2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市千陽縣中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡，從而可求對應(yīng)的點的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點在第一象限，故選：A.2．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.【詳解】故選 ：C 3．在中，點D在邊AB上，．記，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B． 4．中角，，所對邊的長分別為，，.向量，.若，則角的大小為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量共線可得，然后由余弦定理可得答案.【詳解】因為向量，，，所以，即，由余弦定理可得，因為，所以，故選：B5．正方體的棱長為1，則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正方體的特征得出內(nèi)切球和外接球的半徑，進而由表面積公式求解.【詳解】由題意可知，它的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為.則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為.故選：C6．如圖所示，一個水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是（    ）A． B． C．16 D．8【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測畫法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.7．下列各個圖形中，異面直線的畫法不妥的是A．B．C．D．【答案】C【分析】利用異面直線的定義分析判斷．【詳解】解：觀察四個選項，A、B、D中都有明顯地看出a，b既不相交，又不平行，是異面直線，在C中，給人的感覺是直線a，b雖然分別位于不同的平面α和β，但是a，b分別與α與β的交線平行，由平行的傳遞性知a與b平行，所以a，b不是異面直線．故C的畫法不妥．故選：C．8．已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面其中正確的命題（    ）①，；②，；③，；④，； ⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【分析】分析各直線，平面的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，①，，故，故正確；②，，則與有可能平行、相交、異面，故錯誤；③，則或，故錯誤；④，；則與可能平行或相交，故錯誤；⑤，，，由線面平行的判定定理可得，故正確.故選：A. 二、多選題9．下列是基本事實的是（    ）A．過三個點有且只有一個平面B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【答案】BCD【分析】根據(jù)基本事實判斷即可.【詳解】對于A，基本事實1是過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，故A錯誤；對于B，“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實4，故B正確；對于C，“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”是基本事實2，故C正確；對于D，“如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線”是基本事實3，故D正確.故選：BCD10．已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC11．在空間中，下列命題為假命題的是（    ）A．若兩條直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；B．若兩個平面分別平行于兩條互相垂直的直線，則這兩個平面互相垂直；C．若兩個平面垂直，則過一個平面內(nèi)一點垂直于交線的直線與另外一個平面垂直；D．若一條直線平行于一個平面，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直.【答案】ABC【分析】ABC均可舉出反例，D可利用線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)進行證明.【詳解】A選項，若兩條直線垂直于第三條直線，則這兩條直線異面，平行或相交，如圖1，直線⊥，⊥，但與異面，故A錯誤；B選項，如圖2，，，則，故兩個平面分別平行于兩條互相垂直的直線，則這兩個平面不一定垂直，B錯誤；C選項，如圖3，平面與平面垂直，交線為，則過平面內(nèi)一點的直線m垂直于交線，但m與另外一個平面平行，C錯誤；選項D，如圖4，直線，直線⊥，則，理由如下：因為，，，所以，因為⊥，，所以⊥，故，證畢.若一條直線平行于一個平面，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直，D正確故選：ABC.12．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是（    ）A． B．與所成的角為60°C．與是異面直線 D．平面【答案】ACD【分析】將平面圖形還原為立體圖形，，，A正確B錯誤，觀察知C正確，根據(jù)平面平面得到D正確，得到答案.【詳解】如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：，，故，A正確B錯誤；與是異面直線，C正確；平面平面，平面，平面，D正確.故選：ACD 三、填空題13．若為平面內(nèi)所有向量的一組基，且，不能作為一組基，則k的值為     .【答案】-8【分析】由題得存在實數(shù)λ，使得，把代入計算即得解.【詳解】因為不能作為一組基，所以存在實數(shù)λ，使得，即，則6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8.故答案為：14．若是實系數(shù)方程的一個根，則           .【答案】【分析】由實系數(shù)方程復(fù)數(shù)根的性質(zhì)及根系關(guān)系求出a、b，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，方程的另一個根為，所以，即，又，所以.故答案為：15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則        ．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.16．如圖，在圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已知圓柱的底面半徑為3，則圓柱的體積為          ．【答案】【分析】由條件球的半徑與圓柱底面圓半徑相同，故球的半徑為3，進而得圓柱的高，代入體積公式求解．【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，球的半徑為．由條件有：，圓柱的高為，所以圓柱的體積為．故答案為： 四、解答題17．已知非零向量，夾角為，且．(1)當(dāng)時，求；(2)若，且，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量數(shù)量積運算公式和夾角余弦公式進行求解；（2）根據(jù)向量垂直得到，再求出，進而求出【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，∵，∴；（2）∵，∴，即∴，∵，∴∴18．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），周長，周長的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．此時周長的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時，，所以周長的最大值為．【整體點評】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長最大值的求解問題；方法一：求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值. 方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決. 方法三巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點．(1)求異面直線BC與PD所成角的正切值；(2)求證：CD⊥PE．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意得到或其補角為異面直線與所成角，再求其正切值即可.（2）連接，根據(jù)題意易證平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）因為，所以，所以或其補角為異面直線與所成角.因為平面，平面，所以，所以，即異面直線與所成角正切值為（2）連接，如圖所示：因為，，所以，因為，為中點，所以.因為平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面.因為平面，所以.20．如圖，已知正方體的棱長為分別是的中點.(1)求證：平面平面；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用正方體的性質(zhì)及線面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即得；（2）利用線面平行的判定定理即得.【詳解】（1）由正方體的性質(zhì)可得，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又平面，∴平面平面；（2）因為分別是的中點，所以，又，∴，又平面，平面，∴平面.21．如圖，正四棱錐的高，，，為側(cè)棱的中點．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計算出點到底面的距離以及的面積，再利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：因為四邊形為正方形，，則為的中點，因為為的中點，則，又因為平面，平面，所以，平面.（2）解：在正四棱錐中，為底面的中心，則底面，因為為的中點，則點到平面的距離為，，因此，.22．如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC=BC=PA，求平面PAB與平面PCB所成二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2). 【分析】（1）由，結(jié)合面面垂直的判定證明即可；（2）作輔助線，證明，由二面角的定義得出即為二面角的平面角，再由三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】（1）平面，..平面PAC，平面.平面，平面PAC⊥平面PBC（2）在中，取中點，連接，則.在中，過D作于E，連接CE.由面，得，又，且平面PAB，故面.所以.又，且平面CDE，故面，所以.所以即為二面角的平面角.設(shè).由題可得，，由得，.在中，，則.即平面與平面所成二面角的大小為. 

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