?第5講　素養(yǎng)提升之三角函數(shù)與解三角形新情境、新考法專項沖刺
目錄
一、新情境
角度1：緊跟社會熱點
角度2：聚焦科技前沿
角度3：結(jié)合生產(chǎn)實踐
角度4：滲透數(shù)學(xué)文化
角度5：強(qiáng)調(diào)五育并舉
二、新考法
角度1：以高觀點為背景
角度2：以給定定義、熱點信息為背景
角度3：考查開放、探究精神
角度4：考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析得核心素養(yǎng)
角度5：相近學(xué)科融合











一、新情境
角度1：緊跟社會熱點
1．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）李子壩站的“單軌穿樓”是重慶軌道交通的一大特色，吸引眾多游客來此打卡拍照.如圖所示，李明為了測量李子壩站站臺距離地面的高度AB，采用了如下方法：在觀景臺的D點處測得站臺A點處的仰角為60°；沿直線BD后退12米后，在F點處測得站臺A點處的仰角為45°.已知李明的眼睛距離地面高度為CD=EF=1.6米，則李子壩站站臺的高度AB約為（????）（精確到小數(shù)點后1位）（近似數(shù)據(jù)：）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【詳解】設(shè)AG高度為米，由題可知，
所以米，
在中，由正弦定理得： ，
所以，
所以，
解得，
所以(米).
故選：A.
2．（2022·河南宋基信陽實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（理））冬殘奧會閉幕式上，中國式浪漫再現(xiàn)，天干地支時辰鐘表盤再現(xiàn)，由定音鼓構(gòu)成的“表盤”形象上，名殘健共融表演者用行為模擬“指針”每圈個時間刻度的行進(jìn)軌跡．若以圖中點與圓心連線為始邊，某時刻指向第，，名殘健共融表演者的“指針”為終邊的角分別記為，則的值為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由已知得，，，
所以，
故選：B.
3．（多選）（2022·全國·高一課時練習(xí)）氣候變化是人類面臨的全球性問題，隨著各國二氧化碳排放，溫室氣體猛增，對生命系統(tǒng)形成威脅，我國積極參與全球氣候治理，加速全社會綠色低碳轉(zhuǎn)型，力爭2030年前實現(xiàn)碳達(dá)峰，2060年前實現(xiàn)碳中和目標(biāo)．某校高一數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組研究的課題是“碳排放與氣候變化問題”，研究小組觀察記錄某天從到的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數(shù)（，，），該函數(shù)圖象如圖，則（????）

A．
B．函數(shù)的最小正周期為
C．，
D．若是偶函數(shù)，則的最小值為2
【答案】ACD
【詳解】根據(jù)題圖可知得所以．
根據(jù)題圖可知，，B錯誤．
，，，即．又，所以，所以，解得，A正確．
，，所以，C正確．
因為是偶函數(shù)，所以，，得，，所以當(dāng)時，取最小值，為2，D正確．
故選：ACD．
角度2：聚焦科技前沿
1．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三期中）在信息時代，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)的圖象可以近似的模擬某種信號的波形，則下列判斷中不正確的是（????）
A．函數(shù)為周期函數(shù)，且為其一個周期
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為4.
【答案】A
【詳解】依題意，
A選項，
，
所以不是的周期，A選項錯誤.
B選項，
，

，
所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，B選項正確.
C選項，
.

.
所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項正確.
D選項，，
由于，
所以，且，
所以的最大值是，D選項正確.
故選：A
2．（2022·河北保定·高二階段練習(xí)）基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，往往代表一個國家綜合的實力和底蘊(yùn)，是一個國家賴以生存的命脈.近年來，中國大型基建工程創(chuàng)造了許多世界奇跡，同時"中國速度"也引發(fā)外媒和外國網(wǎng)友的追捧.中國的發(fā)展速度讓世界驚嘆，基建實力更是世界聞名.在全球擁有了"基建狂魔"的名號.如圖，一建筑工地有墻面與水平面垂直并交于，長為米的鋼絲連接面內(nèi)一點與面內(nèi)的點，、距均為3米，，分別為的三等分點，若在平面內(nèi)一點向、連繩子，則最短長 _______米.

