?第3講　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值
目錄
第一部分：知識強化
第二部分：重難點題型突破
突破一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
突破二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
角度1：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
角度2：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
角度3：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間
角度4：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)
角度5：已知函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間
突破三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
角度1：求已知函數(shù)的極值（點）、最值
角度2：根據(jù)函數(shù)的極值（點）、最值，求參數(shù)
突破四：含參問題討論單調(diào)性
角度1：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）
角度2:導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型
角度3:導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型
第三部分：沖刺重難點特訓(xùn)



第一部分：知識強化
1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即，相應(yīng)的切線方程為.
（1）在型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
（2）過型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設(shè)切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
（1）求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間
④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間
注：求單調(diào)區(qū)間時，令（或）不跟等號.
（2）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.
②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.
注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間
①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，有解.
②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，有解.
（4）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得（是變號零點）
3、函數(shù)的極值
一般地，對于函數(shù)，
（1）若在點處有，且在點附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極小值點，叫做函數(shù)的極小值.
（2）若在點處有，且在點附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極大值點，叫做函數(shù)的極大值．
（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.
注：極大（?。┲迭c，不是一個點，是一個數(shù).
4、函數(shù)的最大（小）值
一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內(nèi)的極值；
（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
5、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系
（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；
（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€（或者沒有），但最大（?。┲抵挥幸粋€（或者沒有）；
（3）函數(shù)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；
（4）對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.
第二部分：重難點題型突破
突破一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則過點可作曲線的切線的條數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】解：因為，所以，
設(shè)切點為，
所以在切點處的切線方程為，
又在切線上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以過點可作曲線的切線的條數(shù)為2.
故選：C．
2．（2022·河南河南·模擬預(yù)測（理））已知是奇函數(shù)，則過點向曲線可作的切線條數(shù)是（???）
A．1 B．2 C．3 D．不確定
【答案】C
【詳解】因函數(shù)是奇函數(shù)，則由得恒成立，則，
即有，，
設(shè)過點向曲線所作切線與曲線相切的切點為，
而點不在曲線上，則，整理得，
即，解得或，即符合條件的切點有3個，
所以過點向曲線可作的切線條數(shù)是3.
故選：C
3．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知過點作曲線的切線有且僅有條，則（????）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【詳解】設(shè)切點為，
由已知得，則切線斜率，切線方程為
直線過點，則，化簡得
切線有且僅有條，即，化簡得，即，解得或
故選：C
4．（2022·河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，過原點作曲線的切線，則切點的橫坐標(biāo)為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由得：；
設(shè)切點坐標(biāo)為，，
則切線方程為：，
切線過原點，，解得：，
即切點橫坐標(biāo)為.
故選：C.
5．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（文））若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.
【答案】1或
【詳解】設(shè)與和的切點分別為；
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，
即，
∴，
∴
∴
當(dāng)時，，當(dāng)時，
∴或.
故答案為：1或.
6．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知直線是曲線的切線，則___________.
【答案】
【詳解】設(shè)切點為，由，可得，
，直線是切線，
，解得，
當(dāng)時，，切點代入切線方程，可得，
當(dāng)時，，切點代入切線方程，可得，
綜上可知，.
故答案為：
7．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在一條直線同時與兩個函數(shù)圖象相切，則實數(shù)a的取值范圍__________．
【答案】
【詳解】數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)，存在一條直線同時與兩函數(shù)圖象相切；

當(dāng)，若存在一條直線同時與兩函數(shù)圖象相切，
則時，有解，
所以，
令，因為，
則當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；
所以在處取得極大值，也是最大值，
最大值為，且在上恒成立，
所以，即．
故答案為：
8．（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線方程為____________．若該切線與的圖象有三個公共點，則的取值范圍是____________．
【答案】???? ##???? ##
【詳解】切點坐標(biāo)為，，，
所以切線l方程為．
函數(shù)，即過點，
當(dāng)切線l過點時，切線l與函數(shù)的圖象有三個公共點，
將其代入切線l方程得；
當(dāng)切線l與（）相切時直線與函數(shù)的圖象只有兩個公共點，
設(shè)切線l：與（）在處相切，，，
所以切點坐標(biāo)為，代入切線方程解得，
因此直線與曲線有三個交點時，．

