2022-2023學(xué)年陜西省安康市漢濱區(qū)五里高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由幾何體的三視圖，還原可得其原圖形是底面半徑為2，高為4的半圓柱.則該幾何體的表面積等于兩底半圓面的面積加上以2為底面半徑，以4為高的圓柱側(cè)面積的一半，加上側(cè)視圖的面積.所以該幾何體的表面積為.故選：D2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，直線方程可設(shè)為，代入即可求解.【詳解】與直線平行的直線方程可設(shè)為，代入，可得，得，故所求直線方程為：故選：C3．已知直線：，點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的面積為（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)求得直線方程，利用平行線距離公式，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【詳解】直線的方程為，所以，所以邊上的高為兩平行線之間的距離，記為，因?yàn)?/span>，，所以．故選：A．4．已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系（    ）.A．相切 B．相離 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較來(lái)確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線和圓相切.故選：A5．如圖，在正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（    ）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】連接，證明異面直線與所成的角是或其補(bǔ)角，由正方體性質(zhì)即可得結(jié)論．【詳解】如圖，連接， 由題意，，所以異面直線與所成的角是或其補(bǔ)角，由正方體性質(zhì)知是等邊三角形，，所以異面直線與所成的角是．故選：B．6．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心距離小于半徑列不等式，即可求范圍.【詳解】由題設(shè)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程的左側(cè)有，可得.故選：C7．過(guò)點(diǎn)A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（    ）A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0【答案】D【分析】考慮直線是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其斜率為，故直線方程為y＝2x；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)（1，2）可得，解得a＝－1，故直線方程為x-y+1＝0.綜上，可知所求直線方程為y＝2x或x-y+1＝0，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的截距式以及分類討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線方程的截距式解題時(shí)，一定要注意討論直線的截距是否為零.8．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．直四棱柱是正四棱柱B．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線C．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．以直角三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐【答案】B【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單幾何、多面體的幾何特征一一判斷即可.【詳解】對(duì)于，直四棱柱的底面不一定是正方形，故不正確；對(duì)于B，圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線，說(shuō)法正確，故B正確；對(duì)于C，將兩個(gè)相同的棱柱的底面重合得到的多面體不是棱臺(tái)，故C不正確；對(duì)于D，以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是兩個(gè)圓錐的組合體，故D不正確.故選：B9．如圖，在正方體中，為線段上任意一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則一定有（    ）A．與異面 B．與相交C．與平面平行 D．與平面相交【答案】C【分析】連接、、、，證明出四邊形為平行四邊形，并結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷各選項(xiàng)能否一定成立.【詳解】連接、，因?yàn)?/span>且，所以，四邊形為平行四邊形，當(dāng)為、的交點(diǎn)時(shí)，與相交，當(dāng)不為、的交點(diǎn)時(shí)，與異面，AB選項(xiàng)都不一定成立；連接、，因?yàn)?/span>且，故四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，同理可證平面，因?yàn)?/span>，、平面，平面平面，平面，平面，C選項(xiàng)一定滿足，D選項(xiàng)一定不滿足.故選：C.10．已知是兩條直線，是兩個(gè)平面．給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；⑤，則，則命題正確的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】在①中，或；在②中，由線面垂直的性質(zhì)定理得；在③中，由面面平行的判定定理得；在④中，n與m平行或異面；在⑤中，m與n相交、平行或異面．【詳解】解：由是兩條直線，是兩個(gè)平面，知：在①中，若，則或，故①錯(cuò)誤；在②中，若，則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故②正確；在③中，若，則由面面平行的判定定理得，故③正確；在④中，若，則與平行或異面，故④錯(cuò)誤；在⑤中，，則與相交、平行或異面，故⑤錯(cuò)誤．所以，正確的命題個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B．11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BM，由面面垂直的判定證明平面平面，再利用面面垂直的性質(zhì)即可推理計(jì)算作答.【詳解】在正方體中，平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作于E，連接BM，如圖，因平面平面，于是得平面，則BE長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面的距離，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，在中，，，即，解得，所以點(diǎn)B到平面的距離為.故選：D12．若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，直線恒過(guò)點(diǎn)，曲線表示出以為圓心，2為半徑的右半圓，求出直線與圓相切時(shí)的斜率和直線過(guò)點(diǎn)的斜率，從而可求出答案.【詳解】如圖，直線恒過(guò)點(diǎn)，曲線表示出以為圓心，2為半徑的右半圓，設(shè)直線與半圓相切于點(diǎn)，則，解得（舍去）或，所以，因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，故選：A 二、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則____________．