?陜西省安康市漢濱區(qū)七校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試卷
學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題
1、已知i是虛數(shù)單位，則等于( )
A. B. C. D.
2、用分析法證明：要使①，只需②，這里①是②的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3、如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則( )

A. B. C. D.
4、“猜想”又稱“角谷猜想”、“克拉茨猜想”、“冰雹猜想”，它是指對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3加1，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，最終總能夠得到1.已知正整數(shù)數(shù)列滿足上述變換規(guī)則，即：.若，則( )
A.1 B.2 C.3 D.16
5、動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線 C.雙曲線的一支 D.拋物線
6、設(shè)雙曲線：的離心率為，則C的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
7、如圖，陰影部分的面積是( )

A. B. C. D.
8、函數(shù)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
9、王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個(gè)學(xué)習(xí)小組的釘釘群，群的成員由學(xué)生、家長(zhǎng)、老師共同組成.已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長(zhǎng)人數(shù)，家長(zhǎng)人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該釘釘群人數(shù)的最小值為( )
A.-18 B.20 C.22 D.28
10、已知，直線與曲線相切，則( )
A. B.-1 C.-2 D.-e
11、如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率( )

A. B. C. D.
12、已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、填空題
13、命題“，”的否定是“________”.
14、北京冬奧會(huì)短道速滑隊(duì)組織甲、乙、丙等6名隊(duì)員參加選拔賽，已知比賽結(jié)果沒(méi)有并列名次，記“甲得第一名”為p，“乙得第一名”為q，“丙得第一名”為r，若是真命題，是真命題，則得第一名的是________.
15、已知空間向量，，兩兩夾角均為，其模均為1，則________.
16、設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，則的面積是________.
三、解答題
17、已知復(fù)數(shù)（，i是虛數(shù)單位）.
（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；
（2）設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍.
18、計(jì)算：，；所以；又計(jì)算：，，；所以，.
（1）分析以上結(jié)論，試寫出一個(gè)一般性的命題；
（2）判斷該命題的真假，若為真，請(qǐng)用分析法給出證明；若為假，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19、已知數(shù)列中，.
（1）求，，的值；
（2）猜測(cè)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
20、已知四棱錐的底面ABCD是等腰梯形，，，，，.

（1）證明：平面平面ABCD；
（2）求二面角的余弦值.
21、已知橢圓C：的離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)C的左焦點(diǎn)且與C相交于B、D兩點(diǎn)，以線段BD為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)，求l的方程.
22、已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，是否恒成立，并說(shuō)明理由.
參考答案
1、答案：A
解析：已知i是虛數(shù)單位，則
故選A
2、答案：B
解析：分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論成立的充分條件成立，即，所以①是②的必要條件，故選B.
3、答案：B
解析：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接，

則且，
四邊形是平行四邊形
且，，
又，
，故選B.
4、答案：D
解析：根據(jù)題意，止整數(shù)經(jīng)過(guò)4次運(yùn)算后得到1，
所以正整數(shù)經(jīng)過(guò)3次運(yùn)算后得到2，
經(jīng)過(guò)2次運(yùn)算后得到4，
經(jīng)過(guò)1次運(yùn)算后得到8或1(不符合題意，舍去)，
可得正整數(shù)的值為16，
故選:D
5、答案：D
解析：依題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線的右側(cè)，設(shè)P到直線的距離為d，則，所以動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，其軌跡為拋物線.
6、答案：C
解析：由題意，雙曲線的離心率為，即，所以，所以C的漸近線方程為.故選:C.
7、答案：C
解析：試題分析:直線與拋物線，解得交點(diǎn)為和，拋物線與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)，設(shè)陰影部分的面積為
，故選C.
8、答案：A
解析：令，得，解得.因此選項(xiàng)D，C中的圖象不正確;，令，得，解得，因此，是函數(shù)的唯一的極大值點(diǎn).因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，A正確.故選A.
9、答案：C
解析：設(shè)教師人數(shù)為x，家長(zhǎng)人數(shù)為y，女學(xué)生人數(shù)為z，男學(xué)生人數(shù)為t，則，，，則，又教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)總?cè)藬?shù)最少，為22.
10、答案：B
解析：因?yàn)橹本€與曲線相切，
所以設(shè)切點(diǎn)為，則，
因?yàn)椋裕?br /> 則切線方程為，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，代入可得.
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，且，所以切點(diǎn)為，
則，故選B.
11、答案：B
解析：如圖所示，設(shè)雙曲線方程為，

則，，，所以，.又因?yàn)椋?，所以，所以，所以?舍去).
12、答案：C
解析：由在上有解，可得，在上有解，
令，則，
則，
則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取德最小值.
故.
故選:C.
13、答案：，
解析：全稱命題“，”的否定是“，”，所以命題“，”的否定是“，”
14、答案：乙
解析：因?yàn)榈谝幻挥幸粋€(gè)，所以由是真命題，可得命題p與命題q有且只有一個(gè)為真命題，則r必為假命題，又因?yàn)槭钦婷}，則為真命題，故p為假命題，故q為真命題.故答案為:乙.
15、答案：
解析：
16、答案：4
解析：如圖:

由得，，
，，
由題意:，
，
所以，
故答案為:4
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）.
因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以且，解得.
（2）因?yàn)槭莦的共軛復(fù)數(shù)，所以.
所以.
因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
所以
解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
18、答案：（1）答案見解析
（2）答案見解析
解析：（1）一般性的命題：n是正整數(shù)，則
（2）命題是真命題.
要證：，
只需證明：
只需證明：
整理得：
只需證明：
只需證明：，而此式顯然成立，所以原不等式成立.
19、答案：（1），，
（2）
解析：（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
同理，，
即，，；
（2）猜想，
證明如下：
①當(dāng)時(shí)，，顯然滿足題意，
②設(shè)，（且）時(shí)，，
則，
即當(dāng)時(shí)，等式也成立，
綜上可得.
20、答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）在等腰梯形ABCD中，，
，
，所以，即，
又因?yàn)?，且，平面PBD，平面PBD.所以平面PBD，
又因?yàn)槠矫鍭BCD，因此平面平面ABCD.
（2）如圖，連接PO，由（1）知，平面PBD，所以，
所以，
所以，即，
又，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，
設(shè)平面PAD的法向量為，因?yàn)椋?br /> 所以即
令，則，，所以平面PAD的一個(gè)法向量，
平面PBD，平面PBD的一個(gè)法向量，
所以，
所以二面角的余弦值為.
21、答案：（1）
（2）或
解析：（1）由題意得，，，解得，
橢圓C的方程為；
（2）由題目可知l不是直線，且、，
設(shè)直線l的方程為，點(diǎn)、，
代入橢圓方程，整理得：，
①，②，
由，得：③，④，
，，由題意知，
，將①②③④代入上式并整理得，
，
因此，直線l的方程為或.
22、答案：（1）答案見解析
（2）答案見解析
解析：（1）的定義域?yàn)椋?br /> 由題意得，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）設(shè)，
則.
當(dāng)時(shí)，，
在上是增函數(shù).
.
即，
，
故當(dāng)時(shí)，恒成立.


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