故答案為：；
突破二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
角度1：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
1．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函數(shù)，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由可得，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，
故選：B
2．（多選）（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）下列區(qū)間中能使函數(shù)單調(diào)遞增的是（????）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】由，得，解得或，
所以函數(shù)的定義域為.
令，則，
由，得，
令即，解得，或，
當(dāng)或時，；
所以在和上單調(diào)遞增；
所以在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增.
故選：BD.
3．（2022·遼寧省實驗中學(xué)東戴河分校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為______.
【答案】
【詳解】函數(shù)的定義域為，
，
令，即，解得：，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故答案為：.
4．（2022·全國·高二單元測試）已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，若，則的最大值為______．
【答案】
【詳解】由，得．
令即，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，
所以，解得，
所以m的最大值為．
故答案為：.
角度2：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題知，，即；
由得
只需保證在上恒成立，則在上恒成立，即；
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則需滿足，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由題意可得，恒成立，
當(dāng)時，顯然滿足題意，
當(dāng)時，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，，
解可得，，
綜上可得，．
故選：．
3．（2022·全國·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，則，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
可得在上恒成立，
即，
令，
不妨設(shè)，則，
即在上單調(diào)遞增，
所以，所以.
故選：B
4．（2022·重慶市朝陽中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是_____.
【答案】
【詳解】,解得在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),解得x=1, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,g(x)的最大值為g(1)=1, ,,故填.
5．（2022·江蘇·常熟外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）若函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,則實數(shù)的值為__________．
【答案】
【詳解】 由題意得是方程 的根，
，解得：．
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______
【答案】
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：，
由于在上單調(diào)遞增，則恒成立，
則，即有，
由于，則，則的取值范圍是，
故答案為．
角度3：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間
1．（2022·河南信陽·高二期中（理））已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)的子區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：在其定義域內(nèi)的子區(qū)間上不單調(diào)，
函數(shù)在區(qū)間上有極值，
由得或（舍去）
，
解得：，
故選：．
2．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題,,
因為,則若函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,
即在上有解,
即存在,使得成立,
設(shè),則,
當(dāng)時,,
所以,即,
故選:B
角度4：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，
所以在區(qū)間上有解，且不是重解.
即可得，
令，，
則，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
故的值域為.
故選：A.
2．（多選）（2022·全國·高二單元測試）已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件有（????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】，
若在上不單調(diào)，
令，
則函數(shù)與軸在上有交點，
當(dāng)時，顯然不成立；
當(dāng)時，則，解得或，
結(jié)合選項易知在上不單調(diào)的一個充分不必要條件是
，，
故選：AC.
3．（2022·天津市武清區(qū)楊村第三中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是_____．
【答案】
【詳解】，令得，
由于，
分離常數(shù)得.
構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，在上遞增，.
下證：
構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時，①，
而，即，所以，所以由①可得.所以當(dāng)時，單調(diào)遞增.
由于，所以當(dāng)時，，故，也即.
由于，所以.
所以的取值范圍是
故答案為：
角度5：已知函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，函數(shù)，可得，
因為函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，可得有兩個不相等的實數(shù)根，
則滿足，解得或，
即實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
2．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若函數(shù)在定義域上恰有三個單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍是（?????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數(shù)在定義域上恰有三個單調(diào)區(qū)間，
所以其導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩個不同的零點，
由可得，即，
所以只需，方程在上有兩個不同的實數(shù)根.
故選：A.
突破三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
角度1：求已知函數(shù)的極值（點）、最值
1．（2022·廣西河池·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)有兩個極值點，且，則的極大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：因為，
，所以有兩個不同的實數(shù)解，
且由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
由題意可得，
解得，
此時，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取得極大值．
故選：B．
2．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模（理））設(shè)函數(shù)，則下列不是函數(shù)極大值點的是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題可得，
令，得或，，
則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在，，上單調(diào)遞減，
故不是函數(shù)極大值點的是.
故選：D.
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知函數(shù)，若不等式的解集為，且，則函數(shù)的極大值為（????）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【詳解】為三次函數(shù)，其圖象可能情況有如下5種：


