專題十內(nèi)切球模型-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)之解密幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型命題點(diǎn)對點(diǎn)突破-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題十　內(nèi)切球模型
【方法總結(jié)】
以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．
方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和；
第一步：先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；
第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝＝．
秒殺公式(萬能公式)：r＝
【例題選講】
[例]　(1)已知一個(gè)三棱錐的所有棱長均為，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為________．
答案　π　解析　由題意可知，該三棱錐為正四面體，如圖所示．AE＝AB·sin 60°＝，AO＝AE＝，DO＝＝，三棱錐的體積VD-ABC＝S△ABC·DO＝，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則VD-ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，V內(nèi)切球＝πr3＝π．

(2)(2020·全國Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．
答案　π　解析　圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r．作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，則PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，故內(nèi)切球的體積為π3＝π．

(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家．據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”．他特別喜歡這個(gè)結(jié)論．要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊．若表面積為54π的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為(　　)

A．4π　　　　　　　　B．16π　　　　　　　　C．36π　　　　　　　　D．
答案　C　解析　設(shè)該圓柱的底面半徑為R，則圓柱的高為2R，則圓柱的表面積S＝S底＋S側(cè)＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3．∴圓柱的體積為V＝πR2×2R＝54π，∴該圓柱的內(nèi)切球的體積為×54π＝36π．故選C．
(4)已知三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，則三棱錐P－ABC的外接球與內(nèi)切球的半徑比為________．
答案　　解析　以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體，由PA＝PB＝PC＝2，可知此長方體即為正方體．設(shè)外接球的半徑為R，則R＝＝，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則內(nèi)切球的球心到四個(gè)面的距離均為r，由(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝·S△PCB·AP，解得r＝，所以＝＝．

(5)正四面體的外接球和內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，若線段長度的最大值為，則這個(gè)四面體的棱長為________．
答案　4　解析　設(shè)這個(gè)四面體的棱長為，則它的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑，，依題意得，．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
1．若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則＝________.
2．已知一個(gè)平放的各棱長為4的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球O(重量忽略不計(jì))，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，
小球慢慢上浮，當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
3．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個(gè)半徑為1的
球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是(　　)
A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4．將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為(　　)
A．π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．3π　　　　　　　　D．4π
5．體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________.
6．在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這
個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為________．
7．一個(gè)棱長為6的正四面體內(nèi)部有一個(gè)任意旋轉(zhuǎn)的正方體，當(dāng)正方體的棱長取得最大值時(shí)，正方體的外接球的表面積是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．若四棱錐
為陽馬，側(cè)棱底面，且，則該陽馬的外接球與內(nèi)切球表面積之和為________．
9．在三棱錐中，，，，二面角、、的大
小均為，設(shè)三棱錐的外接球球心為，直線交平面于點(diǎn)，則三棱錐的內(nèi)切球半徑為________．________．
10．已知直三棱柱中，，，設(shè)二面角的平面角為，且
，現(xiàn)在該三棱柱的內(nèi)部空間放一個(gè)小球，設(shè)小球的表面積為，三棱柱的外接球的表面積為，則的最大值為_______

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