人教B版（2019）必修第一冊《2.2.4 均值不等式及其應用》同步練習 一 、單選題（本大題共8小題，共40分）1.（5分）利用基本不等式求最值，下列各式運用正確的有個?
?
?
?
．A. 個 B. 個 C. 個 D. 個2.（5分）若實數(shù)，滿足，則的最小值是A.  B.  C.  D. 3.（5分）某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入經(jīng)營，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤單位：萬元與營運年數(shù)為二次函數(shù)關系如圖所示，則每輛客車營運幾年，營運的年平均利潤最大?
?
 A.  B.  C.  D. 4.（5分）若正實數(shù)，滿足，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A.  B.  C.  D. 5.（5分）對于函數(shù)，若，滿足，則稱，為函數(shù)的一對“類指數(shù)”．若正實數(shù)與為函數(shù)的一對“類指數(shù)”，的最小值為，則的值為A.  B.  C.  D. 6.（5分）設，，且，則有?
 A. 最小值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值7.（5分） 已知，，，則的最小值是 A.  B.  C.  D. 8.（5分）已知，則的最小值為A.  B.  C.  D. 二 、多選題（本大題共5小題，共25分）9.（5分）判斷一下說法正確的是 A. “”的一個必要非充分條件是“”
B. 如果，那么
C. 函數(shù)的最小值為
D. 函數(shù)的任意自變量、滿足10.（5分）已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是A. 最大值為 B. 的最小值為
C. 最大值為 D. 最小值為11.（5分）已知，，且，則(????)A.  B.
C.  D. 12.（5分）已知，，且，則A.  B.
C.  D. 13.（5分）已知且則下列不等式成立的是A.  B.
C.  D. 三 、填空題（本大題共5小題，共25分）14.（5分）已知是的邊上任一點，且滿足，、，則的最小值為 ______ ．15.（5分）?
 15-1.某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛小時與車流速度假設車輛以相同速度行駛，單位：米秒、平均車長單位：米的值有關，其公式為．?
Ⅰ如果不限定車型，，則最大車流量為 ______ 輛小時；?
Ⅱ如果限定車型，，則最大車流量比Ⅰ中的最大車流量增加 ______ 輛小時．16.（5分），動直線過定點，動直線過定點，若直線l與相交于點 (異于點)，則周長的最大值為_________.17.（5分）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，若的面積，則的最小值為_________.18.（5分）已知，則的最小值為________.四 、解答題（本大題共5小題，共60分）19.（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，有以下個條件：①；②；③請在以上個條件中選擇一個，求面積的最大值.20.（12分）己知三個內(nèi)角，，對應的邊分別為，，，且．    Ⅰ求證：，，成等差數(shù)列；    Ⅱ若，求的取值范圍．21.（12分）已知函數(shù)?
若的解集為，或，求不等式的解集；?
若任意，使得恒成立，求的取值范圍．22.（12分）已知，，．?
求的最小值； ?
若對，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．23.（12分）已知函數(shù)，，且的最大值為求實數(shù)的值；若，，，求證：
答案和解析1.【答案】B;【解析】解：根據(jù)基本不等式成立的條件，對各命題考察如下：?
，這個運算是錯誤的，?
因為只有“正數(shù)”才能用基本不等式，即該式中“”這個條件缺失；?
，這個運算是錯誤的，?
因為取最小值時，，不等成立，即“”無法取得；?
，這個運算是錯誤的，?
因為只有“正數(shù)”才能用基本不等式，即該式中應限制“”；?
，這個運算是正確的，?
符合條件“一正，二定，三相等”．?
所以，只有是正確的，?
故選：．?
直接根據(jù)基本不等式求最值時的前提條件“一正，二定，三相等”，對各命題作出判斷．?
這道題主要考查了運用基本不等式求最值，涉及應用的前提條件“一正，二定，三相等”，缺一不可，屬于中檔題．
 2.【答案】A;【解析】解：由于實數(shù)，滿足，則 ， ?
當且僅當時，等號成立， ?
故選A．?
根據(jù)，利用基本不等式求得的最小值． ?
這道題主要考查基本不等式的應用，注意基本不等式使用條件和等號成立條件，屬于基礎題．
 3.【答案】C;【解析】?
由題意列得營運的年平均利潤，再運用不等式可得答案.?
?
解：由題意得，則營運的年平均利潤為?
，即?
故選?

