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已知函數(shù)．
若，求曲線在處的切線方程；
若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．疫苗是全球最終戰(zhàn)勝新冠肺炎疫情的關(guān)鍵，自覺接種疫苗，構(gòu)筑防疫屏障，是公民應(yīng)盡的責(zé)任．接種新冠疫苗后可能會有一些不良反應(yīng)，這與個人的體質(zhì)有關(guān)系．在接種新冠疫菌后的不良反應(yīng)中，主要有發(fā)熱、疲乏、頭痛，接種部位出現(xiàn)紅暈，腫脹、酸痛等表現(xiàn)．為了解某地接種新冠疫苗后有不良反應(yīng)與性別的關(guān)系，某機構(gòu)隨機抽取了該地區(qū)名疫苗接種者進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表不完整； 無不良反應(yīng)有不良反應(yīng)總計男性女性總計Ⅰ求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，，的值，并判斷是否有的把握認為有不良反應(yīng)與性別有關(guān)；
Ⅱ用頻率估計概率，現(xiàn)從該地區(qū)的疫苗接種者中隨機抽取人對疫苗接種進行獨立評分，其中無不良反應(yīng)記分，有不良反應(yīng)記分，記人所得評分之和為求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．已知函數(shù)．
若時，求在區(qū)間上的最大值與最小值；
若函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
設(shè)，曲線與交于，兩點，求．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
的虛部為．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，即可求解．
本題考查了復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】 【解析】解：由題意，可知每一人都可在四項運動中選一項，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法原理，不同的選法共有種，
故選：．
根據(jù)分步乘法原理求解即可．
本題考查了分步乘法計數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題．
3.【答案】 【解析】解：有位男生和位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該位同學(xué)中任取人，
基本事件總數(shù)，
至少有名女生包含的基本事件個數(shù)．
至少有名女生的概率為．
故選：．
基本事件總數(shù)，至少有名女生包含的基本事件個數(shù)由此能求出至少有名女生的概率．
本題考查概率的求法，涉及到古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
4.【答案】 【解析】解：展開式的通項公式為，
令，解得，
所以項的系數(shù)為，解得，
故選：．
求出展開式的通項公式，然后令的指數(shù)為，由此建立方程即可求解．
本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】 【解析】解：直線的方向向量為，平面的法向量為，當(dāng)，時滿足，
對于、、顯然不存在向量共線的條件，故錯誤
故選：．
直接利用向量的線性運算，法向量，線面垂直的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識要點：向量的線性運算，法向量，線面垂直的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】 【解析】解：因為函數(shù)，
所以，
又函數(shù)存在極值點，
則，解得或，
故選：．
求出導(dǎo)函數(shù)，通過，解得實數(shù)的取值范圍即可．
本題考查了函數(shù)的極值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬簡單題．
7.【答案】 【解析】解：直線的一個方向向量是，平面的一個法向量是，
且，
，可得直線與平面的位置關(guān)系是或．
故選：．
由數(shù)量積為可得，即可得到直線與平面的位置關(guān)系．
本題考查空間向量的應(yīng)用，考查數(shù)量積與斜率垂直的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
8.【答案】 【解析】解：函數(shù)的定義域是，
，
若在單調(diào)遞增，
則在恒成立，
即，故的取值范圍是，
故選：．
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，求出的取值范圍即可．
本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是基礎(chǔ)題．
9.【答案】 【解析】解：，
，
．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．
本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性，掌握正態(tài)分布的對稱性是解決正態(tài)分布概率的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
10.【答案】 【解析】解：對于命題，：若，則，有或與異面，故命題是假命題；
對于命題，若，則，有或或與相交，故命題是假命題，所以為真．
故選：．
分別判斷命題，的真假，再由復(fù)合命題的真假即可得出答案．
本題考查了復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
11.【答案】 【解析】解：利用冪函數(shù)的性質(zhì)可得：，
利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得：，即，，
構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，
故函數(shù)在在上為增函數(shù)，
因為，則，
，可得，
即，故，因此，
故選：．
利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，，再構(gòu)造函數(shù)，可解．
本題考查冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，以及構(gòu)造法解決問題的能力，屬于中檔題．
12.【答案】 【解析】解：，因為，則，
，而，則，
于是，
依次類推得，
，則，
依此類推得
故數(shù)列奇數(shù)項增，偶數(shù)項減．
故答案為：．
觀察數(shù)列的增減情況，即可得到正確結(jié)論．
本題主要考查了數(shù)列的函數(shù)特性，屬于基礎(chǔ)題．
13.【答案】 【解析】解：，，，
，，
所求切線方程為，即．
故答案為：．
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再利用點斜式方程求解即可．
本題考查導(dǎo)數(shù)的計算公式，幾何意義，考查直線的點斜式方程．
14.【答案】 【解析】解：的圖形關(guān)于直線對稱，
的圖象關(guān)于直線對稱，
