2022-2023學(xué)年福建省三明市四地四校高二下學(xué)期期中聯(lián)考協(xié)作數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，因此，.故選：D.2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)乘法運算規(guī)則即可求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【詳解】由，可得故選：D3．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求得的值.【詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，若，則故選：B4．現(xiàn)給定兩個命題：命題：對任意的，；命題：存在，使.則（    ）A．命題，都是真命題 B．命題，都是假命題C．命題是真命題，命題是假命題 D．命題是假命題，命題是真命題【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的有界性，判斷出命題是真命題；根據(jù)二次函數(shù)的配方法，判斷出命題是假命題，即可得到答案.【詳解】因為對任意的，，所以命題是真命題；因為，所以命題是假命題.故選：C.5．若的展開式中各項系數(shù)和為，則其展開式中的常數(shù)項為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二項展開式各項系數(shù)和為可求出的值，然后寫出二項展開式的通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】展開式的各項系數(shù)和為，解得，則的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中的常數(shù)項為.故選：A.6．具有線性相關(guān)關(guān)系的兩變量，滿足的一組數(shù)據(jù)如下表，若與的回歸直線方程為，則的值為（    ）012318A．6 B．5 C． D．4【答案】A【分析】通過表格數(shù)據(jù)求出中心點，再將其帶入與的回歸直線方程中計算即可.【詳解】由表格數(shù)據(jù)可求得，，因為與的回歸直線方程為且其必過點，故將代入可得，故選：A.7．永沙高級中學(xué)學(xué)生會有8位學(xué)生春游，其中高一學(xué)生2名?高二學(xué)生3名?高三學(xué)生3名.現(xiàn)將他們排成一列，要求2名高一學(xué)生相鄰?3名高二學(xué)生相鄰，3名高三學(xué)生中任意兩名都不相鄰，則不同的排法種數(shù)有（    ）A．288種 B．144種 C．72種 D．36種【答案】B【分析】先將2名高一學(xué)生看成整體，3名高二學(xué)生看成整體，排成一排，然后3名高三學(xué)生去插空即可.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行：第一步，先將2名高一學(xué)生看成整體，3名高二學(xué)生看成整體，然后排成一排有種不同的排法，第二步，將3名高三學(xué)生插在這兩個整體形成的3個空檔中，有種不同排法，根據(jù)分步原理，共有種不同的排法，故選：B8．從標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7的7張卡片中每次取出1張卡片，抽出的卡片不放回，事件A：“第一次抽出的卡片上的數(shù)是質(zhì)數(shù)”，事件B：“第二次抽出的卡片上的數(shù)是偶數(shù)”，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型求出第一次抽出的卡片上的數(shù)是質(zhì)數(shù)、第一次抽出的卡片上的數(shù)是質(zhì)數(shù)且第二次抽出的卡片上的數(shù)是偶數(shù)的概率，再用條件概率公式計算作答.【詳解】標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7的7張卡片中，其中卡片上的數(shù)是質(zhì)數(shù)的有2，3，5，7，卡片上的數(shù)是偶數(shù)的有2，4，6，所以，，所以.故選：B 二、多選題9．若，，則下列結(jié)論正確的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷ABC選項；利用作差法可判斷D選項.【詳解】因為，，對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，當(dāng)時，，C錯；對于D選項，，則，D對.故選：ABD.10．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，則下面判斷正確的是（    ）    A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．當(dāng)時，取得極小值． D．當(dāng)時，取得極大值【答案】BD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號逐項分析.【詳解】當(dāng)時，的符號有正有負，不是單調(diào)的函數(shù)，A錯誤；當(dāng)時，是減函數(shù)，B正確；，不是極值點，C錯誤；當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，在處，取得極大值，D正確；故選：BD.11．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以事件，和表示從甲罐取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機取出一球，以事件B表示從乙罐取出的球是紅球，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．，，是兩兩互斥的事件B．事件B與事件相互獨立C．D．【答案】ACD【分析】由題意直接分析出，，是兩兩互斥的事件，即可判斷A；直接利用條件概率公式求出，可以判斷C;利用全概率公式求出，即可判斷D；利用可以判斷B.【詳解】解：由題意分析可知：，，是兩兩互斥的事件.故A正確；，，.所以.故C正確；同理，可得，所以.故D正確；因為,而，所以,所以事件B與事件不是相互獨立事件.故B錯誤.故選：ACD.12．對于任意實數(shù)，有，則下列結(jié)論成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)二項式定理展開式的特征可判斷AB，由賦值法即可求解CD．【詳解】，則的展開式的通項公式為：，當(dāng)時，，故A正確；當(dāng)時，，故B正確；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，即，所以，故C正確；當(dāng)時，，即，故D錯誤．故選：ABC． 三、填空題13．隨機變量的分布如下表，則    .0240.4a0.3【答案】【分析】先求得參數(shù)a的值，再求得，進而求得的值.【詳解】由，可得，則，則故答案為：14．曲線在點處的切線方程為        .【答案】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再求出時的函數(shù)值，利用直線方程的點斜式得答案．【詳解】由，得，，又時，，曲線在點處的切線方程為，即．故答案為：．15．已知實數(shù)，，則的最小值是      .【答案】3【分析】構(gòu)造成對勾函數(shù)的形式,結(jié)合基本不等式來解.【詳解】,令,則,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故的最小值為3. 