 4.【答案】A;【解析】?
該題考查了不等式恒成立和利用基本不等式求最小值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎題．?
先利用基本不等求出的最小值，然后根據(jù)恒成立，可得，再求出的范圍．?
?
解：正實數(shù)，滿足，?
?
，?
當且僅當，即，時取等號，?
恒成立，?
只需，?
，，?
的取值范圍為．?
故選：．
 5.【答案】B;【解析】?
 此題主要考查新定義和利用基本不等式的求解參數(shù)問題，屬于中檔題.?
 根據(jù)題意與為函數(shù)的一對“類指數(shù)”，根據(jù)已知關系式求得，再對利用基本不等式進行化簡求解，即可求得值.解：根據(jù)題意，正實數(shù) 與 為函數(shù)的一對“類指數(shù)”，?
，?
當且僅當，即 時取等號，?
?
故答案為：
 6.【答案】A;【解析】?
此題主要考查了基本不等式求最值，屬于基礎題.?
利用已知的等式得出，代入所求的代數(shù)式進行變形，結(jié)合基本不等式即可.?
?
解：，且，則，?
，?
?
?
又?
，?
當且僅當，即當且僅當時等號成立，?
所以的最小值為?
故選
 7.【答案】D;【解析】解：，，，?
則?
，?
當且僅當時上式取得等號，?
則的最小值是，?
故選：．?
由題意可得，運用基本不等式可得最小值．?
該題考查基本不等式的運用，注意乘法和等號成立的條件，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．
 8.【答案】D;【解析】?
此題主要考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．?
變形得，利用基本不等式即可得出．?
?
解：，?
?
，?
當且僅當，即時取等號，?
的最小值為?
故選
 9.【答案】BD;【解析】?
此題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，函數(shù)解析式，基本不等式等，比較基礎．?
，取特值可判斷，解方程組可判斷，換元，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最小值即可判斷，用分析法轉(zhuǎn)化成基本不等式求解.?
?
解：，取，，則，但，得，則成立，故“”的充分非必要條件是“”，錯誤；?
B.，將此式中的換成得  ，?
，得，正確；?
C.令，則在時遞增，?
故，故錯誤；?
D.，，由基本不等式可知，當時，成立，正確.?
故選
 10.【答案】AB;【解析】?
此題主要考查利用基本不等式求最值，涉及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.?
根據(jù)已知條件，直接利用基本不等式可得的最大值從而判定；?
利用，得：，可求得的最小值，從而判定；?
，利用基本不等式，并注意等號是否能夠取到，從而判定；?
，展開之后，利用基本不等式求最值，即可判定解：，是正數(shù)，?
，?
又，?
，?
，?
當且僅當時取等號，?
最大值為，故正確；?
由不等式，當且僅當時等號成立，?
得：，?
當且僅當時，取等號，?
的最小值為，故正確；?
，?
，?
取等號的條件是，這樣，與已知矛盾，?
故上述“”中“”無法取到，?
，故錯誤；?
?
，?
當且僅當，即時取得等號，?
最小值為，故錯誤.?
故答案選：
 11.【答案】ABD;【解析】因為，，且，所以，故A正確；由已知得，，所以，所以，故B正確；，當且僅當時，等號成立，故C錯誤；，則，當且僅當時，等號成立，故D正確，故選ABD．
 12.【答案】ABD;【解析】?
此題主要考查了基本不等式以及對數(shù)與對數(shù)運算 ，考查了學生的分析以及計算能力，屬中檔題.?
由題意根據(jù)各函數(shù)并運用基本不等式依次判斷.?
?
解：對于，因為，，且，所以，所以，故正確?
對于，因為，所以，當且僅當，即，時取等號，故正確：?
對于，因為，當且僅當，即，時取等號，?
所以，即，故錯誤：?
對于，因為，且，所以，即，當且僅當，即，時取等號，故正確.?
故選?
?

