2022-2023學年陜西省安康市漢濱區(qū)七校高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學（理）試題 一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定復數(shù)進行除法運算即可得解.【詳解】.故選：A2．用分析法證明：欲使①，只需②，這里①是②的（ ）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分析法本質是找出結論成立的充分條件，由此分析即可得出答案.【詳解】根據(jù)分析法可知，②能推出①，但①不一定能推出②，所以①是②的必要條件.故選:B3．如圖,在平行六面體(底面為平行四邊形的四棱柱)中,E為BC延長線上一點,,則=A． B．C． D．【答案】B【分析】如圖所示,取的中點,連接,，再求出，即得解.【詳解】如圖所示,取的中點,連接,則且,四邊形是平行四邊形,且，又，，故答案為B【點睛】本題主要考查平行六面體的性質、空間向量的運算法則，意在考查空間想象能力以及利用所學知識解決問題的能力.4．“猜想”又稱“角谷猜想”“克拉茨猜想”“冰雹猜想”，它是指對于任意一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3加1，不斷重復這樣的運算，經(jīng)過有限步后，最終總能夠得到1.已知正整數(shù)數(shù)列滿足上述變換規(guī)則，即：.若，則（    ）A．1 B．2C．3 D．16【答案】D【解析】利用正整數(shù)經(jīng)過4次運算后得到1，按照變換規(guī)則，逆向逐項分析，即可得到的所有可能的取值.【詳解】根據(jù)題意，正整數(shù)經(jīng)過4次運算后得到1，所以正整數(shù)經(jīng)過3次運算后得到2，經(jīng)過2次運算后得到4，經(jīng)過1次運算后得到8或1(不符合題意，舍去)， 可得正整數(shù)的值為16，故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了歸納推理的應用，按照變換規(guī)則，進行逆向分析是解題關鍵，考查了學生的推理能力，是中檔題.5．動點到點的距離比它到直線的距離大1，則動點的軌跡是（    ）.A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線【答案】D【解析】根據(jù)拋物線的定義即可判斷.【詳解】解：∵動點到點的距離比它到直線的距離大1，∴動點到點的距離等于它到直線的距離，∴由拋物線的定義知：該動點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線.故選：D.6．設雙曲線：的離心率為，則的漸近線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線：的離心率為，即，所以，所以的漸近線方程為.故選：B.7．如圖，陰影部分的面積是A． B． C． D．【答案】C【分析】運用定積分的性質可以求出陰影部分的面積.【詳解】設陰影部分的面積為，則.選C【點睛】考查了定積分在幾何學上的應用，考查了數(shù)學運算能力.8．函數(shù)的圖象大致是A． B．C． D．【答案】D【解析】求導得到，得到函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷圖象得到答案.【詳解】，，取得到.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.對比圖象知：滿足條件.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)導數(shù)求單調(diào)區(qū)間，函數(shù)圖像的識別，意在考查學生對于函數(shù)知識的綜合應用.9．王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個學習小組的釘釘群，群的成員由學生、家長、老師共同組成．已知該釘釘群中男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)，女學生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)．則該釘釘群人數(shù)的最小值為（    ）A．18 B．20 C．22 D．28【答案】C【分析】設教師、家長、女生、男生人數(shù)分別為，根據(jù)給定的信息，建立不等關系，即可求解作答.【詳解】依題意，設教師、家長、女生、男生人數(shù)分別為，且，于是，則，又，解得，因此，此時，所以當時，，即該釘釘群人數(shù)的最小值為22.故選：C10．已知，直線與曲線相切，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為直線與曲線相切，則可設切點為，求出在切點處的切線方程等同于直線，即切線方程過點，代入切線方程求出，從而求出值.【詳解】因為直線與曲線相切，所以設切點為，則，因為，所以 ，則切線方程為：，因為過點，代入可得：.令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以切點為，則.故選：B.11．如圖所示，橢圓中心在坐標原點，為左焦點，當時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率等于（    ）A． B． C．－1 D．＋1【答案】A【分析】根據(jù)可得出，可得出、、的齊次等式，進而可求得“黃金雙曲線”的離心率的值.【詳解】根據(jù)“黃金橢圓”的性質是，可以得到“黃金雙曲線”也滿足這個性質，設“黃金雙曲線”方程為，則、、．在“黃金雙曲線”中，，．又，，則，在等式的兩邊同時除以可得，，解得.故選：A.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.12．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得出，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，即，得，令，其中，，令，得，列表如下：極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，函數(shù)的最小值為，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)不等式能成立問題，利用參變量分離法轉化為函數(shù)的最值是一種常見的解法，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題. 二、填空題13．