【答案】
【詳解】解：如圖，

找關(guān)于平面的對稱點，連接交平面于，
其中截面圖如下：

則即為滿足最小的點，
，，
，，，
又，
在中，由余弦定理可得，
即的最小值為．
故答案為：．
角度3：結(jié)合生產(chǎn)實踐
1．（多選）（2022·湖北·高三期中）水車是我國勞動人民創(chuàng)造發(fā)明的一種灌溉工具，作為中國農(nóng)耕文化的組成部分，充分體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力，見證了中國農(nóng)業(yè)文明．水車的外形酷似車輪，在輪的邊緣裝有若干個水斗，借助水勢的運動慣性沖動水車緩緩旋轉(zhuǎn)，將水斗內(nèi)的水逐級提升．如圖，某水車輪的半徑為米，圓心距水面的高度為米，水車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動圈，當(dāng)其中的一個水斗到達(dá)最高點時開始計時，設(shè)水車轉(zhuǎn)動（分鐘）時水斗距離水面的高度（水面以上為正，水面以下為負(fù)）為（米），下列選項正確的是（????）

A． B．
C．若水車的轉(zhuǎn)速減半，則其周期變?yōu)樵瓉淼?D．在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，水斗距離水面高度不低于米的時間為秒
【答案】AD
【詳解】由題意得，如圖，軸，，
點經(jīng)過分鐘后到達(dá)點，則為點到水面的距離，且，
因為每分鐘轉(zhuǎn)2圈，所以，得角速度，
故，又，
所以，所以，
即.故A正確，B錯誤；
若水車的轉(zhuǎn)速減半，則每分鐘轉(zhuǎn)動圈，所以周期變?yōu)樵瓉淼谋叮虼薈錯誤；
令，得，
解得或，Z，
當(dāng)時，或，
即旋轉(zhuǎn)一周的過程中(30s)，有s，水斗A距離水面高度低于7米，
所以有s的時間不低于7米，故D正確.
故選：AD.

角度4：滲透數(shù)學(xué)文化
1．（2022·廣東肇慶·高三階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代時期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若，，G，F(xiàn)兩點間的距離為，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（????）

A．9 B．4 C．3 D．8
【答案】B
【詳解】由條件可得.
在中，由余弦定理得，
∴，
∴，，
∴，
∴“勾股圓方圖”中小正方形的邊長為，
∴面積為4.
故選：B
2．（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化?對稱統(tǒng)一的形式美?和諧美.在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€圓的周長和面積同時平分，那么稱這個函數(shù)為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”.則下列關(guān)于“優(yōu)美函數(shù)”的說法中正確的有（????）

①函數(shù)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”
②（）可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”
③函數(shù)可以是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”
④若函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù)的圖象一定是中心對稱圖形
A．①② B．①④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【詳解】解 ：對于①，函數(shù)的定義域為，
因為，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以函數(shù)可以是單位圓的“優(yōu)美函數(shù)”，故①正確，
對于②，函數(shù)，
令，則，
所以函數(shù)的對稱中心為，
所以以為圓心，為半徑的圓都能被函數(shù)的圖象平分，
即（）可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，故②正確；
對于③，，
令，因為，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
又因函數(shù)是由函數(shù)向上平移一個單位得到的，
所以函數(shù)的對稱中心為，
所以以為圓心，為半徑的圓都能被函數(shù)平分，
即函數(shù)可以是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，故③正確；
對于④，若的圖象是中心對稱圖形，則此函數(shù)一定是“優(yōu)美函數(shù)”，但“優(yōu)美函數(shù)”不一定是中心對稱圖形，如圖所示，故④錯誤.

