高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊2.2.4 均值不等式及其應用精品學案

這是一份高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊2.2.4 均值不等式及其應用精品學案，共8頁。



知識點1 算術平均值與幾何平均值[來源:ZXXK]


1.給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)eq \f(a＋b,2)稱為a，b的算術平均值；數(shù)eq \r(ab)稱為a，b的幾何平均值.


2.均值不等式(基本不等式)


如果a，b都是正數(shù)，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，當且僅當a＝b時，等號成立.


3.均值不等式也稱為基本不等式，其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均值.


4.均值不等式的一個幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大.


[微思考]


eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≥ab是等價的嗎？


提示 不等價，前者條件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.


知識點2 兩個結(jié)論


(1)兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；


(2)兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值.





探究一 利用均值不等式證明不等式


已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，


證明：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥9.


證明 eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)


＝3＋(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))＋(eq \f(c,a)＋eq \f(a,c))＋(eq \f(c,b)＋eq \f(b,c))≥3＋2＋2＋2＝9.


當且僅當a＝b＝c＝eq \f(1,3)時，等號成立.


[方法總結(jié)]


用均值不等式證明不等式的解題策略


在利用均值不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項或多項或恒等地變形配湊成適當?shù)臄?shù)、式，以便于利用均值不等式.


[跟蹤訓練1] 已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，


求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.


證明 (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)


≥2eq \r(bc)·2eq \r(ac)·2eq \r(ab)＝8abc.


當且僅當b＝c＝a＝eq \f(1,3)時，等號成立.


探究二 利用均值不等式求最值


已知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值.


解 方法一：(1的代換)因為eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，


所以x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y).


因為x＞0，y＞0，所以eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥2 eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6.


當且僅當eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即y＝3x時，取等號.


又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16.


所以當x＝4，y＝12時，x＋y取最小值16.


方法二：(消元法)由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得x＝eq \f(y,y－9).


因為x＞0，y＞0，所以y＞9.


x＋y＝eq \f(y,y－9)＋y＝y(tǒng)＋eq \f(y－9＋9,y－9)＝y(tǒng)＋eq \f(9,y－9)＋1


＝(y－9)＋eq \f(9,y－9)＋10.


因為y＞9，所以y－9＞0，


所以y－9＋eq \f(9,y－9)≥2eq \r(?y－9?·\f(9,y－9))＝6.


當且僅當y－9＝eq \f(9,y－9)，即y＝12時取等號，此時，x＝4，所以當x＝4，y＝12時，x＋y取最小值16.


方法三：(配湊法)由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1得，y＋9x＝xy，


所以(x－1)(y－9)＝9.


所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥


10＋2eq \r(?x－1??y－9?)＝16.


當且僅當x－1＝y(tǒng)－9時取等號.


又因為eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12.


所以當x＝4，y＝12時，x＋y取最小值16.


[方法總結(jié)]


1.利用均值不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的原則，即


(1)一正：符合均值不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的前提條件，a＞0，b＞0；


(2)二定：化不等式的一邊為定值；


(3)三相等：必須存在取“＝”號的條件，即“＝”號成立.


提醒：以上三點缺一不可.


2.若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通?；?或利用)和為定值，其解答技巧是恰當變形，合理拆分或配湊因式.


[跟蹤訓練2] (1)已知eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝2(x＞0，y＞0)，則x·y的最小值是________；


(2)設x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，則x＋y的最小值為________.


(1)6 (2)18 [(1)方法一：因為2＝eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)≥2 eq \r(\f(6,xy))，


所以 eq \r(\f(6,xy))≤1，所以eq \f(6,xy)≤1，所以xy≥6，


當且僅當eq \f(2,x)＝eq \f(3,y)，即x＝2，y＝3時等號.


所以xy的最小值為6.


方法二：由eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝2得，3x＋2y＝2xy，


因為x＞0，y＞0，所以3x＋2y≥2eq \r(6xy)，等號在3x＝2y時成立，[來源:學§科§網(wǎng)]


所以2xy≥2eq \r(6xy)，所以xy≥6.


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＝2y,xy＝6))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝3)).


所以xy的最小值為6.


(2)由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1.


所以x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))


＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18.


當且僅當eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12時等號成立.


所以x＋y的最小值是18.]


探究三 利用均值不等式解實際問題


某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格1 800元，面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元.求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？


解 設該廠每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸. 由題意可知，面粉的保管等其他費用為


3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).


設平均每天所支付的總費用為y1元，


則y1＝eq \f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋eq \f(900,x)＋10 809≥2eq \r(9x·\f(900,x))＋10 809＝10 989(元)，


當且僅當9x＝eq \f(900,x)，即x＝10時，等號成立.


所以該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少.


[方法總結(jié)]


求解應用題的方法與步驟


(1)審題； (2)建模(列式)； (3)解模； (4)作答. [來源:Z|xx|k.Cm]


[跟蹤訓練3] 某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元.求：


(1)倉庫面積S的最大允許值是多少；


(2)為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長.


解 設鐵柵長為x m，一堵磚墻長為y m，則頂部面積為S＝xy(m2).


(1)由題意，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200.


由均值不等式得


3 200≥2eq \r(40x·90y)＋20xy＝120eq \r(xy)＋20xy＝120eq \r(S)＋20S.


所以S＋6eq \r(S)－160≤0，即(eq \r(S)－10)(eq \r(S)＋16)≤0，


故0＜eq \r(S)≤10，從而0＜S≤100.


所以S的最大允許值是100 m2.


(2)S取得最大值的條件是40x＝90y且xy＝100，


所以求得x＝15，即正面鐵柵的長是15 m.





1.兩個不等式a2＋b2≥2ab與eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當……時，取‘＝’”這句話的含義要有正確的理解. 一方面：當a＝b時，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面：當eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)時，也有a＝b.


2.在利用均值不等式證明和求最值的過程中，常需要把數(shù)、式合理的拆成兩項或多項或把恒等式變形配湊成適當?shù)臄?shù)、式，以便于利用均值不等式.


3.利用基本不等式解決實際問題時，一般是先建立關于目標量的函數(shù)關系，再利用基本不等式求解目標函數(shù)的最大(小)值及取最大(小)值的條件.





課時作業(yè)(十五) 均值不等式及其應用





1.不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的條件為( )


A.x≥2y，x－2y＝1 B.x＞2y，x－2y＝1


C.x≤2y，x－2y＝1 D.x＜2y，x－2y＝1


B [因為不等式成立的前提條件是各項均為正，所以x－2y＞0，即x＞2y，且等號成立時(x－2y)2＝1，即x－2y＝1.]


2.已知x＞0，若x＋eq \f(81,x)的值最小，則x為( )


A.81 B.9


C.3 D.16


B [因為x＞0，所以x＋eq \f(81,x)≥2eq \r(x·\f(81,x))＝18，當且僅當x＝eq \f(81,x)，即x＝9時等號成立.]


3.小王從甲地到乙地往返的速度分別為a和b(a