?第4講　素養(yǎng)提升之?dāng)?shù)列新情境、新考法專項沖刺
目錄
一、新情境
角度1：緊跟社會熱點
角度2：關(guān)注經(jīng)濟(jì)發(fā)展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：結(jié)合生產(chǎn)實踐
角度5：滲透數(shù)學(xué)文化
角度6：強(qiáng)調(diào)五育并舉
二、新考法
角度1：以高觀點為背景
角度2：以給定定義、熱點信息為背景
角度3：考查開放、探究精神
角度4：考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析得核心素養(yǎng)
角度5：相近學(xué)科融合










一、新情境
角度1：緊跟社會熱點
1．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學(xué)一模（理））南京市地鐵S8號線經(jīng)擴(kuò)建后于2022年國慶當(dāng)天正式運(yùn)行，從起點站長江大橋北站到終點站金牛湖站總行程大約為51.3千米，小張是陜西來南京游玩的一名旅客，從起點站開始，他利用手機(jī)上的里程表測出前兩站的距離大約為2千米，以后每經(jīng)過一站里程約增加0.1千米，據(jù)此他測算出本條地鐵線路的站點（含起始站與終點站）數(shù)一共有（????）
A．18 B．19 C．21 D．22
【答案】B
【詳解】由題意設(shè)前兩站的距離為千米，
第二站與第三站之間的距離為千米，…，
第n站與第站之間的距離為千米，
則是等差數(shù)列，首項是，公差，
則，解得，
則站點數(shù)一共有19個.
故選：B.
2．（2022·江蘇連云港·高二期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成的數(shù)列為，由此數(shù)列的通項公式為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，，且都是直角三角形，所以，且，
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，由.
故選：B．
3．（2022·浙江衢州·高三階段練習(xí)）衢州市某中學(xué)開展做數(shù)學(xué)題猜密碼益智活動.已知數(shù)列的通項，，數(shù)列的通項，現(xiàn)將數(shù)列和中所有的項混在一起，按照從小到大的順序排成數(shù)列，若滿足成立的的最小值為，若該中學(xué)密碼為計算結(jié)果小數(shù)點的后6位，則該中學(xué)的WiFi的密碼為（????）
A．461538 B．255815 C．037036 D．255813
【答案】D
【詳解】由題意，數(shù)列的通項，可得數(shù)列由數(shù)字，
數(shù)列的通項，可得數(shù)列由數(shù)字，
當(dāng)時，，此時數(shù)列為，此時；
當(dāng)時，，此時數(shù)列為，此時；

當(dāng)時，，
此時數(shù)列前38項中有的前32項和數(shù)列的前6項構(gòu)成，
此時，
此時，經(jīng)驗證：
，
此時，不符合題意，
當(dāng)
，
此時首次滿足，即，又由，所以該中學(xué)的的密碼為255813.
故選：D.
4．（2022·廣西桂林·高三開學(xué)考試（理））在2022北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達(dá)給了全世界.我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同，即太陽照射物體影子的長度增長或減少的量相同，周而復(fù)始（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則大雪所對的晷長為（????）

A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
【答案】B
【詳解】設(shè)相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為，則立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一個再減少,設(shè)大雪的晷長為,則,解得,
故選：B.
角度2：關(guān)注經(jīng)濟(jì)發(fā)展
1．（2022·山東煙臺·高三期中）為響應(yīng)國家加快芯片生產(chǎn)制造進(jìn)程的號召，某芯片生產(chǎn)公司于2020年初購買了一套芯片制造設(shè)備，該設(shè)備第1年的維修費(fèi)用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費(fèi)用增加4萬元，從第7年開始每年維修費(fèi)用較上一年上漲25%．設(shè)為第n年的維修費(fèi)用，為前n年的平均維修費(fèi)用，若萬元，則該設(shè)備繼續(xù)使用，否則從第n年起需對設(shè)備進(jìn)行更新，該設(shè)備需更新的年份為（????）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】C
【詳解】設(shè)前n年的總維修費(fèi)用為，
，，
則，
即前6年可繼續(xù)使用.
當(dāng)時，
所以，