故選：C.
3．（2022·江蘇揚州·高三期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長為，則直角三角形的兩直角邊分別為，
故，
則，所以，
又為銳角，則，
所以.
故選：A.
4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三階段練習(xí)（理））材料一：已知三角形三邊長分別為，則三角形的面積為，其中.這個公式被稱為海倫一秦九韶公式.
材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)(大于的點的軌跡叫做橢圓.
根據(jù)材料一或材料二解答：已知中，，則面積的最大值為（????）
A．6 B．10 C．12 D．20
【答案】C
【詳解】令，則且，故，而，
所以面積，
當(dāng)時，.
故選：C
5．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測（文））“割圓術(shù)”是我國古代計算圓周率的一種方法.在公元年左右，由魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明.其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進(jìn)而求.當(dāng)時劉微就是利用這種方法，把的近似值計算到和之間，這是當(dāng)時世界上對圓周率的計算最精確的數(shù)據(jù).這種方法的可貴之處就是利用已知的、可求的來逼近未知的、要求的，用有限的來逼近無窮的.為此，劉微把它概括為“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這種方法極其重要，對后世產(chǎn)生了巨大影響，在歐洲，這種方法后來就演變?yōu)楝F(xiàn)在的微積分.根據(jù)“割圓術(shù)”，若用正六十邊形來估算圓周率，則的近似值是（????）（精確到）（參考數(shù)據(jù)）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)圓的半徑為，則其面積；
連接正六十邊形的頂點與圓心，可將正六十邊形分為60個全等的等腰三角形，且頂角為，
故正六十邊形的面積，
根據(jù)題意，，即，
故選：A.
6．（2022·江蘇泰州·高三期中）有一個內(nèi)角為的等腰三角形被稱為黃金三角形，它的較短邊與較長邊之比為黃金分割比．由上述信息可求得的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】在中，，，取的中點，連接，如下圖所示：

由題意可知，且，
所以，，
所以，.
故選：C.
角度5：強(qiáng)調(diào)五育并舉
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖是集合中的點在平面上運動時留下的陰影，中間形如“水滴”部分的平面面積為（????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】方程中，
令，得，
所以，其中，
由得，
解得，
所以點，點；
令，得，
所以，其中，
由得 ，
解得；
所以點，點；
所以“水滴”圖形是由一個等腰三角形，兩個全等的弓形，和一個半圓組成，
設(shè)半圓的面積為，弓形的面積為，等腰三角形的面積為；
其面積是

，
故選：A．

2．（2022·江西·高三開學(xué)考試（理））天文計算的需要，促進(jìn)了三角學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展．10世紀(jì)的科學(xué)家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書中記錄了在三角學(xué)方面的一些創(chuàng)造性的工作．比魯尼給出了一種測量地球半徑的方法：先用邊長帶有刻度的正方形ABCD測得一座山的高（如圖①），再于山頂T處懸一直徑為SP且可以轉(zhuǎn)動的圓環(huán)（如圖②），從山頂T處觀測地平線上的一點I，測得．由此可以算得地球的半徑（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由圖可知，,故 ，解得，
故選：A．
3．（2022·福建泉州·高三期中）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國漢族最古老的民間藝術(shù)之一．如圖，紙片為一圓形，直徑，需要剪去四邊形，可以經(jīng)過對折、沿裁剪、展開就可以得到．

已知點在圓上且．要使得該剪紙作品面積最大，的長應(yīng)為________．
【答案】
【詳解】如圖，連接，作于，由題意，，故，
所以．
設(shè)則由面積公式，，即．
由余弦定理，結(jié)合基本不等式，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
故取最小值時，
此時．
故
.
故答案為：

4．（多選）（2022·遼寧·葫蘆島市第六高級中學(xué)高一階段練習(xí)）笛卡爾在信中用一個能畫出心形曲線的方程向公主表達(dá)愛意的故事廣為流傳，其實能畫出心型曲線的方程有很多種．如圖所示的心形曲線，其方程為，設(shè)點A的坐標(biāo)滿足此方程，記OA與x軸的非負(fù)半軸所成的角為，則當(dāng)時，的值可以是（????）

A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】設(shè)點，則，，
代入曲線方程可得，則，
因為，故，
解得 或，
故選：AC
5．（多選）（2022·遼寧·高二開學(xué)考試）某同學(xué)為測量數(shù)學(xué)樓的高度，先在地面選擇一點C，測量出對教學(xué)樓AB的仰角，再分別執(zhí)行如下四種測量方案，則利用測量數(shù)據(jù)可表示出教學(xué)樓高度的方案有（????）

