高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊2.2.4 均值不等式及其應用精品課件ppt

這是一份高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊2.2.4 均值不等式及其應用精品課件ppt，文件包含224《均值不等式及其應用》第1課時課件pptx、224《均值不等式及其應用》第1課時教案docx、情景演示基本不等式引入mp4等3份課件配套教學資源，其中PPT共26頁， 歡迎下載使用。
問題1　閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：
（1）本節(jié)將要研究哪類問題？
（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標是什么？
★資源名稱： 【情景演示】基本不等式引入★使用說明：本資源以歐拉智改羊圈的小故事為出發(fā)點，引出基本不等式的知識.注：此圖片為視頻截圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．
（1）假設一個矩形的長和寬分別為a和b，求與這個矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個邊長的大??；
（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．
均值不等式　如果a，b都是正數(shù)，那么　　 ，
當且僅當a＝b時，等號成立．
因為（a－b）2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，
所以a2＋b2＋2ab－4ab≥0，
即（a＋b）2≥4ab．
顯然，當且僅當（a－b）2＝0，即a＝b時，等號成立．
問題2　均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？
【想一想】你能推廣這個結(jié)論嗎？比如所有周長相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？
問題3　如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個幾何意義？
結(jié)論：均值不等式的幾何意義是：一個圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦．
例1?。?）已知x＞0，求y＝x＋ 的最小值，并說明x為何值時y取得最小值．
（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時x的值．
（3）求函數(shù)y＝x（1－x），x∈[ ，1）的最大值．
解得x＝1或x＝－1（舍）．
因此x＝1時，y取得最小值2．
例1?。?）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時x的值．
當且僅當1＋x＝3－x，即x＝1時，等號成立．
從而（1＋x）（3－x）≤4，即y≤4．
從而x＝1時，y取得最大值4．
例1　（3）求函數(shù)y＝x（1－x），x∈[ ，1）的最大值．
例2?。?）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？
（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？
因此，當矩形的長和寬都是10時，它的周長最短，最短周長為40．
當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立，
所以2（x＋y）≥40．
例2?。?）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？
依題意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．
因此，當矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81．
（3）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮用均值不等式，當用均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮利用第三章要學習的函數(shù)的單調(diào)性求解．
（2）把實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；
（4）正確地寫出答案．
（1）已知a為大于0的常數(shù)，x＞0，求y＝x＋ 的最小值，并求y取得最小值時相應的x的值；
回顧本節(jié)課，你有什么收獲？
（1）什么叫均值不等式？如何證明？
（2）均值不等式的幾何意義是什么？
（3）如何利用均值不等式求最值？
作業(yè)：教科書P76練習B 1，2，4．