2022-2023學(xué)年福建省三明市優(yōu)質(zhì)高中校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則可得答案.【詳解】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，，故D不正確.故選：B2．上午要上語文、數(shù)學(xué)、體育和外語四門功課，而數(shù)學(xué)老師因故不能上第二節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是（    ）A．24 B．22 C．20 D．12【答案】D【分析】按照特殊元素優(yōu)先的原則先排數(shù)學(xué)課再對(duì)其余三門功課全排列即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)教師因故不能上第二節(jié)和第四節(jié)課，所以先排數(shù)學(xué)老師的課，共有種排課方案，然后再排剩下三位老師的課，共有種排課方案，由分步計(jì)數(shù)乘法原理可得共有種排課方案，故選：.3．在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)最大值為n，則（    ）A．180 B．165 C．120 D．55【答案】B【分析】先求出n,再由性質(zhì)直接計(jì)算可得.【詳解】在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)最大值為,由于，.故選:B.4．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（    ）A． B． C．180 D．300【答案】B【分析】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查分類討論思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．【詳解】的展開式的通項(xiàng)為．當(dāng)為常數(shù)時(shí)，，解得，則；當(dāng)為常數(shù)時(shí)，，解得，則，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：B．5．針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生.女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若我們推斷不成立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過5%，則m的最小值為（    ）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題意得列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算，結(jié)合題意列式求出的范圍可得答案.【詳解】依題意得男生中喜歡短視頻的人數(shù)為（人），男生中不喜歡短視頻的人數(shù)為（人），女生中喜歡短視頻的人數(shù)為（人），女生中不喜歡短視頻的人數(shù)為（人），所以列聯(lián)表為： 喜歡短視頻人數(shù)不喜歡短視頻人數(shù)合計(jì)男生人數(shù)女生人數(shù)合計(jì)零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立，，因?yàn)橥茢?/span>不成立犯錯(cuò)誤的概率不超過5%，所以，解得，因?yàn)?/span>，所以的最小值為.故選：C6．小明買了4個(gè)大小相同顏色不同的冰墩墩（北京冬奧會(huì)吉祥物）隨機(jī)放入3個(gè)不同袋子中，則每個(gè)袋子至少放入一個(gè)冰墩墩的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由計(jì)數(shù)原理可求出4個(gè)冰墩墩隨機(jī)放入3個(gè)不同袋子的種數(shù)，利用組合中的分組分配問題求出每個(gè)袋子至少放入一個(gè)冰墩墩的種數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】小明將4個(gè)大小相同顏色不同的冰墩墩隨機(jī)放入3個(gè)不同袋子中，有種不同的放法，若每個(gè)袋子至少放入一個(gè)冰墩墩，則分2步進(jìn)行分析：①將4個(gè)冰墩墩分為3組，有種分組方法，②將分好的3組放入3個(gè)不同的袋子中，有種情況，則有種方法，所以所求的概率為.故選：D7．若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為，即在上恒成立，再根據(jù)右邊構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值可得結(jié)果.【詳解】，因?yàn)?/span>在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，則，即在上恒成立，設(shè)，則，在上為減函數(shù)，，所以.故選：D8．已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得到；再構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而得到，由此得解.【詳解】令，，則，故在上單調(diào)遞減，所以，即，即，故；令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以；綜上：.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理． 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，變量x和y負(fù)相關(guān)C．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高D．對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A，線性相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)可得A不正確；對(duì)于B，根據(jù)斜率小于，可得B正確；對(duì)于C，根據(jù)殘差分析結(jié)論可得C正確；對(duì)于D，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過點(diǎn)，可得D正確.【詳解】對(duì)于A，若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)樾甭市∮?/span>，所以變量x和y負(fù)相關(guān)，故B正確；對(duì)于C，在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程必過點(diǎn)，所以，，所以，故D正確.故選：BCD10．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．過原點(diǎn)作圖象的切線是 B．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C． D．若函數(shù)在上恒成立，則【答案】BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得A不正確；根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得B正確；根據(jù)單調(diào)性可得C正確；根據(jù)單調(diào)性求出在區(qū)間上的最大值可得D不正確.