2022-2023學年湖南省長沙市雅禮教育集團高二下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以.故選：D.2．如圖所示，單位圓上有動點A，B，當取得最大值時，等于（    ）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】由題可得，可得為直徑時最大.【詳解】因為，A，B是單位圓上的動點，所以的最大值為2，此時與反向.故選：D.3．已知，其中x，y是實數(shù)，是虛數(shù)單位，則=（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算以及復數(shù)相等的條件求出即可得解.【詳解】由，得，得，得，得，所以.故選：C4．已知，如果是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合集合的包含關(guān)系求解.【詳解】，即或，又是的充分不必要條件，所以，即的取值范圍是.故選:A.5．函數(shù)的圖像最有可能的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，判斷其奇偶性，再利用奇偶性及在上的零點個數(shù)判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)，D不正確；當時，由得：，而，因此，解得，于是得在上有且只有一個零點，B，C不正確，A正確.故選：A6．已知函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出，將問題轉(zhuǎn)化為在有兩個零點，列出不等式求得的取值范圍.【詳解】當時，，因為在上有且僅有2個零點，所以在有兩個零點，    則有，解得.故選：D7．某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：  等級24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B. 8．已知m，n為實數(shù)，，若對恒成立，則的最小值是（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法進行求解即可.【詳解】，當時，恒成立，則單調(diào)遞增，，顯然不恒成立，當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∵恒成立，∴，∴，∴，令，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴．故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：利用導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)法是解題的關(guān)鍵. 二、多選題9．已知、是隨機事件，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若、是互斥事件，則B．若、是對立事件，則、是互斥事件C．若事件、相互獨立，則D．事件、至少有一個發(fā)生的概率不小于、恰好有一個發(fā)生的概率【答案】BD【分析】利用互斥事件的定義可得出，進而可判斷A選項；利用對立事件的定義可判斷B選項；利用并事件的概率公式以及獨立事件的概率公式可判斷C選項；列舉兩個事件所包含的基本情況，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若、是互斥事件，則，則，A錯；對于B選項，若、是對立事件，則、是互斥事件，B對；對于C選項，若事件、相互獨立，則，C錯；對于D選項，事件、至少發(fā)生一個包含三種情況：、、，事件、恰好發(fā)生一個包含兩種情況：、，因此，事件、至少有一個發(fā)生的概率不小于、恰好有一個發(fā)生的概率，D對.故選：BD.10．已知，則在二項式的展開式中，正確的說法是（    ）A． B．常數(shù)項是第3項C．各項的系數(shù)和是1 D．第4項的二項式系數(shù)最大【答案】ACD【分析】先求出值，再寫出二項式的展開式的通項公式，根據(jù)選項逐一檢驗即可．【詳解】由得對；二項式的展開式通項，令，可得，故常數(shù)項是第4項，B錯；二項式中，令，可得各項的系數(shù)和是正確·；由可得，二項式展開式共有7項，第4項的二項式系數(shù)最大，正確．故選：．11．已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述正確的是（    ）A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】ABC【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負和的正負得到最大項和最小項，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對于A，由題意知：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當為偶數(shù)時，，，最?。?/span>當為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.故選：ABC.12．已知，且，則下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】對于A，直接利用基本不等式判斷；對于B，利用“1”的代換，再利用基本不等式判斷；對于C，由判斷；對于D，由得到，再利用函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】對于A，，當且僅當時取“=”，A正確；對于B，，當且僅當，即時取“=”，B不正確；對于C，因，則有，即，當且僅當，即時取“=”，由得，所以當時，，C正確：對于D，由得，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，不正確.故選：AC 三、填空題13．計算：      .【答案】1【分析】根據(jù)指數(shù)冪以及對數(shù)的運算性質(zhì)，求解即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)指數(shù)冪以及對數(shù)的運算性質(zhì)，可知.故答案為：1.14．寫出命題“”的否定：          .【答案】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“”的否定為.故答案為：.15．假設(shè)某市場供應的口罩中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表：品牌甲乙其他市場占有率優(yōu)質(zhì)率在該市場中任意買一口罩，用分別表示買到的口罩為甲品牌?乙品牌?其他品牌，表示買到的是優(yōu)質(zhì)品，則          .【答案】【分析】根據(jù)題意，由全概率公式求出，由概率乘法公式可得，進而由貝葉斯公式計算可得答案.【詳解】由全概率公式得：，由貝葉斯公式得.故答案為：16．如圖所示，已知雙曲線和橢圓有共同的右焦點，記曲線為雙曲線的右支和橢圓圍成的曲線，若，分別在曲線中的雙曲線和橢圓上，則周長的最小值等于          ．【答案】2【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓定義，表示出周長與、的關(guān)系，根據(jù)三角形性質(zhì)——兩邊之差小于第三邊得出當，，三點共線時周長最小的結(jié)論，即可求出答案.