則
計算得，
故從第9年起需對設(shè)備進(jìn)行更新，更新的年份為.
故選：C.
2．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高二期中）冰墩墩作為北京冬奧會的吉祥物特別受歡迎，官方旗艦店售賣冰墩墩運(yùn)動造型多功能徽章，若每天售出件數(shù)成遞增的等差數(shù)列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；價格每天成遞減的等差數(shù)列，第1天每件100元，第21天每件60元，則該店第__________天收入達(dá)到最高.
【答案】6
【詳解】設(shè)第n天售出件數(shù)為,設(shè)第n天價格為.
由題意, 均為等差數(shù)列,設(shè)公差分別為.
所以
所以.
假設(shè)第n天的收入為,則
，
所以當(dāng)時, 取最大值,即第6天收入達(dá)到最高.
故答案為：6
角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·陜西·虢鎮(zhèn)中學(xué)高二階段練習(xí)）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛bn｝：，，……依次類推，其中，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可得，，，
因為，所以，故A錯誤；
因為，所以，即，故B錯誤；
因為，所以，故C錯誤；
因為，所以，，，即，故D正確；
故選：D
角度4：結(jié)合生產(chǎn)實踐
1．（2022·山西呂梁·高三階段練習(xí)）習(xí)近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學(xué)學(xué)生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教．原計劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時決定改變派遣計劃，具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項與（，2，）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則的值為（????）
A．387 B．388 C．389 D．390
【答案】A
【詳解】∵數(shù)列滿足，
∴，，，，，，
∵在任意相鄰兩項與（，2，）之間插入個3，
∴其中，之間插入2個3，，之間插入4個3，，之間插入8個3，，之間插入16個3，，之間插入32個3，，之間插入64個3，
又，，
∴數(shù)列的前70項含有前6項和64個3，
故．
故選：A.
角度5：滲透數(shù)學(xué)文化
1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的實心塔群，共分十二階梯式平臺，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（????）

A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【詳解】設(shè)成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：，由已知得，該等差數(shù)列為遞增數(shù)列，因為剩下兩層的塔數(shù)之和為8，故剩下兩層中的任一層，都不可能是第十二層，所以，第十二層塔數(shù)必為；
故，①；
又由②，，且，所以，
①+②得，，得，
由知，
又因為觀察答案，當(dāng)且僅當(dāng)時，滿足條件，所以，；
組成等差數(shù)列的塔數(shù)為：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下兩層的塔數(shù)之和為8，只能為2，6.
所以，十二層的塔數(shù)，從上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二層的2和第五層的6不組成等差數(shù)列，滿足題意，則第11層的塔數(shù)為17.
故答案選：A
2．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）在2022年北京冬殘奧會閉幕式上，出現(xiàn)了天干地支時辰鐘表盤.天干地支紀(jì)法源于中國，不僅用于紀(jì)時紀(jì)日，也可用于紀(jì)年.天干地支具體分為十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”.橙子輔導(dǎo)創(chuàng)立于1933年（癸酉），以此類推即將迎來的九十周年校慶的2023年為（????）
A．壬寅 B．壬卯 C．癸寅 D．癸卯
【答案】D
【詳解】天干是以10為構(gòu)成的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，
從1933年到2023年經(jīng)過90年，且1933年為癸酉，
以1933年的天干和地支分別為首項，
又，則2023年的天干是癸
又，則2023年的地支是卯
所以即將迎來的九十周年校慶的2023年為癸卯
故選：D
3．（2022·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二階段練習(xí)）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·B·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．下圖是按照，的分形規(guī)律生長成的一個樹形圖，則第10行的實心圓點的個數(shù)是（????）