設(shè)，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)時，，
函數(shù)在為減函數(shù)，
又為奇函數(shù)，
函數(shù)在為減函數(shù)，
又，，
當(dāng)時，不等式可化為，解得，
當(dāng)時，不等式可化為，解得．
故答案為：．
設(shè)，依題意可得函數(shù)為奇函數(shù)且在，上為減函數(shù)，再分類討論利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)不等式的求解，考查轉(zhuǎn)化思想及運算求解能力，屬于中檔題．
15.【答案】 【解析】【分析】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
結(jié)合正態(tài)分布的對稱性進行計算求解即可．【解答】解：因為隨機變量服從正態(tài)分布，故對稱軸為．
由得：．
則．
故答案為：． 16.【答案】 【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，
，
關(guān)于的關(guān)系，
，解得，
故，
當(dāng)時，．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解線性回歸方程，再將代入，即可求解．
本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題．
17.【答案】解：Ⅰ由題意，甲前題得分之和大于，為分和分，
分別是答對道答錯道和道都答對，
設(shè)得分為概率，得分為概率，
，，
甲前題得分之和大于的概率為：；
Ⅱ甲一共答題，每題甲答對的概率為，設(shè)甲答對道，
則服從二項分布，
道，
甲道題道正確，道錯誤，
分． 【解析】Ⅰ由題意，甲前題得分之和大于，為分和分，分別計算出概率相加即可；Ⅱ甲一共答題，每題甲答對的概率為，設(shè)甲答對道，求出，再求即可．
本題考查了二項分布的期望，屬于中檔題．
18.【答案】解：證明：在直三棱柱中．
因，是棱的中點，所以．
故在中，．
同理：，．
，．
．
面．
面．
．
在直三棱柱中，平面．
又平面，所以．
又因，．
所以平面，則，，兩兩垂直．
如圖以點為原點建系，設(shè)：
則，，，．
，，．
設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量．
則有，可取．
同理可取．
設(shè)二面角的平面角為．
則，所以．
所以二面角的大小為． 【解析】證，只需證明面，即證明，；
由可證得，，兩兩垂直，如圖以點為原點建系，，利用向量法即可求得答案．
本題主要考查相線垂直的判定定理和二面角的平面角的余弦的求法，屬于中檔題．
19.【答案】解：，則，
可得，
則，
曲線在處的切線方程為，即；
由，
得，
在上單調(diào)遞增，在上恒成立，
即在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，，可得．
即的取值范圍是． 【解析】把代入，求得導(dǎo)函數(shù)，可得，再由直線方程的點斜式得答案；
求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于等于在上恒成立，可得在上恒成立，進一步求解得答案．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，是中檔題．
20.【答案】解： 由題意得，，，，，
所以，
故沒有的把握認為有不良反應(yīng)與性別有關(guān)；
用頻率估計概率，接種疫苗后有不良反應(yīng)的概率是，
無不良反應(yīng)的概率是，
由題意可得，的取值是，，，，，，
則，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列為： 故E． 【解析】 由題意求出列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算的值，對照臨界表中的數(shù)據(jù)，比較即可得到答案；
先求出隨機變量的可能取值，然后求出其對應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可．
本題考查了列聯(lián)表的應(yīng)用以及獨立性檢驗的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由公式求出卡方的值，離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量期望的求解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
21.【答案】解：由題意得，
當(dāng)時，，，
由，解得，
由，解得或，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
又，，，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．
函數(shù)只有一個零點，
因為，
當(dāng)時，由，解得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由，解得或，
所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
又，
所以只需要，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為．
當(dāng)時，顯然只有一個零點成立，
當(dāng)時，由，解得，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由，解得或，
即函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
又，
所以只需，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為 【解析】根據(jù)題意可得當(dāng)時，，，分析的正負，的單調(diào)性，最值．
函數(shù)只有一個零點，又，分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分析的零點，即可得出答案．
本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
22.【答案】解：由為參數(shù)，消去參數(shù)，
可得直線的普通方程為．
由，得，
，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；
直線的參數(shù)方程的標(biāo)準形式為為參數(shù)，
代入，整理可得．
，，
． 【解析】直接把直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，可得直線的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得曲線的直角坐標(biāo)方程；
寫出直線的參數(shù)方程的標(biāo)準形式，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，化為關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，利用參數(shù)的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系求解．
本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
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