A．從點C向教學(xué)樓前進(jìn)a米到達(dá)點D，測量出角；
B．在地面上另選點D，測量出角，，米；
C．在地面上另選點D，測量出角，米；
D．從過點C的直線上（不過點B）另選點D、E，測量出米，，．
【答案】ABD
【詳解】對于A，在中，，由正弦定理得，
在中，，A滿足；
對于B，在中，，由正弦定理得，
在中，，B滿足；
對于C，在中，已知一邊無法解三角形，在中，已知一邊一角也無法解三角形，不能求出BC，AC，C不滿足；
對于D，設(shè)，則有，在與中，由余弦定理得：
，即，
因此，，即，解此方程即得h，D滿足.
故選：ABD
6．（2022·上海師大附中高三階段練習(xí)）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，邊長為4的七巧板左下角為坐標(biāo)原點，其中各點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過的頂點數(shù)最多時，的值為_________

【答案】
【詳解】
如圖，各點的橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)，因此，
,,，
函數(shù)的最大值為，最小值為，所以，
且，又因為，所以.
根據(jù)函數(shù)的定義，可知函數(shù)經(jīng)過的頂點數(shù)最多時，為五個點，且當(dāng)時，只有點，所以經(jīng)過的頂點數(shù)最多時一定過這個點.
由于函數(shù)的圖象是一個軸對稱圖形，且是中心對稱圖形，根據(jù)題干中對應(yīng)的整數(shù)點坐標(biāo)的對稱情況可知，經(jīng)過五個點時有以下三種情況：
第一種：函數(shù)的圖象經(jīng)過五個點，如圖，

但此時不滿足，不滿足題意；
第二種：函數(shù)的圖象經(jīng)過五個點，如圖，

可知，所以；
第三種：函數(shù)的圖象經(jīng)過五個點，如圖，

可知，所以.
故答案為：.
7．（2022·云南普洱·高二期末）按如圖連接圓上的五等分點，得到優(yōu)美的“五角星”，圖形中含有很多美妙的數(shù)學(xué)關(guān)系式，例如圖中點H即弦的黃金分割點，其黃金分割比為，且五角星的每個頂角都為等.由此信息可以求出的值為___________.

【答案】
【詳解】在中，，由正弦定理得：，而，
于是得，即，因此，.
故答案為：
二、新考法
角度1：以高觀點為背景
1．（多選）（2022·廣東·揭東二中高三階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為I，若存在，使得，則稱是函數(shù)的二階不動點，也叫穩(wěn)定點.下列函數(shù)中存在唯一穩(wěn)定點的函數(shù)是（????）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【詳解】，定義域為，，解得，A滿足；
，定義域為，，恒成立，B不滿足；
，定義域為，，即，根據(jù)函數(shù)和函數(shù)圖像無交點，知方程無解，C不滿足；
，定義域為，，易知，且是方程的解，當(dāng)時，，方程無解；當(dāng)時，，方程無解，D滿足.
故選：AD
2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）1643年法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心（即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角120°），該點稱為費馬點.已知中，其中，，為費馬點，則的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】如圖，根據(jù)題意，設(shè)，則，

在中，由余弦定理有，也即 ①
在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
故，則，由①，??????②，
且，
所以，
設(shè)，則，
由題意，，所以，所以，
而，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，
所以，由②，
在上單調(diào)遞減，
所以.
角度2：以給定定義、熱點信息為背景
1．（多選）（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）定義：為集合相對常數(shù)的“余弦方差”.若，則集合相對的“余弦方差”的取值可能為（????）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【詳解】解：依題意