A．89 B．55 C．34 D．144
【答案】C
【詳解】設(shè)第行實心圓點的個數(shù)為，
由題圖可得，，，，，，，……，
則，
故，，，．
故選：C．
4．（2022·安徽·阜陽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）山西大同的遼金時代建筑華嚴(yán)寺的大雄寶殿共有9間，左右對稱分布，最中間的是明間，寬度最大，然后向兩邊均依次是次間?次間?梢間?盡間.每間寬度從明間開始向左右兩邊均按相同的比例逐步遞減，且明間與相鄰的次間的寬度比為.若設(shè)明間的寬度為，則該大殿9間的總寬度為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由題意, 設(shè)明間的寬度為等比數(shù)列的首項,從明間向右共5間,寬度成等比數(shù)列, 公比為,
同理從明間向左共5間,寬度成等比數(shù)列,公比為,
則由可得
所以總寬度為
故選:
5．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為（????）
A．63里 B．126里 C．192里 D．228里
【答案】C
【詳解】由已知，設(shè)等比數(shù)列首項為，前n項和為，????公比為,，
則 ，等比數(shù)列首項.
故選：C.
6．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：，從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
又因為，所以，
故選：B.
7．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（文））謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出.先取一個實心正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，我們用白色三角形代表挖去的面積，那么黑色三角形為剩下的面積（我們稱黑色部分為謝爾賓斯基三角形）.用上面的方法可以無限操作下去，操作1次得到第2個圖案，操作2次得到第3個圖案……，若最大的三角形邊長為2，則操作4次后得到的第5個圖案中挖去的白色三角形個數(shù)為___________，挖去的面積為___________.

【答案】???? ???? ##
【詳解】觀察圖中黑色三角形以及白色三角形的個數(shù)，
設(shè)白色三角形個數(shù)為，黑色三角形個數(shù)為，
可以知道 ，，，，
故 ，則，
即操作4次后得到的第5個圖案中挖去的白色三角形個數(shù)為40；
由題意可知，設(shè)圖中黑色三角形面積為 ，則，
每次挖去的白色三角形面積都是上一個圖形中對應(yīng)的黑色三角形面積的，
故每次操作后圖中剩余黑色三角形的面積都是上一個圖中黑色部分面積的，
故圖中黑色三角形面積構(gòu)成首項為 ，公比為的等比數(shù)列，
故操作4次后得到的第5個圖案中黑色三角形面積為 ，
則挖去的面積為，
故答案為：40；
8．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測）四色定理又稱四色猜想、四色問題，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．地圖四色定理最先是由一位叫古德里的英國大學(xué)生提出來的．四色定理的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色．”某同學(xué)在橫格紙上研究填涂藍(lán)、紅、黃、綠4種顏色問題，如圖，第1行有1個格子，第2行有2個格子，…，第n行有n個格子，將4種顏色在每行中分別進(jìn)行涂色，每行相鄰的格子顏色不同，記為第k行不同涂色種數(shù)，則_____，________．

【答案】???? 324????
【詳解】由分步計數(shù)原理知每行的第一個格子有4重涂法，其余每個格子均有3種涂法，故種，，
則①，
所以②，
①-②得，即．
故答案為：324，
角度6：強(qiáng)調(diào)五育并舉
1．（2022·陜西·渭南市三賢中學(xué)高二期中）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，，已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（????）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】B
【詳解】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：B
2．（2022·福建三明·高二階段練習(xí)）定義各項為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為.若各項為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為，且，則______.
【答案】
【詳解】因為各項為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為，
所以.
設(shè)數(shù)列的前項和為，
則，
所以.
當(dāng)時，，
所以，滿足式子，
所以.
又，所以，
所以


.
故答案為：.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為243的正三角形三邊上，分別取一個三等分點，連接成一個較小的正三角形，然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角形，如此重復(fù)多次，得到如圖所示的圖形（圖中共有10個正三角形），其中最小的正三角形的面積為（????）

A． B．1 C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)第n個正三角形的邊長為，則，
由勾股定理知，
所以，又，則，
所以是首項為243，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以，故最小的正三角形的面積為.
故選：A
4．（2022·廣東·深圳市第七高級中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形，，…，，…，記第塊紙板的面積為，則______，如果，恒成立，那么的取值范圍是______．

【答案】???? ????
【詳解】第一塊紙板的面積為，
第二塊紙板的面積為，
第三塊紙板的面積為，……，
第塊紙板的面積為

，
要使得，恒成立，只需，解得，故．
故答案為：，.
5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）“刺繡”是一門傳統(tǒng)手工藝術(shù)，我國已有多種刺繡列入世界非遺文化遺產(chǎn)名錄．有一種刺繡的圖案由一筆畫構(gòu)成，很像漢字“回”，稱為“回紋圖”（如圖）． 某刺繡工在方格形布料上用單線針法繡回紋圖，共進(jìn)行了次操作，每次操作在前一次基礎(chǔ)上向外多繡一圈(前三次操作之后的圖案分別如下圖) ． 若第次操作之后圖案所占面積為（即最外圍不封口的矩形面積，如），則至少操作_______次，不少于；若每橫向或縱向一個單位長度繡一針，稱為“走一針”，如圖①共走了針，如圖②共走了針，如圖③共走了針，則其第次操作之后的回紋圖共走了______________針（用表示）．

