2022-2023學(xué)年甘肅省武威市涼州區(qū)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平均變化率的定義即可求得本題答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以在區(qū)間上的平均變化率.故選：B2．已知點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)對稱的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，所以點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D3．函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率.【詳解】由題設(shè)，則，所以處切線的斜率為2.故選：D4．空間兩點(diǎn)，之間的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】.故選：B.5．給出下列五個導(dǎo)數(shù)式：①；②；③；④；⑤.其中正確的導(dǎo)數(shù)式共有（  ）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】由初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求各項(xiàng)對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷它們的正誤.【詳解】由，①正確；由，②錯誤；由，③正確；由，④錯誤；由，⑤錯誤；正確的共有2個.故選：A6．在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實(shí)數(shù)k的值為（    ）A．－6 B．6C．3 D．－3【答案】B【分析】由和的數(shù)量積為0，解出k的值.【詳解】由題意可得，，，所以，即2k－12＝0，得k＝6.故選：B.7．如圖，在四面體OABC中，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量基本定理求解出，從而求出.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以．故選：D8．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示．記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷．【詳解】由題意，知的解集即的單調(diào)遞減區(qū)間，故的解集為．故選：A． 二、多選題9．一個質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，其位移s（單位：m）與時間t（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式，則（    ）A．該質(zhì)點(diǎn)在前2秒內(nèi)的平均速度為24m/sB．該質(zhì)點(diǎn)在第1秒的瞬時速度為12m/sC．該質(zhì)點(diǎn)在第2秒的瞬時加速度為D．該質(zhì)點(diǎn)的瞬時加速度取得最小值時的時刻為第1秒【答案】BCD【分析】A首先求出2秒內(nèi)的位移，即可得平均速度；B利用導(dǎo)數(shù)求第1秒的瞬時速度；C、D應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)的物理意義判斷.【詳解】因?yàn)樵撡|(zhì)點(diǎn)在前2秒內(nèi)的位移為，該質(zhì)點(diǎn)在前2秒內(nèi)的平均速度為12m/s， A錯誤．因?yàn)?/span>，所以該質(zhì)點(diǎn)在第1秒的瞬時速度為， B正確．設(shè)，則，所以，即第2秒的瞬時加速度為，C正確；當(dāng)時取得最小值，D正確．故選：BCD10．已知函數(shù)，則（    ）A．的極小值為2B．有三個零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【答案】CD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、極值以及零點(diǎn)判斷A、B，根據(jù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱的充要條件判斷C，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線方程判斷D.【詳解】，，令，解得：或，時，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；的極小值為：，的極大值為：，有兩個零點(diǎn)，的極小值為0，故A錯誤、B錯誤；對C，若點(diǎn)是曲線的對稱中心，則有，將函數(shù)代入上式驗(yàn)證得：，故C正確；對于D，，解得：，當(dāng)時，， 切線方程為：，即，故D正確.故選：.11．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（    ）．A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若，則是鈍角C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量共面的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用向量夾角的取值范圍判斷選項(xiàng)B；根據(jù)基底的定義判斷選項(xiàng)C；根據(jù)空間向量共面的充要條件判斷選項(xiàng)D．【詳解】選項(xiàng)A，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，由于空間任意兩個向量一定共面，因此這三個向量一定共面，正確；選項(xiàng)B，若，則是鈍角或者，錯誤；選項(xiàng)C，設(shè)是空間中的一組基底，則不共面，可得向量也不共面，所以也是空間的一組基底，正確；選項(xiàng)D，對空間中任意一點(diǎn)，有，，四點(diǎn)不共面，錯誤；故選：AC12．如圖，已知正方體的棱長為，、分別為棱、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（    ）A． B．C． D．為平面的一個法向量【答案】BC【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、.對于A選項(xiàng)，，，則，A錯；對于B選項(xiàng)，，，則，B對；對于C選項(xiàng)，，故，C對；對于D選項(xiàng)，，故不是平面的一個法向量，D錯.故選：BC. 三、填空題13．已知向量 ， 若 ，則實(shí)數(shù)        ．【答案】【分析】利用列方程，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，且，所以，解得：.故答案為：.14．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是        ．(填“平行”或“相交”)【答案】相交【分析】通過平面的法向量和直線的方向向量的特征，利用向量與的數(shù)量積判斷兩向量是否垂直，進(jìn)而可得到直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，從而直線與平面不平行且，故直線與平面相交.故答案為：相交.15．函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程為           .【答案】【分析】求出，求導(dǎo)，得到即切線斜率，用點(diǎn)斜式求出切線方程，化為一般式即可.【詳解】，，，所以在點(diǎn)處的切線的方程為：，整理得：故答案為：16．設(shè)，則滿足在上恒正的是          .（填寫序號）①；②；③；④.【答案】①③【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意逐項(xiàng)分析運(yùn)算.【詳解】對①：，則，故在上恒成立，①成立；對②：，則，故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；對③：，則，故在上恒成立，③成立；對④：由，解得，故的定義域?yàn)?/span>，則，故在上恒成立，④不成立；故答案為：①③. 四、解答題17．在中，已知，，且，，求，.【答案】，【分析】利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則即可得解.【詳解】在中，，，且，，所以，，，故，則，，則.18．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值為，最小值為 【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.【詳解】（1）由已知，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.19．已知正方體的棱長為1，如圖以為原點(diǎn)，為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系.分別是的中點(diǎn).(1)求直線的一個方向向量；(2)證明：平面.【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)空間點(diǎn)的坐標(biāo)即可得向量坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)方向向量的定義即可求解，（2）根據(jù)平面法向量和直線方向向量垂直，即可求值.【詳解】（1），因此,則直線的一個方向向量為，（2）平面，平面,則 ，又因?yàn)?/span>,,平面,故平面，因此取平面的法向量為，由于則，而平面，因此//平面.20．設(shè)函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)；(2)1. 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.（2）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求出最小值作答.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得：，則有，而，于是得，即，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.21．如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)．求證： （1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，通過證明，可得出平面；（2）結(jié)合（1），平面的法向量是，然后求出平面的法向量，進(jìn)而可證明，從而可知平面平面.【詳解】（1）以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得．因?yàn)?/span>，所以，所以平面；（2）設(shè)平面AEC的法向量，則，取，得，，平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、面面垂直的證明，利用空間向量法是解決本題的較好方法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.22．已知函數(shù).(1)若曲線在x＝1處的切線與直線2x－y＋3＝0平行，求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程，求解即可得出答案；（2）根據(jù)的范圍討論，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由已知可得，.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，即，所以.（2）由（1）知，，的定義域?yàn)?/span>.當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由可得，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 

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