，
因為，所以，所以，
所以；
故選：ABC
2．（多選）（2022·廣東·揭東二中高三階段練習(xí)）定義一：關(guān)于一個函數(shù)，若存在兩條距離為的直線和，使得在時，恒成立，則稱函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道.定義二：若一個函數(shù)，關(guān)于任意給定的正數(shù)，都存在一個實數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道，則稱在正無窮處有永恒通道.則下列在正無窮處有永恒通道的函數(shù)為（????）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】，單調(diào)遞增，且無漸近線，故不存在一個實數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道；
隨著的增大，函數(shù)值趨向于0，故對于任意給定的正數(shù)，存在一個實數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道；
隨著的增大，函數(shù)值增大，有漸近線，故對于任意給定的正數(shù)，存在一個實數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道；
隨著的增大，函數(shù)值趨向于0，故對于任意給定的正數(shù)，存在一個實數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道.
故選：BCD
3．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中（文））對集合和常數(shù)，把定義為集合相對于的“正弦方差"，則集合相對于的“正弦方差”為（????）
A． B． C． D．與有關(guān)的值
【答案】C
【詳解】由題知，集合相對于的“正弦方差”為



把，，
，代入上式整理得，.
故選：C.
4．（2022·河北秦皇島·三模）定義：不等式的解集為，若中只有唯一整數(shù)，則稱為“和諧解集”．若關(guān)于的不等式在上存在“和諧解集”，則實數(shù)的可能取值為（????）
A． B． C． D．
【答案】CD
【詳解】本題考查新定義與三角函數(shù)，考查推理論證能力與直觀想象的核心素養(yǎng)．
不等式可化為．
由函數(shù)的圖像，可知只有一個整數(shù)解，這唯一整數(shù)解只能是，因為點是圖像上的點，所以．因為，，，.
故選：CD.
5．（多選）（2022·遼寧·高二開學(xué)考試）某同學(xué)為測量數(shù)學(xué)樓的高度，先在地面選擇一點C，測量出對教學(xué)樓AB的仰角，再分別執(zhí)行如下四種測量方案，則利用測量數(shù)據(jù)可表示出教學(xué)樓高度的方案有（????）

A．從點C向教學(xué)樓前進(jìn)a米到達(dá)點D，測量出角；
B．在地面上另選點D，測量出角，，米；
C．在地面上另選點D，測量出角，米；
D．從過點C的直線上（不過點B）另選點D、E，測量出米，，．
【答案】ABD
【詳解】對于A，在中，，由正弦定理得，
在中，，A滿足；
對于B，在中，，由正弦定理得，
在中，，B滿足；
對于C，在中，已知一邊無法解三角形，在中，已知一邊一角也無法解三角形，不能求出BC，AC，C不滿足；
對于D，設(shè)，則有，在與中，由余弦定理得：
，即，
因此，，即，解此方程即得h，D滿足.
故選：ABD
6．（2022·上海·華師大二附中高三開學(xué)考試）對開區(qū)間，定義，當(dāng)實數(shù)集合為段（為正整數(shù)）互不相交的開區(qū)間的并集時，定義，若對任意上述形式的的子集，總存在，使得，其中，則的最大值為___________.
【答案】##0.25
【詳解】不等式平方可得
解得
設(shè)集合，發(fā)現(xiàn)對任意，，
根據(jù)題意知，當(dāng)，恒成立；
當(dāng)時，因為對任意的的子集不等式都成立，所以讓大于等于的最大值，即，又因為總存在，使，所以讓的最大值大于等于，即；正好取最大值時，也取得最大值，所以，解得；
綜上所述，最大值為.
故答案為：.
角度3：考查開放、探究精神
1．（2022·江西贛州·高三期中（理））奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】延長交于點P，
是的垂心，，

．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨設(shè)，其中．
，
，解得．
當(dāng)時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．
故，則，故C為銳角，
∴，解得，
故選：B．

2．（多選）（2022·安徽省宿松中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立,此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理.由此判斷以下命題中，正確的有（????）