 13.【答案】ABC;【解析】?
此題主要考查利用基本不等式求最值屬于中檔題.?
運用基本不等式可以判定，，的正誤，利用換元法以及對勾函數(shù)的性質(zhì)，可以判定的正確，由此即可得到答案.?
?
解：因為，且，所以，?
當且僅當時，取等號，故正確.?
 ，當且僅當時成立，故正確；?
 ， 當且僅當時，取等號故正確；?
令，?
則，?
當且僅當時取等號，則，故不正確；?
故選
 14.【答案】;【解析】解：，共線 ?
存在實數(shù)，滿足 ?
?
?
?
?
，，即 ?
?
?
?
當且僅當，即時，取最小值為 ?
故答案為： ?
利用向量加法三角形法則將表示出來，找出，的關系，進而求出的最小值 ?
本題主要考察了向量加法與減法三角形法則，及不等式的求解問題，屬于中檔題．
 15.【答案】1900；100;【解析】解：Ⅰ，?
，當時取最小值，?
當且僅當時“”成立，?
故最大車流量為：輛小時；?
Ⅱ，?
，當且僅當時等號成立，?
，?
輛小時?
故最大車流量比Ⅰ中的最大車流量增加輛小時．?
故答案為：，?
Ⅰ把帶入，分子分母同時除以，利用基本不等式求得的最大值．?
Ⅱ把帶入，分子分母同時除以，利用基本不等式求得的最大值最后于Ⅰ中最大值作差即可．?
這道題主要考查了基本不等式的性質(zhì)．基本不等式應用時，注意“一正，二定，三相等”必須滿足．
 16.【答案】;【解析】由條件得直線過定點，直線過定點，且.又直線，所以，∴，當且僅當時等號成立，∴，即周長的最大值為.故答案為：.
 17.【答案】;【解析】?
此題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，利用基本不等式求最值，需要對公式的靈活運用，屬于一般題.?
先利用正弦定理將化為，由兩角和的三角函數(shù)公式與誘導公式化簡可得的值，由此可得的值，代入三角形面積公式可得與得大小關系，最后利用余弦定理和基本不等式可求的最小值．?
【解析】?
解：，?
?
，?
方程兩邊消去得，?
又，由此可得，且，?
，?
將代入，得，?
?
，?
當且僅當時等式成立，?
將兩邊平方得，化簡得，?
的最小值為?
故答案為
 18.【答案】;【解析】此題主要考查基本不等式求函數(shù)的最值，屬基礎題，熟記基本不等式求最值的條件是解題關鍵．解： ， 當且僅當，即時取得“”，?
?
故答案為
 19.【答案】解：若選擇①由正弦定理將化為：，又，所以，所以，即，，，?
，所以當時取到等號所以面積的最大值為若選擇②由正弦定理將化為：又，所以，所以即，又，，又，，又由余弦定理可得：當且僅當時取等號，，  所以面積的最大值為若選擇③因為，所以，當且僅當時取等號又由余弦定理得：當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號  所以面積的最大值為;【解析】此題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，基本不等式求最值，是中檔題.?
若選擇①，可求得，由三角函數(shù)有界性可求面積的最大值；?
若選擇②，由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可求面積的最大值；?
若選擇③，由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.?

 20.【答案】解：Ⅰ證明：，?
，?
，?
，?
，?
，?
，，?
，可得，，成等差數(shù)列?
Ⅱ，?
，?
．;【解析】這道題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題，?
Ⅰ利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可求，，由，可得，，成等差數(shù)列?
Ⅱ由已知利用余弦定理，基本不等式即可求得．?
?

 21.【答案】解：，?
由不等式的解集為，或，?
，是方程的根，?
可得，，?
解得，，?
不等式，?
可得不等式的解集為；?
，?
任意，使得成立，?
當時，恒成立；?
當時，使得恒成立，?
令，，則，?
令，則，，?
，?
當且僅當即即時等號成立．?
可得當時，，?
則，?
即的取值范圍為．;【解析】該題考查二次不等式的解法，注意運用二次方程的韋達定理，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論思想方法和參數(shù)分離法、換元法，結(jié)合基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．?
由題意可得的解集為，或，可得，是方程的根，運用韋達定理可得，，再由二次不等式的解法可得解集；?
討論，不等式顯然成立；當時，運用參數(shù)分離可得恒成立，令，，則，運用換元法和基本不等式可得最小值，即可得到所求范圍．
 22.【答案】解：（1）∵a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2， ?
∴， ?
∴，此時，． ?
（2）∵對?a，b∈（0，+∞）恒成立， ?
∴或或 ?
或或， ?
，∴．;【解析】?
利用“乘法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出． ?
由，通過分類討論利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得出． ?
此題主要考查了基本不等式的性質(zhì)、絕對值不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
 23.【答案】解：當時取到等號，?
，?
由，，，?
，?
當且僅當時取等號.?
;【解析】此題主要考查了絕對值三角不等式，基本不等式的應用與不等式證明，屬于中檔題．?
利用絕對值三角不等式求出；?
利用基本不等式得出，由即可得證．
 

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