第十三章 軸對(duì)稱13．1 軸對(duì)稱13．1．2  線段的垂直平分線的性質(zhì)第1課時(shí) 線段垂直平分線的性質(zhì)運(yùn)判定學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．能用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．          2．進(jìn)一步了解尺規(guī)作圖的一般步驟和作圖語(yǔ)言，理解作圖的依據(jù)．          3．能夠運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法解決簡(jiǎn)單的作圖問(wèn)題．重點(diǎn)：用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．難點(diǎn)：運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法解決簡(jiǎn)單的作圖問(wèn)題． 課堂探究 一、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：線段垂直平分線的性質(zhì)探究發(fā)現(xiàn)：如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l 上的點(diǎn)，請(qǐng)你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離之間的數(shù)量關(guān)系．P1A ____P1BP2A ____ P2BP3A ____ P3B  猜想：點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離分別相等．由此你能得到什么結(jié)論？  命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？            驗(yàn)證結(jié)論：已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC =CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA =PB．  典例精析例1：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長(zhǎng)為35 cm，則BC的長(zhǎng)為(　　)A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．17．5 cm 方法歸納：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng)． 練一練：1．如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長(zhǎng)為（    ）A．  6        B．  5       C．   4      D． 32．如圖②所示，在△ABC中，BC=8 cm，邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E， △BCE的周長(zhǎng)等于18 cm，則AC的長(zhǎng)是          ． 例2：尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C ．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C ．想一想：（1）為什么任意取一點(diǎn)K ，使點(diǎn)K與點(diǎn)C 在直線兩旁？（2）為什么要以大于DE的長(zhǎng)為半徑作?。?/span>   （3）為什么直線CF 就是所求作的垂線？例3：已知：如圖，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于P．求證：PA=PB=PC．方法總結(jié)：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．例4：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：（1）FC＝AD（2）AB＝BC＋AD．探究點(diǎn)2：線段垂直平分線的判定合作探究：想一想：如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？已知：如圖，PA =PB．求證：點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上．知識(shí)要點(diǎn)：線段垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．應(yīng)用格式：∵PA =PB，∴點(diǎn)P 在AB 的垂直平分線上．作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上． 想一想：你能再找一些到線段AB 兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB 兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？  應(yīng)用格式：∵AB =AC，MB =MC，∴直線AM 是線段BC 的垂直平分線．作用：判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法． 例5：已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D，連接CD．求證：OE是CD的垂直平分線． 二、課堂小結(jié)                            當(dāng)堂檢測(cè)1．如圖所示，AC=AD，BC=BD，則下列說(shuō)法正確的是（　  ）A．AB垂直平分CD    B．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分  D．CD平分∠ACB 2．在銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PA=PB=PC，則點(diǎn)P是△ABC(     )A．三條角平分線的交點(diǎn)   B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)    D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)3．已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有　　　　種．4．下列說(shuō)法：①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA＝EB，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有               （填序號(hào)）．5．如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，AB+BC=16 cm，則△BCE的周長(zhǎng)是        cm．6．如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說(shuō)明AD與EF的關(guān)系．拓展提升：7．如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O．（1）找出圖中相等的線段；（2）若OE，OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說(shuō)明它們的大小有什么關(guān)系．       
參考答案課堂探究一、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：線段垂直平分線的性質(zhì)探究發(fā)現(xiàn)  ＝  ＝  ＝            驗(yàn)證結(jié)論  證明：∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又AC =CB，PC =PC，∴△PCA ≌△PCB（SAS）．∴PA =PB．典例精析例1  C  解析：∵△DBC的周長(zhǎng)為BC+BD+CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC+AD+CD＝35 cm．∵AC＝AD+DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15(cm)．故選C．練一練：1．B   2．10 cm 例2  解：作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．（2）以點(diǎn)C 為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于   DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F．（4）作直線CF．直線CF就是所求作的垂線．例3  證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB．同理，PB=PC．∴PA=PB=PC．例4：證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF．∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC．又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF．∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF．∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD．探究點(diǎn)2：線段垂直平分線的判定想一想  證明：過(guò)點(diǎn)P 作AB 的垂線PC，垂足為點(diǎn)C．則∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC =BC．又PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．想一想  與A，B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合．例5：證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE=CE．又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC．∴DO=CO．∴OE是CD的垂直平分線．當(dāng)堂檢測(cè)1．A   2．D   3．無(wú)數(shù)      4．① ② ③   5．166．解：AD垂直平分EF．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°．又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF．∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF．拓展提升：7．解：（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD． （2）OE＝OF．理由如下：在△AOC和△AOD中，∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO．又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF．   

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13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)

版本： 人教版

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