【答案】???? ????
【詳解】由題意得：，
令，解得：或（舍去），
故至少操作5次；
由圖形可以看出，第1次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為，
第2次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為，
第3次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為，

第n次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為

故答案為：5，
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））某校在研究民間剪紙藝術(shù)時，經(jīng)常會沿著紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折一次可以得到和兩種規(guī)格的圖形，他們的周長之和為，對折二次可以得到，，三種規(guī)格的圖形，他們的周長之和為，以此類推，則折疊次后能得到的所有不同圖形的周長和為___________，如果對折次后，能得到的所有圖形的周長和記為，則___________.
【答案】???? ????
【詳解】對折三次可以得到，，，四種規(guī)格的圖形，
對折四次可得到，，，，五種規(guī)格的圖形，
對折五次可得到，，，，，六種規(guī)格的圖形，周長和為：
，
因為，
，
所以，，，，，所以當(dāng)時，
，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，
由累加法可得：，
所以.
故答案為：，.

二、新考法
角度1：以高觀點為背景
1．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項和為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，，
，，
依題意，
即，
則，
（由于，所以），
則，
兩邊取對數(shù)得，即，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
所以，所以.
故選：A
2．（2022·廣東廣州·高二期中）對于數(shù)列定義：，，，…，（其中），稱數(shù)列為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列.如果（常數(shù)）（），那么稱數(shù)列是階等差數(shù)列.現(xiàn)在設(shè)數(shù)列是2階等差數(shù)列，且，，，則數(shù)列的通項公式為_________.
【答案】
【詳解】根據(jù)題意：，，，
故，故，
，
故.
故答案為：
3．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí)）對給定的數(shù)列，記，則稱數(shù)列為數(shù)列的一階商數(shù)列；記，則稱數(shù)列為數(shù)列的二階商數(shù)列；以此類推，可得數(shù)列的P階商數(shù)列，已知數(shù)列的二階商數(shù)列的各項均為，且，則___________．
【答案】
【詳解】解：由數(shù)列的二階商數(shù)列的各項均為，可知，
而，
故數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
即，
即，
即．
所以，
故．
故答案為：
4．（2022·上?！じ叨谥校┒x:對于任意數(shù)列,假如存在一個常數(shù)使得對任意的正整數(shù)都有,且,則稱為數(shù)列的“上漸近值”．已知數(shù)列有（為常數(shù),且）,它的前項和為,并且滿足,令,記數(shù)列的“上漸近值”為,則的值為 _____．
【答案】##-0.5
【詳解】解:當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
得到,
根據(jù)累乘法:;滿足n=1情況，
故而數(shù)列是首項為0,公差為的等差數(shù)列,
,
,



,
,
,
.
故答案為:
5．（2022·四川資陽·高一期末）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，通常是一個粗糙或零碎的幾何形狀，并可以分成數(shù)個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀，即具有自相似的特征．如圖，有一列曲線，，…，，…，且是邊長為1的等邊三角形，是對進(jìn)行如下操作而得到：將曲線的每條邊進(jìn)行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉記曲線的周長依次為，，…，，…，則______．

【答案】.
【詳解】由題意可知，第1個圖形的邊長為1，第2個圖形的邊長為第1個圖形邊長的，第3個圖形的邊長又是第2個圖形邊長的，……，
所以各個圖形的邊長構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列，
所以第個圖形的邊長為，
由圖可知，各個圖形的邊數(shù)構(gòu)成首項為3，公比為4的等比數(shù)列，
所以第個圖形的邊數(shù)為，
所以第個圖形的周長為，
所以，
令，
所以