【詳解】設(shè)雙曲線和橢圓共同的左焦點為，根據(jù)雙曲線和橢圓定義可知，，得周長為：根據(jù)三角形性質(zhì)可知，當，，三點共線時取最大值，此時周長最小，當，，三點共線時，最小周長為故答案為：2 四、解答題17．已知數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)16 【分析】（1）先求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式即可得解；（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】（1）因為，所以公差，所以；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為，所以，即，則，所以，所以，解得.18．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)當時，函數(shù)無最大值；當時， 【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）對求導，分類討論和，判斷與的大小，即可求出的單調(diào)性和最大值.【詳解】（1）當時，，，又則函數(shù)在處的切線方程為：；（2）當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，無最大值；當時，由可得.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，.綜上，當時，函數(shù)無最大值；當時，.19．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.  (1)證明：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接，證明，，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）以點為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）如圖，連接，由題意知為的直徑，所以，  因為是圓柱的母線，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，因為是圓柱的母線，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，所以平面；（2）由（1）知兩兩相互垂直，如圖，以點為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，由（1）知平面，故平面的法向量可取為.設(shè)平面的法向量為，由，，則有，可取設(shè)二面角的平面角為，則，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為.  20．如圖，P為半圓（AB為直徑）上一動點，，，記．(1)當時，求OP的長；(2)當面積最大時，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的長；（2）由余弦定理及基本不等式求出與的乘積關(guān)系，寫出面積表達式，即可得出的值.【詳解】（1）由題意，在中，，，，∴為等腰直角三角形，∴在以為直徑的圓上，取的中點，連接，∴，，在中，，，由正弦定理，，解得：（2）由題意及（1）知，，，在中，，，由余弦定理，，即，即，∴，當且僅當時，等號成立，又，∴當且僅當時，的面積最大，此時，∴．21．已知拋物線的焦點為為上一動點，為圓上一動點，的最小值為.(1)求的方程；(2)直線交于兩點，交軸的正半軸于點，點與關(guān)于原點對稱，且，求證為定值.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）先判斷出當點，，，四點共線且點，在，中間時取得最小值，再解方程求出，即可求解；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線求出，，由解出，再由即可證明．【詳解】（1）由題得，當點，四點共線且點在中間時，取得最小值，  最小值為，又，解得，所以的方程為.（2）當直線的斜率為0時，顯然不適合題意；當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），即，所以，所以，又，所以為定值.【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達定理及其應用等知識，屬于難題．利用韋達定理化簡，準確計算是解題的關(guān)鍵.22．某班級共有50名同學（男女各占一半），為弘揚傳統(tǒng)文化，班委組織了“古詩詞男女對抗賽”，將同學隨機分成25組，每組男女同學各一名，每名同學均回答同樣的五個不同問題，答對一題得一分，答錯或不答得零分，總分5分為滿分.最后25組同學得分如下表：組別號12345678910111213男同學得分5455455444554女同學得分4345554555535分差1110-101-1-1-102-1 組別號141516171819202122232425 男同學得分434444555433 女同學得分534543553455 分差-100-1010020-2-2 （I）完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“該次對抗賽是否得滿分”與“同學性別”有關(guān)；（Ⅱ）某課題研究小組假設(shè)各組男女同學分差服從正態(tài)分布，首先根據(jù)前20組男女同學的分差確定和，然后根據(jù)后面5組同學的分差來檢驗模型，檢驗方法是：記后面5組男女同學分差與的差的絕對值分別為，若出現(xiàn)下列兩種情況之一，則不接受該模型，否則接受該模型.①存在；②記滿足的i的個數(shù)為k，在服從正態(tài)分布的總體（個體數(shù)無窮大）中任意取5個個體，其中落在區(qū)間內(nèi)的個體數(shù)大于或等于k的概率為P，.試問該課題研究小組是否會接受該模型.0.100.050.0102.7063.8416.635參考公式和數(shù)據(jù)：，；若，有，.【答案】（I）列聯(lián)表見解析，沒有把握；（Ⅱ）第②種情況出現(xiàn)，所以該小組不會接受該模型.【分析】（I）由已知可得列聯(lián)表，再利用卡方公式計算即可；（Ⅱ），由題知，而，故不存在 而滿足的i的個數(shù)為3，算出的概率為0.043，從服從總體（個體數(shù)無窮大）中任意取5個個體，其中值屬于的個體數(shù)為Y，則，再利用二項分布概率公式計算即可.【詳解】（I）由表可得 男同學女同學總計該次大賽得滿分101424該次大賽未得滿分151126總計252550所以，所以沒有90%的把握說“該次大賽是否得滿分”與“同學性別”有關(guān)；     （Ⅱ）由表格可得；   由題知，而，故不存在 ，而滿足的i的個數(shù)為3，即當設(shè)從服從正態(tài)分布的總體（個體數(shù)無窮大）中任意取5個個體，其中值屬于的個體數(shù)為Y，則，所以，，綜上，第②種情況出現(xiàn)，所以該小組不會接受該模型.【點晴】本題考查獨立性檢驗與正態(tài)分布的綜合應用，涉及到正態(tài)分布的概率計算問題，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道有一定難度的題. 

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