2022-2023學(xué)年重慶市巫溪縣尖山中學(xué)校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法法則計算可得；【詳解】解：因為，所以；故選：A2．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得，進(jìn)而利用正弦定理求得．【詳解】由題意可知，，由正弦定理可知，所以．故選：．3．如圖，已知水平放置的按斜二測畫法得到的直觀圖為，若，則的面積為（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由直觀圖與原圖的關(guān)系，把還原成，然后再求其面積【詳解】解：由題意可知，為直角三角形，且，,所以的面積為，故選：C4．下列命題為真命題的是（    ）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺；C．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；D．棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.【答案】D【分析】根據(jù)棱柱，棱錐，棱臺的定義可判斷A，B，C錯誤，D正確.【詳解】A選項，長方體的側(cè)面并不全等.故A選項錯誤；B選項，用一個平行平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺，故B選項錯誤.C選項，以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，故C選項錯誤；D選項，棱臺可看作用一個平行平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分，所以棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.故D選項正確.故選：D.5．已知角終邊上一點的坐標(biāo)為，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由角終邊上一點的坐標(biāo)可知，，結(jié)合二倍角公式可得，進(jìn)而求解即可.【詳解】由題，，，因為，所以，故選：D6．在平行四邊形中，設(shè)為線段上靠近的三等分點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，利用平面向量加法的三角形法則可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】如下圖所示：，，則.故選：B.7．已知圓錐的表面積為3π，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓錐的底面半徑和圓錐的母線長與高，再計算圓錐的體積．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，由，得，又，所以，解得；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：C．8．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知利用切化弦及和差公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦定理得到，再由余弦定理求得，代入三角形的面積公式，即可求解.【詳解】由，可得，即，所以，即，又由，所以，即，解得或（舍去），所以，又因為C為三角形內(nèi)角，故，所以的面積為.故選：B. 二、多選題9．下列四種說法中正確的有（    ）A．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)中，實部為1，虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則的一個充要條件是D．（為虛數(shù)單位）【答案】CD【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念，可判斷A的正誤；根據(jù)實部虛部的概念，可判斷B的正誤；根據(jù)充分、必要條件的概念，可判斷C的正誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：復(fù)數(shù)的實部為2，故不是純虛數(shù)，故A錯誤；對于B：復(fù)數(shù)中，實部為1，虛部為-2，故B錯誤；對于C：設(shè)，則，若，則虛部為，此時，充分性成立，若，則，則，此時，必要性成立，所以的一個充要條件是，故C正確；對于D：因為，所以，故D正確.故選：CD10．已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．若，則【答案】CD【分析】由共線向量的坐標(biāo)表示，可判定A；根據(jù)向量的幾何意義，求得向量在向量上的投影向量為，可判定B；由向量的夾角公式，可判定C；由向量垂直的坐標(biāo)表示，可判定D.【詳解】由題意，向量，是與同向的單位向量，可得，由，所以與不共線，所以A不正確；由，可得，所以向量在向量上的投影向量為，所以B不正確；由，可得，設(shè)與的夾角余弦值為，可得，所以C正確；由，可得，所以D正確.故選：CD.11．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，則下列說法正確的是（ ）A．若，則B．若，，，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若，，則面積的最大值為【答案】ABD【分析】對于A選項，由，得到，再利用正弦定理判斷；對于B選項，由判斷；對于C選項，由為鈍角三角形且為鈍角，利用余弦定理判斷； 對于D選項，利用余弦定理與基本不等式集合三角形面積公式求解判斷.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，所以，，A選項正確；對于B選項，，則，如圖：所以有兩解，B選項正確；對于C選項，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得，C選項錯誤；對于D選項，由余弦定理與基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，D選項正確．故選：ABD12．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（    ）A．函數(shù)的最小正周期為B．是函數(shù)圖象的一個對稱中心C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到一個偶函數(shù)D．函數(shù)在上有7個零點【答案】ABC【分析】首先利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】，即，故最小正周期，故A錯誤；又，，即，所以不是函數(shù)圖象的的一個對稱中心，故B錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，顯然該函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；令，即，即，所以或，，所以或，，因為，所以函數(shù)在上有個零點分別為，，，，，，，故D正確；故選：ABC 三、填空題13．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則          .【答案】【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再求.【詳解】因為，所以.故答案為：14．