不等式的解集為，且，故其具體圖象為圖1類，如下圖：

，由于為的二重根，故可設(shè)，
，
令，解得：，或，且當(dāng)或上，，當(dāng)，，故是的極大值點，故極大值為.
故選：B
4．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)的零點為，零點為，則的最大值為（????）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，可得，所以
則，所以.
，得，
則，
對于函數(shù)，，
所以在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
所以，令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以．
故選：B
5．（2022·四川省南充高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，方程恰有兩個不同的實數(shù)根、，則的最小值與最大值的和（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點、，
，則，可得，則，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則.
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.
所以，，
，，顯然，.
因此，的最大值和最小值之和為.
故選：C.
6．（2022·河南·南陽中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)存在兩個極值點.
(1)求的取值范圍；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意知：定義域為，；
令，則有兩個不等正根，
，解得：，實數(shù)的取值范圍為.
（2）由（1）知：，是的兩根，則；
；
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
，
即的最小值為.
7．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））(且)．
(1)當(dāng)時，求經(jīng)過且與曲線相切的直線；
(2)記的極小值為，求的最大值．
【答案】(1)
(2)1
（1）
函數(shù)的定義域為，，
當(dāng)時，，設(shè)切點為，則，解得，故，切線方程為．
（2）
由有極小值，故存在零點，令得的極值點，故，
當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，因此的極小值，
令，則，，
，令，則，
當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，故在處取極大值，同時也是最大值，，所以的最大值為1．
8．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，若在上存在最大值，求m的取值范圍；
(2)討論極值點的個數(shù).
【答案】(1)；
(2)當(dāng)時，函數(shù)有一個極值點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點；
當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點.
(1)
因為，
所以，
因為函數(shù)的定義域為：，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，
因此要想在上存在最大值，只需，
所以m的取值范圍為；
(2)
，
方程的判別式為.
（1）當(dāng)時，即，此時方程沒有實數(shù)根，
所以，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極值點；
（2）當(dāng)時，即，
此時，（當(dāng)時取等號），所以函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極值點；
（3）當(dāng)時，即，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，
設(shè)兩個實數(shù)根為，設(shè)，則，
函數(shù)的定義域為：，顯然
當(dāng)時，此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，
此時當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此當(dāng)時，函數(shù)有極小值點，當(dāng)時，函數(shù)有極大值點，
所以當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，
當(dāng)時，方程有一個正實數(shù)根和一個負根，或是一個正實數(shù)和零根，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值點，
因此當(dāng)時，函數(shù)有一個極值點，
綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)有一個極值點；
當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點；
當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點.
9．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，證明：在上無極值；
(2)設(shè)，，證明：在上只有一個極大值點.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
（1）
由已知得，當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，，因為，
所以，.
所以在上單調(diào)遞減，故在上無極值；
（2）
，
，
其中，.
因為，所以是第一象限角，不妨設(shè).
因為，所以.
由得，，由得，
所以在上單調(diào)遞增.由得，
所以在上單調(diào)遞減.可得在處取極大值，
所以在上只有一個極大值點.

角度2：根據(jù)函數(shù)的極值（點）、最值，求參數(shù)
1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)有三個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】函數(shù)有三個極值點，則
有三個零點，即方程有三個根，
不妨令,則，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，且當(dāng)時，恒成立．
當(dāng)趨近于負無窮時，趨近于正無窮；趨近于正無窮時，趨近于，
故當(dāng)時，滿足題意，則
故選：B．
2．（2022·江西贛州·高三期中（理））已知函數(shù)存在唯一的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為的定義域為且存在唯一的極值點，所以存在唯一的變號正實根．
因為，所以只有唯一變號正實根．
當(dāng)時，恒成立，方程只有唯一變號正實根，符合題意；
當(dāng)時，要使存在唯一極值點，則需恒成立，即在上恒成立，
因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
綜上所述，．
故選：A.
3．（2022·江西贛州·高三階段練習(xí)（文））等比數(shù)列中的項，是函數(shù)的極值點，則（????）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：因為，所以，
當(dāng)或時，當(dāng)時，
所以、為函數(shù)的極值點，
即或，又，
所以且；
故選：D
4．（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在上的最小值為，則實數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】當(dāng)時，在單調(diào)遞減，
且最小值為，滿足條件，故可排除A，B；
當(dāng)時，，，
時，，在單調(diào)遞減，
所以最小值為，滿足條件，故可排除C；
故選：D
5．（2022·天津市瑞景中學(xué)高三期中）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（????）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【詳解】由可得，
因為當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，
所以，解得，
所以，
因此當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時取最大值，滿足題意，
所以
故選：B
6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，．
(1)求在上的極小值點；
(2)若的最大值大于的最大值，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
（1）
，
令，得或，
因為，所以或或．
易知為銳角，為鈍角，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在上的極小值點為．
（2）
令，
則，，
則，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
因為，，，，
所以，，
所以，即．
7．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2).
（1）
當(dāng)時，，故其定義域為，且，
令，即，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；
令，即，解得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）
因為，
所以，
令，則，
令，得；令，得；又，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，.
若在上存在極值點，則或，解得或，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
8．（2022·北京海淀·高三期中）已知函數(shù)．
①當(dāng)時，的極值點個數(shù)為__________；
②若恰有兩個極值點，則的取值范圍是__________．
【答案】???? ????
【詳解】①當(dāng)時，；
，為連續(xù)函數(shù)；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
和是的極值點，即的極值點個數(shù)為；
②，為連續(xù)函數(shù)，
為單調(diào)函數(shù)，在上無極值點；
又在上至多有一個極值點，
和必為的兩個極值點，，解得：，
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
突破四：含參問題討論單調(diào)性
角度1：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）
1．（2022·遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)
(1)請討論函數(shù)的單調(diào)性
【答案】(1)答案見解析
(1)
當(dāng)時，在上遞增
當(dāng)時，在，單調(diào)遞減
在上，單調(diào)遞增
2．（2022·河南河南·一模（文））已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)答案見解析
【詳解】（1），
若，，即，此時在R上單調(diào)遞減．
若，解得，
解得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
3．（2022·吉林·長春市實驗中學(xué)二模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
【答案】(1)答案見解析
（1）解：由題意得函數(shù)的定義域為，
當(dāng)時，令，得，
所以在上單調(diào)遞增；
令，得，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，因為恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；
4．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)
(1)若，求的極小值
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）當(dāng)時，，的定義域為，
，
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.
所以當(dāng)時，取得極小值.
（2）的定義域為，
.
令，
當(dāng)時，恒成立，所以即在上遞增.
當(dāng)時，在區(qū)間即遞減；
在區(qū)間即遞增.
角度2:導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型
1．（2022·四川綿陽·一模（理））已知函數(shù)（）．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
【答案】(1)答案不唯一，具體見解析
【詳解】（1）由題意得．???
當(dāng)時，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令,令或
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．??
當(dāng)時，令，令或
函數(shù)在(k，4)上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
2．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)詳見解析；
（1）由題可得，
①當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增；
③當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增；
④當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增.
3．（2022·天津·二模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【答案】(1)
(2)答案見解析
(1)當(dāng)時，????