故答案為：316．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是       .【答案】【分析】令可得，其中，令，則問題轉(zhuǎn)化為：直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，由可得，其中，令，則直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，且，令可得，列表如下：減減極大值增當(dāng)時，；當(dāng)時，，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 四、解答題17．已知集合，集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由一元二次不等式化簡 ,即可由集合的交運算求解，（2）將轉(zhuǎn)化為，列不等式即可求解.【詳解】（1）∵當(dāng)時，，或，    所以，（2）或，，因為，，所以,所以，解得.            所以滿足，的實數(shù)的取值范圍是.18．已知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，區(qū)間.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)“”是“”的充分條件，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令即可求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由題可得，列出不等式組即可求解.【詳解】（1）因為，所以，由，有，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）因為，有得，又“”是“”的充分條件，可知，有，得，故實數(shù)的取值范圍為.19．為回饋廣大消費者對商場的支持與關(guān)心，商場決定開展抽獎活動.已知一抽獎箱中放有8只除顏色外其它完全相同的彩球，其中僅有5只彩球是紅色．現(xiàn)從抽獎箱中一個一個地取出彩球，共取三次，取到三個都是紅球獲得一等獎，恰好取到兩個紅色球獲得二等獎，恰好取到一個紅色球獲得三等獎.(1)若取球過程是無放回的，求“獲得三等獎”和“獲得二等獎以上”的概率；(2)若取球過程是有放回的，取到紅色球的個數(shù)記為，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析， 【分析】（1）取到紅色球的個數(shù)記為，由古典概率的公式求解即可.（2）因為 ，利用二項分布的概率公式求出的概率分布列，再求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）取到紅色球的個數(shù)記為，獲得一、二、三等獎分別對應(yīng)于、、根據(jù)超幾何分布可知：； 法一：.法二：.故“獲得三等獎”的概率為，“獲得二等獎以上”的概率為；（2）隨機變量的可能取值為：；且        ，的分布列如下：所以20．《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀(jì)以來第18個指導(dǎo)“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.為了對該產(chǎn)品進行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價（元/件）88.28.48.68.89銷量（萬件）908483807568(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；(2)若該產(chǎn)品成本是7元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預(yù)測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤，最大利潤是多少.附：參考公式：回歸方程，其中，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)(2)該產(chǎn)品的單價定為元時，工廠獲得利潤最大，最大利潤為萬元. 【分析】（1）計算相關(guān)數(shù)據(jù)代入回歸方程公式中計算即可；（2）設(shè)工廠獲得的利潤為萬元，寫出關(guān)于單價的二次函數(shù)，求出最大利潤即可.【詳解】（1）因為， ，所以.則，因此回歸直線方程為.（2）設(shè)工廠獲得的利潤為萬元，則，所以該產(chǎn)品的單價定為元時，工廠獲得利潤最大，最大利潤為萬元.21．下表是某省的A市的某種傳染病與飲用水衛(wèi)生程度的調(diào)查表：飲用水傳染病合計得病未得病干凈水不干凈水合計(1)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為某省A市得這種傳染病與飲用不干凈水有關(guān)；(2)已知某省A市、B市和其它縣市人口占比分別是20%、15%、65%，以調(diào)查表數(shù)據(jù)的頻率估計A市得某種傳染病的概率，經(jīng)過深入調(diào)查發(fā)現(xiàn)B市和其它縣市得某種傳染病的概率分別為12%、15%，從該省中任意抽取一人，試估計這個人得某傳染病的概率.附表及公式：，其中.臨界值表：【答案】(1)有關(guān)系(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，利用公式求得的值，結(jié)合臨界值表，即可得到結(jié)論；（2）結(jié)合題意，利用全概率公式即可求解.【詳解】（1）零假設(shè)得這種傳染病與飲用水獨立，既得這種傳染病與飲用不干凈水沒有關(guān)系.由表中數(shù)據(jù)可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，既認(rèn)為得這種傳染病與飲用不干凈水有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不大于.（2）設(shè)“任意抽取一人，此人得某種傳染病”，記“任意抽取一人來自A市”，“任意抽取一人來自B市”，“任意抽取一人來自其他縣市”，則，且，，兩兩互斥.根據(jù)題意得，，，， 由全概率公式得所以從該省中任意抽取一人，這個人得某傳染病的概率為.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)極小值是，無極大值.(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，列出，，的變化情況表，求出單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值；（2）令的導(dǎo)數(shù)在上大于零恒成立，分離出參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最小值，令大于等于最小值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．當(dāng)時，.當(dāng)x變化時，和的值的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值是，無極大值.（2）由題知，得．   若函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立．         令，則．當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，， 所以． ∴的取值范圍為． 

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