2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)高二下學(xué)期聯(lián)片辦學(xué)期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線方程得出和開(kāi)口方向即可求得.【詳解】由拋物線方程可得，開(kāi)口向左，則準(zhǔn)線方程為.故選：D.2．圓心為且和軸相切的圓的方程是　　A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意先求出圓的半徑，再根據(jù)圓心坐標(biāo)，求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】解：圓心為且和軸相切的圓，它的半徑為1，故它的的方程是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，代入即可求解.【詳解】設(shè)所求的直線方程為，代入方程解得，所求的直線方程為.故選：D.4．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由.因?yàn)?/span>，是橢圓的上的點(diǎn)，、是橢圓的焦點(diǎn)，所以，因此的周長(zhǎng)為，故選：D5．橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是2，是的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為A．4 B．8 C．3 D．2【答案】A【詳解】 根據(jù)橢圓的定義得， 由于中，是的中點(diǎn)， 根據(jù)中位線定理得，故選A．6．，則（    ）A．1 B．3 C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)展開(kāi)式，利用賦值法取即得.【詳解】因?yàn)?/span>，令，可得.故選：C.7．已知圓，則過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（    ）．A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】先求得圓的圓心和半徑，再根據(jù)直線l與直線CP垂直時(shí)，所截得弦長(zhǎng)AB最短求解．【詳解】因?yàn)?/span>，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以半徑，圓心，當(dāng)直線l與直線CP垂直時(shí)，所截得弦長(zhǎng)AB最短．此時(shí)，所以．故選：C．8．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱性可知，由此可得，，由雙曲線定義可得關(guān)于的齊次方程，由此可求得離心率.【詳解】雙曲線與以為直徑的圓均關(guān)于軸對(duì)稱，為等邊三角形，，又，，；由雙曲線定義知：，即，雙曲線離心率.故選：D 二、多選題9．關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（    ）A．離心率為 B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C．焦點(diǎn)在軸上 D．焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，(1，0)【答案】AD【分析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由橢圓的幾何性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確；長(zhǎng)軸長(zhǎng)是故B錯(cuò)誤因?yàn)?/span>所以離心率故A正確.故選：AD.10．已知為3與5的等差中項(xiàng)，為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線描述正確的是（    ）A．曲線可表示為焦點(diǎn)在軸的橢圓B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線C．曲線可表示為離心率是的橢圓D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線【答案】ACD【分析】由已知條件先求出的值，從而可得曲線C的方程，然后根據(jù)曲線方程分析判斷即可【詳解】由為3與5的等差中項(xiàng)，得，即，由為4與16的等比中項(xiàng)，得，即，則曲線的方程為或．其中表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，此時(shí)它的離心率，故A正確，C正確；其中表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，焦距為，漸近線方程為，故B不正確，D正確．故選:ACD．11．對(duì)于的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為64C．常數(shù)項(xiàng)為1215 D．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)【答案】ABC【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A；用賦值法求出所有系數(shù)和可判斷選項(xiàng)B；求出展開(kāi)式的通項(xiàng)可判斷選項(xiàng)C，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】的展開(kāi)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)A正確；中令得，選項(xiàng)B正確；展開(kāi)式通項(xiàng)為， 令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，選項(xiàng)C正確；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，選項(xiàng)D不正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，熟記通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，掌握賦值法求系數(shù)和，屬于中檔題.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于點(diǎn)，且，.下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．△的面積為【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A由拋物線的定義可得可判斷；選項(xiàng)B將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程可判斷；當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，可求出，從而可得，由，同理可得時(shí)的情況，從而可判斷C，D.【詳解】選項(xiàng)A. 由拋物線的定義可得，解得，所以A不正確.選項(xiàng)B. 所以，，拋物線方程為將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，得，所以，所以B正確選項(xiàng)C. 當(dāng)時(shí)，則，則直線的方程為： 則 ，得，解得或所以，則，同理當(dāng)時(shí)，可得，所以C正確.選項(xiàng)D.由上可知當(dāng)時(shí)， 同理當(dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，過(guò)焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義可得，解得的值，由求解面積，屬于中檔題. 三、填空題13．雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為        ．【答案】【分析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：14．某班從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中，選取3人參加學(xué)校的“創(chuàng)文知識(shí)"競(jìng)賽，要求男女生都有，則不同的選法共有           種．【答案】45【分析】利用間接法：在所有組合中排除全為男生和全為女生的情況，利用組合數(shù)運(yùn)算求解．