1.了解算術(shù)平均值與幾何平均值的概念，了解均值不等式的探索及證明過程.2.掌握均值不等式及變形，會用均值不等式證明簡單的不等式.3.能夠運(yùn)用均值不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，會利用最值的方法解決不等式的恒成立問題.4.能夠運(yùn)用均值不等式解決生活中的應(yīng)用問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.
知識點(diǎn)一、均值不等式
名師點(diǎn)析1.重要不等式對于任意實(shí)數(shù)a,b,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.2.不等式a2+b2≥2ab的變形
這兩個(gè)變形體現(xiàn)了兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)和的平方三者之間的關(guān)系.當(dāng)不等式的一端為定值時(shí),另一端就可以取最值.
3.均值不等式與不等式a2+b2≥2ab的異同
4.均值不等式的變形
第一個(gè)變形體現(xiàn)了兩正數(shù)的積與兩正數(shù)和的平方之間的關(guān)系.當(dāng)不等式的一端為定值時(shí),另一端就可以取最值.
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,則ab(　　)A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但無最小值C.有最小值2,但無最大值 D.有最大值2,有最小值0解析:這里沒有限制a,b的正負(fù),則由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值為2,最小值為-2.答案:A
知識點(diǎn)二、重要結(jié)論已知x,y都為正數(shù),則
名師點(diǎn)析利用均值不等式求最值注意事項(xiàng)在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件:一正、二定、三相等,這三個(gè)條件缺一不可.
二定:積或和為定值.積為定值和有最小值;和為定值積有最大值.為了利用均值不等式,有時(shí)對給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形.
另外,在連續(xù)使用公式求最值時(shí),取等號的條件很嚴(yán)格,要求同時(shí)滿足任何一次等號成立的字母取值存在且一致.
應(yīng)用兩個(gè)重要結(jié)論時(shí),要注意哪些事項(xiàng)?提示:應(yīng)用時(shí)要注意三點(diǎn):(1)各項(xiàng)或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
已知x,y>0,且x+4y=1,則xy的最大值為　　　　.?
1.對均值不等式的理解例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是(　　)A.a2+b2>2ab
C.a=1 D.a=2分析利用均值不等式時(shí)需注意使用條件.
答案:(1)D　(2)C
反思感悟 在均值不等式應(yīng)用過程中要注意“一正、二定、三相等”.一正,a,b均為正數(shù);二定,不等式一邊為定值;三相等,不等式中的等號能取到,即a=b有解.
2.直接利用均值不等式求最值例2 (1)設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為(　　) A.80 B.77 C.81 D.82
分析根據(jù)已知條件,直接利用均值不等式求最值.
答案:(1)C　(2)8
反思感悟利用均值不等式求最值時(shí)要注意:(1)x,y一定要都是正數(shù).(2)求積xy最大值時(shí),應(yīng)看和x+y是否為定值;求和x+y最小值時(shí),應(yīng)看積xy是否為定值.(3)等號是否能夠成立.
3.間接利用均值不等式求最值
分析(1)變形為各項(xiàng)均大于0后利用均值不等式求最值.(2)(3)先對式子變形,湊定值后再利用均值不等式求最值.
反思感悟 通過拼湊法利用均值不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵,利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題:(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形.(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo).(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用均值不等式的前提.
A.最大值8B.最小值8C.最大值4D.最小值4答案:B
A.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144
3.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+3y-2=0上,則代數(shù)式3x+27y的最小值是　　　　　,此時(shí)x=　　　　,y=　　　　.?

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用

版本： 人教B版 (2019)

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