2022-2023學(xué)年陜西省安康市漢濱區(qū)五里高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)，其中為實數(shù)，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得答案.【詳解】，解得.故選：D.2．在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由共軛復(fù)數(shù)定義，及復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系可得【詳解】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，對應(yīng)得點為，位于第二項限.故選：B3．若，則（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D 4．如圖，在梯形中，，，設(shè)，，則（    ）  A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運算，即可求得答案.【詳解】由題意得E為中點，故，故選：C5．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則角的大小是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理求解.【詳解】由題知，，，在中，由余弦定理得，，所以，又，所以.故選：C.6．在中，已知是邊上的一點，若，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由已知得，因此，答案選B.【解析】向量的運算與性質(zhì)7．在中，角的對邊分別為，且，，，則（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理可構(gòu)造方程直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故選：B.8．已知的三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量，，若，且滿足，則的形狀是（    ）A．等腰直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】由，可得，可得，即．又滿足，可得，可得，解得即可得出．【詳解】解：∵，∴，∴，即，則，又滿足，，即，，∴，∵，∴，則，則的形狀是等邊三角形．故答案選：C． 二、多選題9．下列四種說法中正確的有（    ）A．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)中，實部為1，虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則的一個充要條件是D．（為虛數(shù)單位）【答案】CD【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念，可判斷A的正誤；根據(jù)實部虛部的概念，可判斷B的正誤；根據(jù)充分、必要條件的概念，可判斷C的正誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：復(fù)數(shù)的實部為2，故不是純虛數(shù)，故A錯誤；對于B：復(fù)數(shù)中，實部為1，虛部為-2，故B錯誤；對于C：設(shè)，則，若，則虛部為，此時，充分性成立，若，則，則，此時，必要性成立，所以的一個充要條件是，故C正確；對于D：因為，所以，故D正確.故選：CD10．下列四個命題中，真命題為（    ）A．若復(fù)數(shù)滿足，則 B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)滿足，則 D．若復(fù)數(shù)，滿足，則【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實部和虛部特點，利用特值法依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，若復(fù)數(shù)，設(shè)，其中，則，則選項A正確；對選項B，若設(shè)，其中，且，則，則選項B正確；對選項C，若，設(shè)，則，但，則選項C錯誤；對選項D，若復(fù)數(shù)，滿足，設(shè)，，則，而，則選項D錯誤.故選：AB.11．是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．，為單位向量 B．C． D．【答案】CD【分析】由題意可得，即可得，結(jié)合向量的加法運算可得，即可判斷A，C；根據(jù)題意可得的夾角為，判斷B；利用數(shù)量積的運算律可判斷D.【詳解】由題意可得，則，而是邊長為2的等邊三角形，即，故為單位向量；，即，故，即，則C正確；而，即，不是單位向量，A錯誤；由于的夾角即為的夾角，而是等邊三角形，故的夾角為，即的夾角為，不垂直，B錯誤；，即，D正確，故選：CD12．在中，角、、的對邊分別為、、，且滿足，的面積，，則、值分別為（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】AB【分析】利用正弦定理對已知等式邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求得角C，繼而利用面積推出的值，再利用余弦定理即可求得的值，即可求得答案.【詳解】由題意知，故，即，而，則，又，故；由，則，又，即，即，即，結(jié)合，解得或，故選：AB【點睛】方法點睛：此類同時含有邊和角的等式的化簡，一般利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，即可求得角或邊之間的關(guān)系，也可利用余弦定理邊角互化，進(jìn)行求解. 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)，那么             .【答案】【解析】利用共軛復(fù)數(shù)的概念得出復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的除法法則可得出復(fù)數(shù)的值.【詳解】，，故.故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，同時也涉及了共軛復(fù)數(shù)的概念，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．復(fù)數(shù)的模是             .【答案】3【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，即可得到復(fù)數(shù)的模.【詳解】復(fù)數(shù)是三角形式，故的模是3.故答案為：3.【點睛】本題考查由復(fù)數(shù)的三角形式，寫出模的大小，屬基礎(chǔ)題.15．在銳角三角形中，分別為角所對的邊.若，，，則    .【答案】【分析】應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，平方關(guān)系求，結(jié)合已知并應(yīng)用余弦定理求即可.【詳解】由，則，且，故，因為△為銳角三角形，所以，又，，所以，則.故答案為：16．在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團(tuán)的“”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長為1，點滿足，則      ．小雪花【答案】/0.5【分析】利用向量的摸公式及向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，由兩邊同時平方，得，即，解得.故答案為：. 四、解答題17．復(fù)數(shù)，為實數(shù)．(1)若為實數(shù)，求的值；(2)若為純虛數(shù)，求的值．【答案】(1)或2(2)1 【分析】（1）根據(jù)為實數(shù)，令復(fù)數(shù)虛部等于0，即可得答案；（2）根據(jù)為純虛數(shù)，可得實部為0，虛部不等于0，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知復(fù)數(shù)，若為實數(shù)，則或；（2）若為純虛數(shù)，則且，解得.18．已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，求的共軛復(fù)數(shù)【答案】（1）；（2）【解析】（1）化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，列出不等式組，即可求解；（2）由復(fù)數(shù)的除法運算法則，化簡得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】（1）由題意，復(fù)數(shù)，則    因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍.（2）由，所以.【點睛】與復(fù)數(shù)的幾何意義相關(guān)問題的一般步驟：（1）先根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；（2）把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點之間的關(guān)系，依據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，列出相應(yīng)的關(guān)系求解.19．已知(1)當(dāng)k為何值時，與共線？(2)若，且A，B，C三點共線，求m的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由向量共線的坐標(biāo)運算列出方程，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，由三點共線可得與共線，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為所以，，因為與共線，所以，解得.（2）因為所以，，因為A，B，C三點共線，所以與共線，即，解得.20．已知向量與的夾角為，，.（1）求的大小及在方向上的投影；（2）求向量與夾角的余弦值.【答案】（1），在方向上的投影為；（2）.【分析】（1）利用向量數(shù)量積的定義可得，代入可得解，利用向量投影的公式，可求在方向上的投影；（2）借助向量的夾角公式，即得解【詳解】（1）因為，所以，所以在方向上的投影為.（2），，設(shè)向量與的夾角為，則.21．在中,角所對的邊分別是,若,且.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若,求的面積.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)可得所以，由余弦定理推論可知，根據(jù)同角基本關(guān)系可知，所以代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.（Ⅱ）由（1）可得，在△中，由正弦定理即可求出b，c進(jìn)而求出面積.【詳解】（Ⅰ）可得所以，所以， 所以所以（Ⅱ）由（1）可得在△中，由正弦定理∴,∴.22．某市一棚戶區(qū)改造用地平面示意圖如圖所示.該區(qū)域是半徑為的圓面，圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶區(qū)建筑用地，測量可知.(1)求原棚戶區(qū)建筑用地中對角線的長度；(2)請計算原棚戶區(qū)建筑用地的面積.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)，在△和△中利用兩次余弦定理，整理計算即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求解得，再利用三角形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1），由余弦定理，得，，，.故原棚戶區(qū)建筑用地中對角線的長度為.（2）在△中，因為，故，又，故可得，則，故.即原棚戶區(qū)建筑用地的面積為. 

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