，
故切線方程為：
(2)
，
① 當(dāng)時， ，僅有單調(diào)遞增區(qū)間，其為：
② 當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，
的單調(diào)遞增區(qū)間為： ，單調(diào)遞減區(qū)間為：
③ 當(dāng)時，，當(dāng)時；當(dāng)時
的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：
綜上所述：當(dāng)時，僅有單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為：
當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為： ，單調(diào)遞減區(qū)間為：
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：
角度3:導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型
1．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)或時，在上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增.
【詳解】（1）由，
求導(dǎo)得，
易知恒成立，故看的正負，即由判別式進行判斷，
①當(dāng)時，即，，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，即或，
令時，解得或，
當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)或，，
則在和上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)或時，在上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增.
2．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，
(1)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)答案見解析；
(1)函數(shù)的定義域為，
當(dāng)時，恒成立，即在上為增函數(shù)；
當(dāng)時，由得，
此時恒成立，即在上為增函數(shù)，
由得，由得或
由得，又，
∴在，上為增函數(shù)，
在上為減函數(shù).
當(dāng)時，恒成立，
由得，
由得
∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
綜上所述：
當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；
當(dāng)時，在上為增函數(shù)：
當(dāng)時，∴在，上為增函數(shù)，
在上為減函數(shù).
第三部分：沖刺重難點特訓(xùn)
一、單選題
1．（2022·全國·高二專題練習(xí)），在處切線方程為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在處切線方程為，即．
故選：B．
2．（2022·福建·高三階段練習(xí)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（????）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【詳解】解：設(shè)直線與曲線的切點為，
因為，所以，
切線方程為，
所以，，
所以，又，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故的最小值是4.
故選：D.
3．（2022·河南·濮陽油田實驗學(xué)校高三階段練習(xí)（文））“過點可以作兩條與曲線相切的直線”的充要條件是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)切點為，因為，所以，
所以切線方程為，又過點，
所以，即，
因為過點可以作兩條切線，所以方程有兩個解.
設(shè)，則有兩個零點.
,
令，則，解得，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，取得極大值，也是最大值為，
要使有兩個零點.需滿足，解得，
所以過點可以作兩條與曲線相切的直線”的充要條件是.
故選：C.
4．（2022·上海市行知中學(xué)高三階段練習(xí)）“”是“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】解：，
令得，
所以，①當(dāng)時，和時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，此時要使函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，則，即；
②當(dāng)時， 恒成立，在上單調(diào)遞增，故滿足函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)；
③當(dāng)時，和時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，此時要使函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，則滿足，即；，
綜上，要使“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)”，則.
因為是的真子集，
所以，“”是“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A
5．（2022·海南昌茂花園學(xué)校高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
因為
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），
所以．
故選：B.
6．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的a的范圍是（??????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意得在上恒成立，則，
設(shè)，，
又在上為單調(diào)遞減函數(shù)，，
即.
故選：A.
7．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)在處有極值，則的最小值為（????）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【詳解】由，得，
所以，即，
由題意，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取等號.
故選：B.
8．（2022·四川省成都市新都一中高三階段練習(xí)（文））函數(shù)，的極值點為，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令，
的極值點為，，，
，
故選：A
9．（2022·貴州·盤州市聚道高中有限責(zé)任公司高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若對任意的，都有，則實數(shù)a的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：令
根據(jù)題意，不妨設(shè)且，
則不等式等價于，即，
所以， 函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，在上恒成立，
因為，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，
所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以，
所以，即.
所以，實數(shù)a的最小值為.
故選：A
10．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．若函數(shù)在上的最小值為3，則實數(shù)a的值為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．
當(dāng)時，，則，
所以當(dāng)時，，此時
當(dāng)時，在，上恒成立，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，解得（舍，
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得最小值，解得，
綜上，．
故選：D．
二、多選題
11．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點與，且，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個變號零點，
即方程有兩個根.
構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)且時，，當(dāng)時，
所以在和上遞減，在上遞增，
所以函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時，，
所以，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，即函數(shù)有兩個極值點，錯；