【詳解】在所有組合中排除全為男生和全為女生的情況，則共有種故答案為：45．15．甲、乙等6人報(bào)名參加了三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲，乙兩人不能參加項(xiàng)目，那么共有         種不同的選拔的方案．【答案】80【分析】由于每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，又要求甲，乙兩人不能參加項(xiàng)目，所以分甲，乙都參加志愿者工作、甲參加志愿者工作，乙沒(méi)參加志愿者工作、甲沒(méi)參加志愿者工作，乙參加志愿者工作、甲，乙都沒(méi)參加志愿者工作4種情況.【詳解】由于每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，又要求甲，乙兩人不能參加項(xiàng)目，所以①甲，乙都參加志愿者工作則有：種情況；②甲參加志愿者工作，乙沒(méi)參加志愿者工作則有：種情況；③甲沒(méi)參加志愿者工作，乙參加志愿者工作則有：種情況；④甲，乙都沒(méi)參加志愿者工作則有：種情況；故滿足條件的情況數(shù)為：.故答案為：80.16．拋物線焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足，如果直線的傾斜角等于，那么等于          .【答案】【分析】先求出，過(guò)作于，利用，即可求出.【詳解】解：在中，由拋物線的定義，可得，，，又，則軸，又，過(guò)作于，則，則．故答案為：   四、解答題17．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為橢圓上一點(diǎn)，軸，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸即焦點(diǎn)坐標(biāo),可得.由橢圓中滿足,即可求得,進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù),可得點(diǎn)坐標(biāo),即可求得的面積．【詳解】（1）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和則,且解得 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）為橢圓上一點(diǎn),軸所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入橢圓方程可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方,則 所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,橢圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單應(yīng)用,焦點(diǎn)三角形面積求法,屬于基礎(chǔ)題.18．已知點(diǎn)求：(1)過(guò)點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)A，B且圓心在直線上的圓的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）要求的圓，即以AB為直徑的圓，求出圓心和半徑，可得結(jié)果.（2）設(shè)圓心為根據(jù)DA＝DB，求得m的值，可得要求的圓的方程．【詳解】（1）∵點(diǎn)∴過(guò)點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓，即以AB為直徑的圓，∵AB的中點(diǎn) ，故要求的圓的方程為.（2）∵圓心在直線上，設(shè)圓心為∵圓過(guò)點(diǎn)A，B，∴DA＝DB，∴求得∴圓心為，半徑故要求的圓的方程為 ．19．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(2,0)，并且與直線x＝－2相切（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程；    （2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)且傾斜角等于135°的直線l與軌跡M相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|【答案】（1）（2）16【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題目條件列方程可求得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則依題意可得，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程為（2）直線的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，，則，，由弦長(zhǎng)公式可得.所以【點(diǎn)睛】本題考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.20．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程得到漸近線方程，即可得到，再由點(diǎn)到線的距離公式求出，最后根據(jù)計(jì)算可得；（2）設(shè)，，直線的斜率為，利用點(diǎn)差法計(jì)算可得；【詳解】（1）解：雙曲線的漸近線為，即，所以，又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）解：設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以直線的方程為.21．已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為 ，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過(guò)點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.  聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．22．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于A，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線，的斜率分別為，，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)條件確定a,b的值，從而可得橢圓方程；（2）討論直線AB的斜率存在和不存在兩種情況，斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到根與系數(shù)的關(guān)系式，用A,B坐標(biāo)表示，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)，即可求得直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，亦可說(shuō)明直線過(guò)該定點(diǎn).【詳解】（1）由題意點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，知，因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，所以，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由題意知．由，得，由題意知，設(shè)，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以，整理得，故直線的方程為，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)．若直線的斜率不存在，設(shè)其方程為，，．由題意得，解得，此時(shí)直線的方程為，顯然過(guò)點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓的位置關(guān)系中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答的關(guān)鍵是將已知條件利用，的坐標(biāo)來(lái)表示，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，要特別注意計(jì)算的準(zhǔn)確性. 

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