，
故答案為：
角度2：以給定定義、熱點信息為背景
1．（2022·山東聊城·高三期中）若函數(shù)使得數(shù)列，為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”．已知函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，則a的取值范圍為（????）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，對，，
即，
即，對恒成立，
由于在上單調(diào)遞增，故，
故.
即.
故選：B
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“好數(shù)”，已知某數(shù)列的“好數(shù)”，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由題意，，則，
當(dāng)時，，
兩式相減得，
所以，，
當(dāng)時，對上式也成立，
故，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，
故對任意的恒成立可化為
，；
即，解得.
故選：D．
3．（2022·河南三門峽·高三階段練習(xí)（文））定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的和構(gòu)成一個等比數(shù)列，則稱該數(shù)列為“和等比”數(shù)列。已知“和等比數(shù)列的前三項分別為，，則數(shù)列的前11項和________．
【答案】1365
【詳解】依題意，，，因此等比數(shù)列的首項是2，公比為2，有，
所以
.
故答案為：1365
4．（2022·福建寧德·高三期中）對于數(shù)列{}，若對任意，都有，則稱該數(shù)列{}為“凸數(shù)列”．設(shè)，若是凸數(shù)列，則實數(shù)m的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】數(shù)列，，，是“上凸數(shù)列”，得，，
即，
即，
化簡得，
當(dāng)時， ，若恒成立，
則恒成立，
令 則單調(diào)遞增，當(dāng) 時，取最小值
故
又當(dāng)時，的最大值為，所以
則的取值范圍是，
故選：D
5．（2022·遼寧·沈陽市第四中學(xué)高三階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，2，5，10，17，26，37，則該數(shù)列的第19項為（????）
A．290 B．325 C．362 D．399
【答案】B
【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則由，，，，…
可知該數(shù)列逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，首項為1，公差為2，故，
故，
則，，，…，，
上式相加，得，
即，故.
故選：B.
角度3：考查開放、探究精神
1．（2022·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在邊長為1的正三角形中，，，，可得正三角形，以此類推可得正三角形正三角形，記，則__．

【答案】
【詳解】因為正三角形的邊長為1，所以，
在邊長為1的正三角形中，，，
所以,，由余弦定理得：，同理可求：．
所以與相似，相似比為，所以．
同理可求：，，．
所以，，構(gòu)成一個首項為，公比為 的等比數(shù)列，
所以．
故答案為：．
2．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如果數(shù)列1，6，15，28，45，中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第9個六邊形數(shù)為______．

【答案】153
【詳解】解：因為：1，
，
，
，
；
即這些六邊形數(shù)是由首項為1，公差為4的等差數(shù)列的和組成的；
所以：；
第9個六邊形數(shù)為：．
故答案為：153．
3．（2022·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)的積，即，當(dāng)兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如即為6的最優(yōu)分解，當(dāng)是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前100項和為___________.
【答案】
【詳解】當(dāng)時，由于，此時，
當(dāng)時，由于，此時，
所以的前100項和為.
故答案為：
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)史有許多光輝燦爛的篇章，“楊輝三角”就是其中十分精彩的一頁．如圖所示，在“楊輝三角”中，斜線上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，…，記這個數(shù)列的前項和為，則__________．

【答案】285
【詳解】為偶數(shù)時，，
為奇數(shù)時，，，，
，
，
，
，
上面各式相加可得．
所以
，
故答案為：285．
5．（2022·上?！とA師大二附中高一期末）如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，，，，可得正三角形，以此類推可得正三角形、…、正三角形，記，則______．

