2022-2023學(xué)年湖南省部分學(xué)校高二下學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時(shí)，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于（    ）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k【答案】C【分析】根據(jù)題意，寫出的表達(dá)式，然后求差即得，注意表達(dá)式的起始項(xiàng)、終止項(xiàng)和中間項(xiàng)的變化.【詳解】因?yàn)?/span>f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，則f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故選：C.2．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)，則下列不等式正確的是（    ）  A． B．C． D．【答案】B【分析】利用直線的斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象即可判斷.【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上的增長越來越快，故函數(shù)圖象在點(diǎn)（）的切線的斜率越來越大，因?yàn)?/span>，所以.故選：B.3．若函數(shù)對(duì)于任意x有，，則此函數(shù)的解析式為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】可設(shè)，結(jié)合求出的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，可設(shè)，則，解得，因此，.故選：B.4．正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是    A．[0，]∪[，π) B．[0，π)C．[，] D．[0，]∪[，]【答案】A【解析】先對(duì)函數(shù)解析式求導(dǎo)，進(jìn)而利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求得導(dǎo)函數(shù)的范圍，進(jìn)而求得切線的斜率的范圍，則直線的傾斜角的范圍可得．【詳解】由函數(shù)，得.設(shè)，則以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線l的斜率為.設(shè)以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線l的傾斜角為，則.由，得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)斜率的范圍求傾斜角的范圍，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題.5．若數(shù)列中，，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】推導(dǎo)出對(duì)任意的，，可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列均為常數(shù)列，即可求得的值.【詳解】因?yàn)?/span>，，可得，所以，，故對(duì)任意的，，所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列均為常數(shù)列，因此，.故選：C.6．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則A．2 B． C．1 D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，由極限的性質(zhì)可得的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，又由函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，即，故；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，涉及極限的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用“均倒數(shù)”的定義，求得的表達(dá)式，代入，利用裂項(xiàng)求和法求得所求的數(shù)值.【詳解】根據(jù)“均倒數(shù)”的定義，有，故，故，，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，也符合上式，故.所以，注意到，故，故選C.【點(diǎn)睛】本小題考查新定義概念的理解，考查數(shù)列求和方法中的裂項(xiàng)求和法，考查運(yùn)算求解能力.屬于中檔題.8．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.若曲線與在處的曲率分別為，，（    ）A． B． C．4 D．2【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲率定義直接計(jì)算，再得出即可．【詳解】（1），，所以，，，所以， 故；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查新定義“曲率”，解題關(guān)鍵是理解曲率的定義，實(shí)質(zhì)就是對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)得，然后根據(jù)所給公式求出的曲率． 二、多選題9．過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程可能是（    ）A．B．C．D．【答案】AB【分析】先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出導(dǎo)函數(shù)，再將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入切線方程，進(jìn)而解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后得到答案.【詳解】∵.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則，.∴切線方程為.又切線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得或，∴切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為；切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為.故選：AB.10．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，則以下結(jié)論一定正確的是（    ）A． B．的最大值為 C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及前項(xiàng)和公式可求得公差與的關(guān)系，再對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，可得，解得，又由，所以，所以A正確；因?yàn)楣?/span>的正負(fù)不能確定，所以可能為最大值最小值，故B不正確；由，所以，所以C正確；因?yàn)?/span>，所以，即，所以D錯(cuò)誤.故選:AC.11．（多選）已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的取值范圍，從而得到傾斜角的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以，所以．又因?yàn)?/span>，所以．故選：CD．12．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，若，則下列各式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及求導(dǎo)的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解：對(duì)A，由題知，點(diǎn)在上，所以，故A正確；對(duì)B，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，雖然滿足，，但該函數(shù)只是一種特殊情況，該函數(shù)還可以為，也滿足，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由題得，所以，故D正確.故選：AD. 三、填空題13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則        .【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可求得，代入即可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，解得：.故答案為：.14．函數(shù)y＝x2(x＞0)的圖象在點(diǎn)(ak，ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，k為正整數(shù)，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝        .【答案】21【詳解】在點(diǎn)處的切線方程為：，當(dāng)時(shí)，解得，所以，，故答案為21. 15．設(shè)，，，……，，，則          .【答案】【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，求的導(dǎo)數(shù)，并確定變化周期，即可求的解析式.【詳解】由題設(shè)，，，，，，…，∴的變化周期為4，而.故答案為： 四、雙空題16．已知為曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)的坐標(biāo)為        時(shí)，最小，此時(shí)最小值為        ．【答案】          【分析】通過圖像可知當(dāng)直線與曲線相切且與直線平行時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離即為的最小值，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可構(gòu)造方程求得，利用點(diǎn)到直線距離公式求得最小值.【詳解】如圖所示，當(dāng)直線與曲線相切且與直線平行時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離即為的最小值．令，解得：，，.故答案為：；. 五、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，遞推作差得，即，得到數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，得到，利用分組求和，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，兩式作差得，即，因?yàn)?/span>，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故；（2）令，則，，所以數(shù)列的公差，故，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列的“分組求和”的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．18．曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程．【答案】或．【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，從而求出切線方程，再設(shè)出直線l的方程（），利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出的值，得到直線l的方程.【詳解】∵，∴，∴曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為，其方程為，即．又∵直線l與平行，∴直線l的方程可設(shè)為（）．由得：或．∴直線l的方程為或．19．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】證明過程見解析【分析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?/span>也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二] ：待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立．則有，解得．所以．選①③作條件證明②：因?yàn)?/span>，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)?/span>，所以是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：定義法設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?/span>，所以，解得或；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式因?yàn)?/span>，所以，，因?yàn)?/span>也為等差數(shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.【整體點(diǎn)評(píng)】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進(jìn)而得到；選①③時(shí)，按照正常的思維求出公差，表示出及，進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論. 20．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求的值.【答案】【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率可得切線方程，再由切線方程與曲線方程聯(lián)立，根據(jù)得到的值.【詳解】∵，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，又∵直線與曲線相切，當(dāng)時(shí)，曲線變?yōu)橹本€，與已知直線平行，∴，可得，消去得，由得.21．已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，求在處的切線方程.【答案】【分析】令，結(jié)合已知可得，則的解析式，由求參數(shù)，進(jìn)而可得的解析式，最后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在處的切線方程.【詳解】令，則，所以，(為常數(shù))，則，又，可得．所以，故，所以，又，所求切線方程為，即．22．設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6．曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．  

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