2022-2023學(xué)年重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量，向量，若，則等于（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示列式求解.【詳解】∵，，，∴，解得.故選：B.2．已知函數(shù)的圖象為C,為了得到函數(shù)的圖象，只要把C上所有的點(diǎn)（    ）.A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的平移得到答案.【詳解】把的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的平移，屬于簡(jiǎn)單題.3．已知銳角，滿足，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，利用兩角差的余弦公式求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，是銳角，且，，所以，，所以，，，故選：A4．已知角終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（    ）A． B． C．– D．–【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】由題意得，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，所以.故選：A．5．若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，∠，，則一定是A．底邊和腰不相等的等腰三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知，由于，結(jié)合余弦定理得出，進(jìn)而得出，即可得出的形狀.【詳解】解：由題可知，∠，，則在中，，根據(jù)余弦定理得：，則，即，即：，所以，則，所以一定是等邊三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷三角形的形狀和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】把作為基底，利用向量的加減法法則和已知條件，把用基底表示即可【詳解】解：因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，所以，所以.故選:C.7．如圖所示，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線前往處救援，則等于（  ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理求出的正弦值，然后根據(jù)展開即可求解.【詳解】解：如圖所示，在中，，由余弦定理得，解得，又由正弦定理得，由知為銳角，所以，所以.故選：B．8．設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)周期求出，結(jié)合的范圍及，得到，把看做一個(gè)整體，研究在的零點(diǎn)，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，最終列出關(guān)于的不等式組，求得的取值范圍【詳解】因?yàn)?/span>，所以.由，得.當(dāng)時(shí)，，又，則.因?yàn)?/span>在上的零點(diǎn)為，，，，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以或解得.故選：D. 二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（    ）A．是第二象限角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上的角的集合為D．若角為銳角，則角為鈍角【答案】AC【分析】根據(jù)終邊相同角的表示，可以判斷A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)象限角的表示可以判斷B錯(cuò)誤；舉特例可以判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>，且為第二象限角，所以是第二象限角，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：第三象限角的集合為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：終邊在軸上的角的集合為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若角為銳角，即，則，所以角不一定為鈍角，例如，則為直角，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10．已知，，是的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（    ）A． B．C．若，則 D．若，則是等腰三角形【答案】AC【分析】由結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷選項(xiàng)A，B，由三角形中大角對(duì)大邊結(jié)合正弦定理可判斷選項(xiàng)C，在三角形中若,則若或可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，則,故A正確.,故B不正確.由三角形中大角對(duì)大邊，，則，根據(jù)正弦定理有,故C正確.在三角形中若,則若或.所以或,則是等腰三角形或直角三角形,故D不正確.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的三角變換，考查誘導(dǎo)公式，正弦定理，屬于中檔題.11．已知函數(shù)，則（    ）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【分析】對(duì)于A：先化簡(jiǎn)，再借助于為偶函數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)于B：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則直接判斷；對(duì)于C、D：利用代入法進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A：.因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù).故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?/span>在上遞增，在上單減，所以在區(qū)間不單調(diào).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?/span>，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?/span>，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.故D正確；故選：ACD.12．給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（    ）A．等邊中，向量與向量的夾角為B．，，則向量在向量上的投影向量為C．非零向量滿足，則與的夾角為D．若，，，為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABC【分析】由向量夾角定義知A正確；由投影向量定義，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算知B正確；根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何意義可確定C正確；由，根據(jù)為銳角可構(gòu)造不等式組求得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，，為等邊三角形，，A正確；對(duì)于B，，，在上的投影向量為，B正確；對(duì)于C，，以構(gòu)成如圖所示的等邊三角形，其中，，，以為鄰邊作平行四邊形，則，四邊形為菱形，，又，平分，，C正確；對(duì)于D，，，，為銳角，，解得：且，D錯(cuò)誤.