球被平面所截得的截面圓的面積為，且球心到平面的距離為2，則球的半徑為        .【答案】【分析】先求出截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑.【詳解】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，球心到平面的距離為，則，因為截面圓的面積為，所以，故，又，所以，故.故答案為:.15．如圖所示，A，B，N在同一水平面上，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角，C點的仰角以及；從點測得.已知山高，則山高             .【答案】【分析】利用銳角三角函數(shù)定義，結(jié)合正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：在直角三角形中，，在中，因為，，所以，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故答案為：16．已知正的邊長為，D是邊上的動點(含端點)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】以B為原點，所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，用向量法求平面向量的數(shù)量積，進(jìn)而求出取值范圍【詳解】以B為原點，所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,當(dāng)時最小值為4，當(dāng)或時，最大值為12的取值范圍是故答案為： 四、解答題17．，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點.(1)點位于第二象限，求的取值范圍；(2)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可得，解不等式組可求出的取值范圍；（2）由題意可得，從而可求出的值【詳解】（1）因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，所以，即，解得，即的取值范圍為（2）因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得，所以當(dāng)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，，且．(1)求與間的關(guān)系；(2)若，求與的值及四邊形的面積．【答案】(1)(2)或四邊形的面積為16 【分析】（1）由已知，利用平面向量坐標(biāo)運算分別表示出，的坐標(biāo)，利用平行關(guān)系即可得到與間的關(guān)系.（2）由（1）得到與間的關(guān)系以及利用數(shù)量積為0，通過聯(lián)立方程分別解出，并確定，坐標(biāo).最后，由四邊形對角線垂直，可直接由對角線長度乘積的一半求出四邊形面積.【詳解】（1）由題意得，，因為，所以，即……①（2）由題意得，，因為，所以，即，整理得……②聯(lián)立①②,解得或.記四邊形面積為當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則綜上或四邊形的面積為1619．如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成．已知球的直徑是，圓柱筒長．(1)這種“浮球”的體積是多少（結(jié)果精確到？(2)要在這樣10000個“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠多少？【答案】(1)169.6（cm3）(2)（克）. 【分析】（1）分別求出兩個半球的體積，和圓柱體的體積，即可求出“浮球”的體積；（2）先求出一個“浮球”的表面積，再求出10000個的面積，即可求解.【詳解】（1）因為該“浮球”的圓柱筒直徑d=6cm,所以半球的直徑也是6cm,可得半徑r=3cm,所以兩個半球的體積之和為（cm3）.圓柱的體積（cm3）.所以該“浮球”的體積是（cm3）.（2）根據(jù)題意,上下兩個半球的表面積是（cm2）.而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為（cm2）.1個“浮球”的表面積為（cm2）即為（m2）.所以要在這樣10000個“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠（克）.20．已知的角A，B，C對邊分別為a，b，c，A為銳角，.(1)求；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)4 【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求出的最值，最后根據(jù)計算可得；【詳解】（1）解：因為，由正弦定理可得，，所以，所以，因為，所以，所以.（2）解：由余弦定理，，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，解得當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故得最大值為4.21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是的中點．（1）求證：；（2）若M是線段上一動點，則線段上是否存在點N，使平面？說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）取中點N，連接，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可證明．【詳解】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，∴，（2）線段存在點N，使得平面，理由如下：取中點N，連接，，∵E，N分別為，的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，取AP中點F,連結(jié)EF,BF，，且，因為，，所以，且，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以.又面PAB，面PAB，所以平面；又，∴平面平面，∵M是上的動點，平面，∴平面PAB，∴線段存在點N，使得MN∥平面．22．在△ABC中，．(1)求B的值；(2)給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長．【答案】(1)(2)正確條件為①③，（i），（ii） 【分析】（1）利用和角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求B的值；（2）根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，（i）應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求各邊長，最后由正弦定理求；（ii）由角平分線性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)正弦定理求BD的長．【詳解】（1）由題設(shè)，而，所以，故；（2）若①②正確，則，得或，所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，若②③正確，則，可得，即②為錯誤條件，綜上，正確條件為①③，（i）由，則，即，又，可得，所以，可得，則，故；（ii）因為且，得，由平分得，在中，，在中，由，得． 

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