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，，對(duì)于A，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，將代入得，得，得或，所以切線方程為或，故A不正確；對(duì)于B，，由，得或，由，得，所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以的極大值為，極小值為，又，，所以函數(shù)在、、上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由B知，在上為減函數(shù)，所以,所以，即，故C正確；對(duì)于D，由B知，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值為，所以，故D不正確.故選：BC11．下列命題中，正確的命題的序號(hào)為（    ）A．若，，，則B．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則C．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．若數(shù)軸的原點(diǎn)處有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每隔一秒等可能的向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)秒后質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為隨機(jī)變量，則【答案】ACD【分析】根據(jù)對(duì)立事件、和事件和條件概率公式求解可知A正確；根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得B錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知C正確；根據(jù)所有可能的取值，及，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，，，又，，，A正確；對(duì)于B，，，解得：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，C正確；對(duì)于D，所有可能的取值為，且，，D正確.故選：ACD.12．甲?乙兩人進(jìn)行局羽毛球比賽（無平局），每局甲獲勝的概率均為.規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)獲勝局?jǐn)?shù)多的人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為，假設(shè)每局比賽互不影響，則（    ）A． B．C． D．單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，據(jù)此根據(jù)獨(dú)立事件概率計(jì)算方法和二項(xiàng)式定理的性質(zhì)可求，由此可判斷ABC，判斷和的大小即可判斷的單調(diào)性，從而判斷D．【詳解】由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，．∵，又，∴，∴，故C正確；∴，故A正確；，故B錯(cuò)誤；∵，∴，又∵，∴，∴，即P(n)單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)以及獨(dú)立事件的乘法公式得出，從而由判斷選項(xiàng). 三、填空題13．若，則             .【答案】3【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】由得或，得（舍）或.故答案為：.14．第十四屆“中華人民共和國(guó)全國(guó)人民代表大會(huì)”和“中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議”分別于2023年3月5日和3月4日勝利召開，為實(shí)現(xiàn)新時(shí)代新征程的目標(biāo)任務(wù)匯聚智慧和力量.某市計(jì)劃開展“學(xué)兩會(huì)，爭(zhēng)當(dāng)新時(shí)代先鋒”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).某單位初步推選出3名黨員和5名民主黨派人士，并從中隨機(jī)選取4人組成代表隊(duì)參賽.在代表隊(duì)中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，則黨員甲被選中的概率為             .【答案】【分析】設(shè)事件表示“黨員甲被選中”，事件表示“代表隊(duì)中既有黨員又有民主黨派人士”，根據(jù)已知求出的值，然后根據(jù)條件概率的公式，計(jì)算即可得出答案.【詳解】設(shè)事件表示“黨員甲被選中”，事件表示“代表隊(duì)中既有黨員又有民主黨派人士”，則，,所以，.故答案為：.15．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024，則展開式中不含的所有項(xiàng)系數(shù)和等于             .【答案】213【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式和項(xiàng)的系數(shù)及賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?/span>的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024，令，整理得，解得；故的展開式滿足，令時(shí)，的展開式滿足，令，解得，故含的所有項(xiàng)系數(shù)為，由于的所有項(xiàng)的系數(shù)和滿足當(dāng)，時(shí)，所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故不含的所有項(xiàng)系數(shù)和等于．故答案為：213．16．已知函數(shù)，若恒成立，則a的取值范是              .【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞增，可得在時(shí)恒成立，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值可得答案.【詳解】若，可得，令，則，則在上單調(diào)遞增，由得，即在時(shí)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，解得， 所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生的分析問題問題、解決問題的能力. 四、解答題17．若，且.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）換元后，利用展開式的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，去掉絕對(duì)值，再根據(jù)賦值法可求出結(jié)果.【詳解】（1）令，則，有，，令，得，解得.（2）由（1）知，，對(duì)照系數(shù)知，，，，，，，.令，得，令，得，故.18．由0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).求：(1)有多少個(gè)含2，3的五位數(shù)？(2)有多少個(gè)含數(shù)字1，2，3且必須按由大到小順序排列的六位數(shù)？【答案】(1)個(gè)(2)100個(gè) 【分析】（1）按照五位數(shù)中是否含分兩類計(jì)數(shù)，再相加可得結(jié)果；（2）先將數(shù)字1，2，3按由大到小順序排好，再分別插入可得結(jié)果.【詳解】（1）若五位數(shù)中含有0，則共有個(gè)數(shù)；若五位數(shù)中不含0，則共有個(gè)數(shù)；則共有個(gè)五位數(shù).（2）先將數(shù)字1，2，3按由大到小順序排好，只有一種排法，再將數(shù)字插入，有種插法，然后插入數(shù)字，有種插法，最后插入，不能插到最左邊，有種插法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有個(gè)六位數(shù).19．