故選：ABC. 三、填空題13．計(jì)算：          .【答案】【分析】直接利用二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為：.14．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長(zhǎng)為           .【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合扇形的弧長(zhǎng)和面積公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由題意可得，解得，所以扇形的周長(zhǎng)為.故答案為：.15．在中，，，是的平分線，交于點(diǎn)，且，則的面積為       .【答案】【分析】在中用正弦定理求得，從而有，是直角三角形，面積易求．【詳解】在中，，∴，∴（三角形內(nèi)角的一半），∴ ．，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積，考查正弦定理．屬于中檔題．16．已知△ABC中，A= 60 °，AB=6，AC=4，O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足OA= OB = OC．設(shè)=λ+μ，則λ+ μ的值為        .【答案】【分析】由題意可知，為外接圓的圓心，在圓中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，已知等式兩邊同乘以得：，同理得：，從而有：.【詳解】由題意可知，為外接圓的圓心，設(shè)半徑為，在圓中，過(guò)O作，，兩邊乘，，，得，同理兩邊乘，,，得，解得，，所以. 故答案為：. 四、解答題17．已知，且在第三象限，(1)和；(2).【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式即可求得答案；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)正余弦齊次式求值，可得答案.【詳解】（1）已知，且在第三象限，所以，.（2）18．已知，與的夾角是.(1)求的值及的值；(2)當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由定義求出數(shù)量積，再利用模長(zhǎng)公式及向量數(shù)量積的運(yùn)算律即得；（2）由于，可得，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解．【詳解】（1）∵，與的夾角是，∴，；（2）由題意，，即，解得，即時(shí)，.19．已知函數(shù)的部分圖象如圖.(1)求函數(shù)的解析式;(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求值域.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)圖象由函數(shù)最值求得，由函數(shù)周期求得，由特殊點(diǎn)求得，即可求得解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得的解析式，再利用整體法求函數(shù)值域即可.【詳解】（1）由圖象可知，的最大值為，最小值為，又，故，                          周期，，，則，從而，代入點(diǎn)，得，則，，即，，又，則..（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，故可得；再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象故可得；，，，.20．已知外接圓的半徑為，其內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為．若．（1）求角的大?。?/span>（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理可知：，將等式轉(zhuǎn)化為，由余弦定理可求出角；（2）由條件利用正弦定理可求出，又角是鈍角，可知角為銳角，從而求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和的關(guān)系，=，從而求出的值.【詳解】由知：，由，故為銳角，.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，屬于中檔題.方法點(diǎn)睛：（1）用邊化角或角化邊將題干化簡(jiǎn)成統(tǒng)一形式，再用余弦定理或兩角和與差的公式求角；（2）若題目中出現(xiàn)兩邊及其一邊的對(duì)角，常用正弦定理求另一角，然后求其他量；（3）若出現(xiàn)兩邊以及第三邊的對(duì)角，常用余弦定理求第三邊，然后求其他量.21．已知在中，角的對(duì)邊分別是，，，且．（1）求角；（2）若邊長(zhǎng)，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，得，再利用余弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式可求出角；（2）由余弦定理得，再利用基本不等式可求出，從而可求出周長(zhǎng)的取值范圍【詳解】解：（1）∵ ，由正弦定理得，即，，在中， ，，，；（2）由余弦定理可得：，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又得，周長(zhǎng)范圍22．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，記方程在上的根從小到大依次為，試確定的值，并求的值.【答案】(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間為(3)， 【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的表達(dá)式，結(jié)合其周期以及奇偶性求得參數(shù)，即得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合，即可求得答案；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖像的平移以及伸縮變換可得的表達(dá)式，將化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，根據(jù)其對(duì)稱性即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，因?yàn)?/span>圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，，又由為奇函數(shù)，可得，，此時(shí)為奇函數(shù)，符合題意，函數(shù)；（2）令，解得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為：，又，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則，故，即，，可得，設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象：  可得方程在區(qū)間有5個(gè)解，即，其中，即，，解得，所以. 

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