?2.2.4　均值不等式及其應用
第1課時　均值不等式
學習目標　 1.掌握均值不等式及其推導過程.2.理解均值不等式的幾何意義.3.能初步運用均值不等式證明不等式和求最值．
導語
從前有個金店的天平壞了，天平的兩臂長短不相等，店主不想購置新的天平，又怕別人說他缺斤少兩，于是他想出一個辦法：先把顧客要購買的黃金放入左邊的托盤中，右邊托盤中加砝碼得到一個讀數(shù)，再把黃金放入右邊的托盤中，在左邊托盤加砝碼得到第二個讀數(shù)，然后把兩個讀數(shù)相加除以2作為黃金的最終質量出售．你覺得店主這個買賣做到誠信無欺了嗎？要解決這個問題，我們一起進入今天的課堂吧！
一、對均值不等式的理解
問題1　如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，你能找到正方形ABCD的面積與四個直角三角形的面積之和的關系嗎？

提示　正方形的邊長AB＝，故正方形的面積為a2＋b2，而四個直角三角形的面積為2ab，故有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．實際上該不等式對任意的實數(shù)a，b都能成立．
問題2　現(xiàn)在我們討論一種特別的情況，如果a>0，b>0，我們用，分別替換上式中的a，b，能得到什么樣的結論？
提示　用，分別替換上式中的a，b可得到a＋b≥2，當且僅當a＝b時，等號成立．我們習慣表示成≤.
問題3　上述不等式是在a2＋b2≥2ab(a，b∈R)的基礎上轉化出來的，是否對所有的a>0，b>0都能成立？請給出證明．
提示　方法一　(作差法)
－＝＝＝≥0，即≥，當且僅當a＝b時，等號成立．
方法二　(分析法)
要證≤，
只需證2≤a＋b，
只需證2－a－b≤0，
只需證－(－)2≤0，
顯然(－)2≥0成立，當且僅當a＝b時，等號成立．
方法三　(幾何法)
如圖所示，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圓的半徑，故用不等式表示為≤，由此也可以得出圓的半徑不小于半弦．

問題4　探索均值不等式的幾何意義．
提示　將均值不等式兩邊平方可得2≥ab，
如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，2可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．
知識梳理
算術平均值
給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術平均值
幾何平均值
給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的幾何平均值
均值不等式
如果a，b都是正數(shù)，那么≥，當且僅當a＝b時，等號成立
幾何意義
所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大

注意點：
(1)均值不等式常見的變形：①若a>0，b>0，則a＋b≥2；②若a>0，b>0，則ab≤2.
(2)均值不等式的實質是：兩個正實數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值．


例1　下列命題中正確的是(　　)
A．當a，b∈R時，＋≥2＝2
B．若a0，b>0時，≥
答案　C
解析　A中，可能0，b>0)，所以不正確．
反思感悟　均值不等式≥(a>0，b>0)的兩個注意點
(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)．
(2)“當且僅當”的含義：
①當a＝b時，≥的等號成立，
即a＝b?＝；
②僅當a＝b時，≥的等號成立，
即＝?a＝b.
跟蹤訓練1　(多選)下列結論不正確的是(　　)
A．若x∈R，且x≠0，則＋x≥4
B．當x>0時，＋≥2
C．當x≥2時，x＋的最小值為2
D．當00，求y＝的最小值；
(2)當x>0時，求＋4x的最小值；
(3)當x0)的最小值是－2.
(2)∵x>0，
∴>0,4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
當且僅當＝4x，即x＝時，等號成立，取得最小值8，
∴當x>0時，＋4x的最小值為8.
(3)∵x0.
則＋(－4x)≥2＝8，
當且僅當＝－4x，即x＝－時取等號．
∴＋4x≤－8.
∴當x0，y>0，且x＋y＝8，則(1＋x)·(1＋y)的最大值為(　　)
A．16 B．25 C．9 D．36
答案　 B
解析　因為x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
當且僅當x＝y(tǒng)＝4時，等號成立，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.
(2)若x>0，則12x＋的最小值為________，若x0，
所以12x＋≥2＝4，
當且僅當12x＝，即x＝時等號成立．
所以x>0時，12x＋的最小值為4.
當x0，
所以12x＋＝－≤－2＝－4.
當且僅當x＝－時，等號成立．所以x2，則y＝x＋的最小值為________．
答案　6
解析　因為x>2，所以x－2>0，
所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
當且僅當x－2＝，
即x＝4時，等號成立．所以y＝x＋的最小值為6.
延伸探究　若把本例中的條件“x>2”改為“x0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
當且僅當a＝b＝c時，等號成立．

1．知識清單：
(1)≥(a，b都是正數(shù))．
(2)利用均值不等式求最值．
(3)利用均值不等式證明．
2．方法歸納：拼湊法．
3．常見誤區(qū)：忽視a，b都是正數(shù)的條件，忽視等號成立的條件；多次使用均值不等式忽略等號同時成立的條件．

