過點作直線l交曲線E于P，Q兩點（P，Q在y軸兩側(cè)），過原點O作直線的平行線交曲線E于M，N兩點（M，N在y軸兩側(cè)），試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)為定值2
【詳解】（1）設(shè)，因為直線AC與直線BC的斜率乘積為3，
所以，所以，
故動點C的軌跡方程為．
（2）易知直線的斜率存在且不為0．
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立方程組得，
則，
因為P，Q在y軸兩側(cè)，
所以，所以，
所以．
因為，所以的方程為．
設(shè)，則，
聯(lián)立方程組，得．
所以，，
所以，
所以，即為定值2．
16．（2022·福建漳州·三模）已知圓，圓，動圓P與圓，圓都外切．圓心P的軌跡為曲線C
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C上不同的兩點，AB中點的橫坐標為2，且AB的中垂線為直線l，是否存在半徑為1的定圓E，使得l被圓E截得的弦長為定值，若存在，求出圓E的方程；若不存在，請說明理由
【答案】(1)
(2)存在；定圓E：
(1)
圓的圓心為（-2，0），半徑為
圓的圓心為（2，0），半徑為
設(shè)動圓P的半徑為R，因為動圓P與圓，圓都外切
所以
所以
所以點P在以，為焦點，以2為實軸長的雙曲線的右支上，
設(shè)雙曲線的方程為
所以，所以
注意圓與圓外切于點（1，0），P不可能為（1，0），
所以C的方程為
(2)
設(shè)，AB的中點為
因為A，B是C上不同的兩點，AB中點的橫坐標為2．
所以
得
當存在時，
因為AB的中垂線為直線l，所以，即
所以 過定點T（8，0），．
當不存在時，A，B關(guān)于x軸對稱，AB的中線l為x軸，此時l也過T（8，0），
所以存在定圓E：，使得l被圓E截得的弦長為定值2．













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