對于選項，為直線與函數(shù)圖象兩個交點的橫坐標(biāo)，因為函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，故B正確；
對于選項，由，從而代入得，令，則，故在上遞減，故對；
對于選項，因為，由可得對.
故選：BCD.
12．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（????）
A．直線與曲線相切
B．函數(shù)只有極大值，無極小值
C．若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)
D．若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)
【答案】AC
【詳解】， ，
因為，，所以曲線在點 處的切線方程為，故A正確；
令，得 ，所以 ，當(dāng) 時，存在 使，且當(dāng)時，；
當(dāng)時，，即有極小值，無極大值，故B錯誤；
設(shè) 為的極值點，則 ，且，
所以 ，，當(dāng) 時，
；當(dāng)時，，
故C正確，D錯誤.
故選：AC
三、填空題
13．（2022·上?！ど贤飧街懈呷A段練習(xí)），若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是_______
【答案】
【詳解】因為，則，
有已知條件可得：，使得，即，
當(dāng)，所以.
故答案為：.
14．（2022·四川省高縣中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍為_____________.
【答案】
【詳解】易得.
由，得或.
當(dāng)，即時，，不符合題意，故，
此時應(yīng)該滿足或，即且.
故答案為：.
15．（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【詳解】試題分析：∵函數(shù)f（x）=x2﹣ex﹣ax，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a，
∵函數(shù)f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a＞0，即a＜2x﹣ex有解，
令g′（x）=2﹣ex，g′（x）=2﹣ex=0，x=ln2，g′（x）=2﹣ex＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣ex＜0，x＞ln2
∴當(dāng)x=ln2時，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．
四、解答題
16．（2022·北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)在及時取得極值．
(1)求的值；
(2)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1），由題意，
的兩根分別為和，
由韋達定理得，，解得

經(jīng)檢驗，符合題意
所以
（2）對于任意的，都有成立，
只需當(dāng)時，，
由（1）知，，
或，當(dāng)時，或，
當(dāng)時，，
所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
所以函數(shù)的極大值為，
又，
所以函數(shù)在上的最大值為.
所以，即的取值范圍為.
17．（2022·山東·濰坊瀚聲學(xué)校高三期中）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)
(2)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，則單調(diào)遞減區(qū)間為

【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
則函數(shù)在點處的切線方程為.
故切線方程為：.
（2）函數(shù)，其中定義域為.
.
令，得或.
當(dāng)，即時，令，解得，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，則單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)，即時, ,則函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，即時，令，解得，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，則單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上：時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，則單調(diào)遞減區(qū)間為..
18．（2022·河南·濮陽南樂一高高三階段練習(xí)（文））．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在上為單調(diào)遞減，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，得，
所以，
又，
所以切線方程為，即；
（2）由，得，
又在上為單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，，
又，當(dāng)即時取最大值為，
所以.
19．（2022·陜西咸陽中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)?.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，求?.
【答案】(1)答案詳見解析
(2)
【詳解】（1）因為?，
所以?.
①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，在區(qū)間上，，遞增；
在區(qū)間上，，遞減.
（2）由（1）可知：
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，；
②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，；
③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，
故當(dāng)時，?；
當(dāng)時，?；
綜上可得:?.
20．（2022·四川·石室中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)當(dāng)時，，的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
（1）
由已知可得，，
，則，
所以在處的切線方程為．
（2）

若，則時，在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；
若，由，得或
若，有，則時，在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；
若，有，則時，在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；
若，有，則時，在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意．
若，有，則時，在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意．
綜上所述，的取值范圍是．





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