命題“”的否定是“ ”．【答案】，【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“”的否定是，14．為迎接2022年北京冬奧會，短道速滑隊組織甲、乙、丙等6名隊員參加選拔賽，已知比賽結果沒有并列名次記“甲得第一名”為，“乙得第一名”為，“丙得第一名”為，若是真命題，是真命題，則得第一名的是              ．【答案】乙【解析】直接利用復合命題的真假判斷推理得到答案.【詳解】由是真命題，，可知p、q中至少有一個是真命題，因為比賽結果沒有并列名次，說明第一名要么是甲，要么是乙；且r是假命題；又是真命題，則是真命題，即p是假命題.故得第一名的是乙.故答案為：乙.【點睛】復合命題真假的判定:(1) 判斷簡單命題的真假;(2) 根據(jù)真值表判斷復合命題的真假.15．已知空間向量，，兩兩夾角均為，其模均為1，則            ．【答案】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義可求得，進而求得的值，從而求解.【詳解】因為，且兩兩夾角為，所以，所以，所以.故答案為：.16．設，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且滿足，則的面積是      【答案】【分析】由雙曲線定義和勾股定理可得，可得.【詳解】  如圖：由得，，，，由題意：，，，所以，故答案為： 三、解答題17．已知復數(shù)，（是虛數(shù)單位）.（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）設是z的共軛復數(shù)，復數(shù)在復平面上對應的點在第一象限，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的運算，化簡復數(shù)，根據(jù)其為純虛數(shù)，即可列方程求得參數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的化簡結果，以及共軛復數(shù)的定義，求得，根據(jù)對應點所在象限，列出不等式，解不等式即可求得.【詳解】（1），∵z是純虛數(shù)，∴，且，解得.（2）∵是z的共軛復數(shù)，所以，∴，復數(shù)在復平面上對應的點在第一象限，∴，解得，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查復數(shù)的運算，涉及共軛復數(shù)的求解，由復數(shù)對應點所在象限，求參數(shù)范圍的問題，屬綜合基礎題.18．計算：，；所以；又計算：，，；所以，．（1）分析以上結論，試寫出一個一般性的命題；（2）判斷該命題的真假．若為真，請用分析法給出證明；若為假，請說明理由．【答案】（1）；（2）真命題【分析】（1）根據(jù)所給結論，可寫出一個一般性的命題．（2）利用綜合法證明命題是一個真命題．【詳解】（1）一般性的命題：是正整數(shù)，則（2）命題是真命題．因為因為 所以.【點睛】本題考查簡易邏輯，推理和證明，屬于一般題．19．已知數(shù)列中，（1）求，，的值；（2）猜測的表達式，并用數(shù)學歸納法證明.【答案】（1），，；（2）；證明見解析【分析】（1）由數(shù)列的遞推公式及的值即可求得，，的值；（2）先猜測，再利用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】解：（1）因為，，所以，同理，，即，，；（2）猜想，證明如下：①當時，，顯然滿足題意， ②設且)時，，則，即當時，等式也成立，綜上可得.【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式及數(shù)學歸納法，重點考查了運算能力，屬中檔題.20．已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）證明，得到平面，得到證明.（2）以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，計算平面的法向量為，平面的一個法向量，利用夾角公式得到答案.【詳解】(1)在等腰梯形中，，，，所以，即，又因為，且，所以平面，又因為平面，因此平面平面.(2)連接，由(1)知，平面，所以，所以，所以，即，又，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，因為，，所以即令，則，，所以平面的一個法向量，平面，平面的一個法向量，所以，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.21．已知橢圓：()的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線經(jīng)過的左焦點且與相交于、兩點，以線段為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點，求的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根據(jù)離心率求出b,即可得到方程；（2）直線的方程為，點、，利用向量求解即可.【詳解】（1）由題意得，，，解得，∴橢圓方程為；（2）由題目可知不是直線，且、，設直線的方程為，點、，代入橢圓方程，整理得：，恒成立，∴①，②，由，得：③，④，∵，，由題意知，∴，將①②③④代入上式并整理得，∴，因此，直線的方程為或．22．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，是否恒成立? 并說明理由.【答案】（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）恒成立，理由見解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域為..分和兩種情況討論的單調(diào)性；（2）令，求出，判斷的單調(diào)性，求的最小值，看最小值是否大于0.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為..當時，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.當時，，令，得；令，得.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）令.，在上單調(diào)遞增，，即對任意恒成立.當時，恒成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立問題，屬于中檔題. 

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