【答案】
【詳解】因為正三角形ABC的邊長為1，所以.
在邊長為1的正三角形ABC中，，，，
所以，由余弦定理得：
同理可求：.
所以，相似比為,所以.
同理可求：,……，.
所以構(gòu)成一個首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：.
角度4：考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析得核心素養(yǎng)
1．（2022·山東青島·高二期中）集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾于十九世紀(jì)末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性范疇中人類活動的最美表現(xiàn)之一”.取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續(xù)下去，直至無窮.由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段的數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在前次操作中共去掉的線段長度之和不小于，則的最小值為（????）
（參考數(shù)據(jù)：，）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【詳解】第一次操作去掉的線段長度為，第二次操作去掉的線段長度和為，第三次操作去掉的線段長度和為，…，第操作去掉的線段長度和為，
由此得，
所以，，
，，
所以的最小值是9.
故選：A．
2．（2022·北京師大附中高三階段練習(xí)）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為的線段，第次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去．若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為（????）
（參考數(shù)據(jù)：，）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】第次操作，去掉的線段長度為；第次操作，去掉的線段長度為；第次操作，去掉的線段長度為，依次類推，可知第次操作去掉的線段長度為，
即每次去掉的線段長度成等比數(shù)列，
第次后，去掉的線段長度總和為，
由得：，，
的最小值為.
故選：D.
3．（2022·江西省豐城中學(xué)高三階段練習(xí)（理））楊輝是南宋杰出的數(shù)學(xué)家，他曾擔(dān)任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶．楊輝一生留下了大量的著述，他給出了著名的三角垛公式：．若正項數(shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列的通項公式為，則根據(jù)三角垛公式，可得數(shù)列的前20項和（????）
A．2620 B．2660 C．2870 D．2980
【答案】C
【詳解】由，得，兩式相減，得
，整理，得，
即．因為各項為正，所以，
所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
又當(dāng)時，，即，
所以或（舍去），所以，
所以，所以．
因為，所以，
即．
又，所以，
故．
故選：C．
4．（2022·湖南·長沙市同升湖高級中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）若是函數(shù)的極值點，數(shù)列滿足，，設(shè)，記表示不超過的最大整數(shù)，設(shè)，若不等式，對任意屬于正整數(shù)都成立，則實數(shù)的最大值為（????）．
A．1011 B．1012 C．2022 D．1010
【答案】B
【詳解】解：，
是函數(shù)的極值點，
，所以，
，
，
數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為．
，
．
，
所以
，
單調(diào)遞增，，
，
對，不等式恒成立，所以，即，
則實數(shù)的最大值為．
故選：B．

角度5：相近學(xué)科融合
1．（2022·黑龍江·哈九中高三階段練習(xí)）中國公民身份號碼編排規(guī)定，女性公民的順序碼為偶數(shù)，男性為奇數(shù)，反映了性別與數(shù)字之間的聯(lián)系；數(shù)字簡譜以1，2，3，4，5，6，7代表音階中的7個基本音階，反映了音樂與數(shù)字之間的聯(lián)系，同樣我們可以對幾何圖形賦予新的含義，使幾何圖形與數(shù)字之間建立聯(lián)系.如圖1，我們規(guī)定1個正方形對應(yīng)1個三角形和1個正方形，1個三角形對應(yīng)1個正方形，在圖2中，第1行有1個正方形和1個三角形，第2行有2個正方形和1個三角形，則在第9行中的正方形的個數(shù)為（????）

A．53 B．55 C．57 D．59
【答案】B
【詳解】設(shè)為第n行中正方形的個數(shù)，為第n行中三角形的個數(shù)，由于每個正方形產(chǎn)生下一行的1個三角形和1個正方形，
每個三角形產(chǎn)生下一行的1個正方形，則有，，
整理得，且，，
則，，，，
，，.
故選：B.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)第1根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線交于點（，）和（，），則(?????)?????
參考數(shù)據(jù)：取.


A．814 B．900 C．914 D．1000
【答案】C
【詳解】由條件可得①，
所以②，
－②得：
，
，
所以.
故選：C.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的，明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》提出了十二平均律的理論十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個數(shù)使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為M，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說法錯誤的是（????）
A．插入的第8個數(shù)為 B．插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的倍
C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為,公比為q,則,故.
對于A：插入的第8個數(shù)為.故A正確；
對于B：插入的第5個數(shù)為，插入的第1個數(shù)為，所以.故B正確；
對于C：.
要證，即證，即證，即證，即證，
而成立，故C正確；
對于D：.
因為，所以，所以，所以，即，所以
故D錯誤.
故選：D
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）提丟斯—波得定則是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太陽系第n顆行星與太陽的平均距離（以天文單位A．U.為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項乘以10后再減4得數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)從第3項起，每一項是前一項的2倍，則______，______.
【答案】???? ????
【詳解】數(shù)列各項乘10再減4得到數(shù)列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，
故該數(shù)列從第2項起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以，
所以 ，所以，
故答案為：；；





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