“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來付出踏踏實(shí)實(shí)努力的時(shí)候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)讀到這些話時(shí)，你會(huì)切身體會(huì)到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)為進(jìn)一步了解這名學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人，記周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，寫出的值．【答案】(1)(2)分布列見解析；數(shù)學(xué)期望(3) 【分析】（1）根據(jù)頻率和為，可構(gòu)造方程求得的值；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定人中，周平均閱讀時(shí)間在，，的人數(shù)，則可確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求得期望值；（3）根據(jù)頻率分布直方圖可求得周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，利用二項(xiàng)分布概率公式可表示出，由此可確定結(jié)果.【詳解】（1），.（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時(shí)間在，，三組的頻率之比為，人中，周平均閱讀時(shí)間在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（3）用頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；則，若最大，則最大，當(dāng)時(shí)，取得最大值.20．已知函數(shù)（）．(1)當(dāng)，求f（x）的極值．(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若存在，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）【答案】(1)極小值為3；極大值為4ln7－3(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出極值即可；（2）存在，使，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上,即可求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，∴，令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（7，＋∞），單調(diào)增區(qū)間為（1，7）∴x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值為3；x＝7時(shí)，函數(shù)確定極大值為4ln7－3；（2），令，若，則，∴f（x）在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，∴f（x）在上的最大值為，，令，得，當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴g（x）單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，由題意可知，解得，又∵，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，4）．21．疫情期間，某校使用一家公司的三種軟件來上網(wǎng)課，分別為在線課堂、視頻會(huì)議、在線直播.根據(jù)效果，首選在線課堂，當(dāng)在線課堂進(jìn)不去時(shí)選視頻會(huì)議，當(dāng)在線課堂和視頻會(huì)議均進(jìn)不去后再選在線直播.當(dāng)該校不是該軟件的會(huì)員時(shí)，老師們上網(wǎng)課能夠進(jìn)入在線課堂、視頻會(huì)議、在線直播的概率分別為，，；當(dāng)該校充值為會(huì)員時(shí)，老師們上網(wǎng)課能夠進(jìn)入在線課堂、視頻會(huì)議、在線直播的概率均為，設(shè)在線課堂、視頻會(huì)議、在線直播的網(wǎng)課效果得分分別為5分，3分，2分.(1)調(diào)查知前7天能完成全部網(wǎng)課的班級(jí)數(shù)y如表所示：已知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（t的系數(shù)精確到0.01）第t天1234567y916916493664(2)請(qǐng)你計(jì)算后判斷學(xué)校充值為會(huì)員后，網(wǎng)課效果得分的數(shù)學(xué)期望是否有提高.（參考公式：在線性回歸方程中，，）【答案】(1)(2)可以提高 【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式求回歸方程；（2）根據(jù)題意分別求充值前、后的分布列與期望，比較大小分析理解.【詳解】（1）由題意：設(shè)，∴，，，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，所以.（2）設(shè)該校不是會(huì)員時(shí)，網(wǎng)課效果得分為X，則X的所有可能取值為5，3，2，0，，，，故X的分布列X5320P所以設(shè)該校是會(huì)員時(shí)，網(wǎng)課效果得分為Y，則Y的所有可能取值為5，3，2，0，，，，故Y的分布列Y5320P所以.因?yàn)?/span>，所以該校充值為會(huì)員后，網(wǎng)課效果得分的數(shù)學(xué)期望有了提高.22．已知函數(shù)．(1)若，求方程的解；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)且有兩個(gè)極值點(diǎn)，記兩個(gè)極值點(diǎn)為，求的取值范圍并證明．【答案】(1)解為(2)，證明見解析 【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值，只有在極值點(diǎn)處滿足；（2）由及分別有兩個(gè)零點(diǎn)，分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍，由消去代入得，結(jié)合進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合的范圍，考察的最值得證.【詳解】（1），定義域?yàn)?/span>，令，設(shè)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故方程的解為.（2）令，得，設(shè)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故，，令，得，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，綜上，.不妨令，因?yàn)?/span>且，由與圖象得，由為的兩根得，兩式分別乘并整理得，所以，要證，即證，即證：，由于，所以 ，只需證，即證，（），令，（），當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由為的兩根得……①， ……②，對(duì)含參雙零點(diǎn)常用處理方法：①+②得……③，用此式可代入消參，①－②得……④，也用此式可代入消參，由③④得，可直接消參.本題中以上方法均不適合，結(jié)合要證的結(jié)論要想消參需要在①②兩式分別乘構(gòu)造出代入即可. 

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