A．若是的重心，則有
B．若，則是的內(nèi)心
C．若，則
D．若是的外心，且，則
【答案】ABD
【詳解】對于A，是的重心，則,
代入就得到,正確；
對于B，設(shè)點P到邊的距離分別為，
由得，，即，與已知條件比較知，，則是的內(nèi)心，正確；
對于，即，
與比較得到，，錯誤；
對于D，是的外心，且，則，設(shè)三角形外接圓半徑為R，
所以，
代入奔馳定理即可得到，正確，
故選：ABD.
角度4：考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析得核心素養(yǎng)
1．（2022·北京師大附中高三階段練習(xí)）、、是函數(shù)的圖象上不重合的三點，若函數(shù)滿足：當(dāng)時，總有、、三點共線，則稱函數(shù)是“零和共線函數(shù)”．下列命題正確的是_______．
①一次函數(shù)都是“零和共線函數(shù)”；
②二次函數(shù)都不是“零和共線函數(shù)”；
③存在，使得是“零和共線函數(shù)”；
④對任意，都是“零和共線函數(shù)”．
【答案】①②④
【詳解】對于①，若為一次函數(shù)，且當(dāng)時，、、三點共線，①對；
對于②，設(shè)，
當(dāng)直線軸時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
而方程至多有兩個根，
綜上所述，二次函數(shù)不是“零和共線函數(shù)”，②對；
對于③，若存在，使得是“零和共線函數(shù)”，
當(dāng)時，不妨取，，，
因為、、三點共線，則，
可得，
即，
所以，，
所以，或，
因為，故不存在，使得對任意的非零實數(shù)滿足或成立，
故不存在，使得是“零和共線函數(shù)”，③錯；
對于④，當(dāng)直線軸時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，
所以，直線的斜率存在，，
，
即、、三點共線，故對任意，都是“零和共線函數(shù)”，④對.
故答案為：①②④.
角度5：相近學(xué)科融合
1．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)高三階段練習(xí)）我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為的基音的同時，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如，，等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，一般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音的函數(shù)為.則函數(shù)的周期為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由
對A：
，故A不正確
對B：
，故B正確；
對C：
，故C不正確；
對D：
，故D不正確；
故選：B.
2．（2022·陜西·無高三期中（文））三相交流電是我們生活中比較常見的一種供電方式，其瞬時電流（單位：安培）與時間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式：（其中為供電的最大電流，單位：安培；表示角頻率，單位：弧度/秒；為初始相位），該三相交流電的頻率（單位：赫茲）與周期（單位：秒）滿足關(guān)系式．某實驗室使用5赫茲的三相交流電，經(jīng)儀器測得在秒與秒的瞬時電流之比為，且在秒時的瞬時電流恰好為1安培，若，則該實驗室所使用的三相交流電的最大電流為（????）
A．2安培 B．安培 C．3安培 D．安培
【答案】A
【詳解】由題意，∴，，∴，從而
∵在秒與秒的瞬時電流之比為
∴
∴
∴，即
∵，∴，從而
∵在秒時的瞬時電流恰好為1安培
∴，即，解得．
故選：A．
3．（2022·新疆石河子一中高三階段練習(xí)（理））《墨經(jīng)?經(jīng)說下》中有這樣一段記載：“光之人，煦若射.下者之人也高，高者之之人也下.足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在遠(yuǎn)近有端，與于光，故景庫內(nèi)也.”這對小孔成像有了第一次的描述.如圖為一次小孔成像實驗，已知物距：像距=6：1，，，則像高為（????）

A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由題可知，
所以，又
由余弦定理可得：
所以，則小孔成像的被成像物高為9
又物距：像距=6：1，故原像高為.
故選：B.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y(m)和時間t(s)的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時間分別為，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為????（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，，
所以，又，所以，
所以，
由可得，
所以，，，
所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為.
故選：D.
5．（2022·江蘇連云港·高三期中）10世紀(jì)阿拉伯天文學(xué)家阿爾庫希設(shè)計出一種方案，通過兩個觀察者異地同時觀測同一顆小天體來測定小天體的高度．如圖，有兩個觀察者在地球上A，B兩地同時觀測到一顆衛(wèi)星S，仰角分別為∠SAM和∠SBM（MA，MB表示當(dāng)?shù)氐乃骄€，即為地球表面的切線），設(shè)地球半徑為R，的長度為，∠SAM＝30°，∠SBM＝45°，則衛(wèi)星S到地面的高度為______．

【答案】
【詳解】
如圖，圓心為O點，設(shè)，由已知的長度為，
即，
∵??∴是等邊三角形，
又，，，，
則，
在中，有，，，
，
由正弦定理可得，，即，
∴
在中，有，，，
由余弦定理可得，
則，
所以，則衛(wèi)星S到地面的高度為
故答案為：.


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