【答案】【分析】先求解對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)的距離公式，求解即可.【詳解】由題意，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故.故答案為：14．一個(gè)圓錐母線長(zhǎng)為，側(cè)面積，則這個(gè)圓錐的外接球體積為______________．【答案】【分析】由圓錐的側(cè)面積得出圓錐的底面半徑，設(shè)出球的半徑，根據(jù)題意得出關(guān)系式求出球的半徑，進(jìn)而得出球的體積．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，因?yàn)閳A錐母線長(zhǎng)為，側(cè)面積，所以，解得，所以，圓錐的高，設(shè)球半徑為R，球心為，其過(guò)圓錐的軸截面如圖所示，由題意可得，，即，解得，所以，．故答案為：．15．若直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線的方程為_________．【答案】或【分析】由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線為，然后分別求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，再由截距相等列方程可求出的值，從而可求出直線的方程.【詳解】由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上截距相等，所以，化簡(jiǎn)得，解得或，所以直線為或，即或，故答案為：或16．若過(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【分析】先將圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，通過(guò)半徑的平方大于0可得到，再通過(guò)點(diǎn)能作兩條圓的切線，可得到點(diǎn)在圓外，能得到或，即可得到答案【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑的平方為，即，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，所以點(diǎn)在圓外，故點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，即，解得或，綜上所述，的取值范圍是，故答案為：． 三、解答題17．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求的面積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接，令，連接，則，由此能證明平面.（2）由已知分別求出，，，由此能求出的面積.【詳解】（1）證明：連接，令，連接.∵正方體中，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面.（2）解：在正方形中，，，∴，在直角中，，，∴，同理可得，且四邊形為正方形，則為的中點(diǎn)，所以，，在中，，∴.18．已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且與軸的正半軸相切.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：與圓交于，，求.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由題意，設(shè)圓心且半徑，由圓所過(guò)的點(diǎn)列方程求參數(shù)，結(jié)合與軸的正半軸相切確定圓的方程；（2）利用弦心距、半徑與弦長(zhǎng)的關(guān)系求.【詳解】（1）若圓心，則圓的半徑，即，又圓經(jīng)過(guò)，，則，可得，所以或，又圓與軸的正半軸相切，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知：到直線的距離為，圓的半徑為，所以.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OP=OC，PA⊥PD.求證：(1)直線平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線定理，可得答案；（2）利用平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案.【詳解】（1）如圖，連接OE，因?yàn)?/span>O為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O為AC的中點(diǎn).又E為PC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>平面BDE，平面BDE，所以直線平面BDE.（2）因?yàn)?/span>，PA⊥PD，所以OE⊥PD.因?yàn)?/span>OP=OC，E為PC的中點(diǎn)，所以OE⊥PC.又平面PCD，平面PCD，，所以OE⊥平面PCD.因?yàn)?/span>平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.20．在中，邊，所在直線的方程分別為，，點(diǎn)在邊上.(1)求直線的方程；(2)若為邊上的高，求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知兩直線方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率公式得直線斜率，從而得直線方程；（2）由垂直得直線方程后可得直線方程．【詳解】（1）由，得，即，，直線方程為，即；（2）由題意，直線方程為，即．21．已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且.(1)求直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且在軸上截距是在軸上的截距的倍，求直線的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）首先根據(jù)題意得到直線，再聯(lián)立方程組求解即可.（2）分類討論直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)和當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以，因?yàn)?/span>，所以，又直線在軸上的截距為，所以過(guò)，即直線，即：直線.聯(lián)立，即交點(diǎn)為（2）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，因?yàn)橹本€過(guò)，所以，即，直線.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線在軸截距為.直線，因?yàn)橹本€過(guò)，所以，解得，綜上或.22．已知中，點(diǎn)，邊所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為.(1)求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)以為圓心作一個(gè)圓，使得，，三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)在圓外，求這個(gè)圓的方程.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由題意，設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，代入對(duì)應(yīng)直線方程，解得答案；（2）由題意，分別求點(diǎn)到的距離，比較大小，可得答案.【詳解】（1）設(shè)，，的中點(diǎn)，由題意可得直線的直線方程：，則，解得，，解得，故，.（2），，，由，則圓方程為. 

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