1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則t與s的大小關系是(　　)
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s2)中等號成立的條件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
答案　C
解析　由均值不等式知等號成立的條件為＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
3．(多選)下列不等式成立的是(　　)
A．a(chǎn)b≤
B．a(chǎn)b≥
C.2≥ab(a>0，b>0)
D．a(chǎn)＋b≤2
答案　AC
解析　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故A正確，
由均值不等式可知C是其變形，故C正確．
4．若x>0，則x＋________2，若x”或“0時，x＋≥2＝2，
當且僅當x＝，即x＝時取等號．
當x0，則下列不等式成立的是(　　)
A．a(chǎn)>b>>
B．a(chǎn)>>>b
C．a(chǎn)>>b>
D．a(chǎn)>>>b
答案　B
解析　a＝>>>＝b，
因此只有B項正確．
2．設x>0，則y＝3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2 C．3－2 D．－1
答案　C
解析　 y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，當且僅當3x＝，
即x＝時取等號．
∴當x＝時，y的最大值是3－2.
3．若a>1，則a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a(chǎn) C. D．3
答案　D
解析　∵a>1，∴a－1>0，
∴a＋＝(a－1)＋＋1≥2
＋1＝3，當且僅當a－1＝，
即a＝2時等號成立．
∴當a＝2時，a＋的最小值是3.
4．若x>1，則y＝的最小值為(　　)
A．3 B．－3 C．4 D．－4
答案　C
解析　∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝＝x＋1＋
＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4，
當且僅當＝x－1，
即(x－1)2＝1時，等號成立，
∴當x＝2時，y的最小值為4.
5．(多選)已知a>0，b>0，則下列不等式中正確的是(　　)
A．a(chǎn)b≤2 B．a(chǎn)b≤
C.≥ D.≤2
答案　ABC
解析　由a2＋b2≥2ab知B，C正確，
由均值不等式知，ab≤2，
∴≥2，故A正確，D錯誤．
6．已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝，則x，y的大小關系是________．
答案　x2(a>0，b>0且a≠b)，
∴x20，y>0，∴x－1，則當x＝________時，的最小值為________．
答案　2　16
解析?。?br /> ＝＝(x＋1)＋＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16.
當且僅當x＋1＝，即x＝2時，等號成立．
∴當x＝2時，的最小值是16.
8．已知a>b>c，則與的大小關系是__________________________．
答案　≤
解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴≤＝.
當且僅當a－b＝b－c，即a＋c＝2b時，等號成立．
9．已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
證明　由均值不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
從而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，當且僅當a2＝b2＝c2時等號成立．
10．(1)若x0，求y＝的最大值．
解　(1)因為x0.
又因為y＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，
由均值不等式可得2(3－x)＋≥
2＝2，
當且僅當2(3－x)＝，
即x＝3－時，等號成立，
于是－≤－2，－
＋7≤7－2，
故y的最大值是7－2.
(2)y＝＝.
因為x>0，
所以x＋≥2＝2，
當且僅當x＝，
即x＝1時，等號成立．
所以00，則y＝x＋－的最小值是________．
答案　0
解析　因為x>0，所以x＋>0，
所以y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，
當且僅當x＋＝，
即x＝時等號成立，
所以y＝x＋－的最小值為0.
13．中國南宋大數(shù)學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形的三條邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式S＝求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫－秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足a＝8，b＋c＝10，則此三角形面積的最大值為________．
答案　12
解析　由已知可得p＝＝9，
所以S＝
＝3≤＝12.
當且僅當b＝c＝5時，等號成立．故該三角形面積的最大值為12.
14．某工廠第一年的產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，則這兩年的平均增長率x與增長率的平均值的大小關系為________．
答案　x≤
解析　用兩種方法求出第三年的產(chǎn)量分別為
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
則有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤.
當且僅當a＝b時，等號成立．

15．(多選)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD，過點C作OD的垂線，垂足為E，則該圖形可以完成的所有的無字證明為(　　)

A.≥(a>0，b>0)
B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a≥0，b>0)
答案　AC
解析　由AC＋CB＝a＋b，得OD＝，
由Rt△ACD∽Rt△DCB可知
CD＝＝，
又OD≥CD，∴≥(a>0，b>0)，A正確；
由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2＝DE·OD，
即DE＝＝＝，
又CD≥DE，即≥(a>0，b>0)，C正確．
16．已知a，b為正實數(shù)，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解　(1)因為a，b為正實數(shù)，且＋＝2，
所以＋＝2≥2，
即ab≥(當且僅當a＝b＝時，等號成立)．
因為a2＋b2≥2ab≥2×＝1(當且僅當a＝b＝時，等號成立)，
所以a2＋b2的最小值為1.
(2)因為＋＝2，所以a＋b＝2ab.
因為(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，
即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，
即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.
因為a，b為正實數(shù)，所以ab＝1.

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