4.3 對(duì)數(shù) 【題型歸納目錄】題型一：對(duì)數(shù)的定義題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問題題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用題型七：換底公式的運(yùn)用題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對(duì)數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為．4、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來(lái)的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來(lái)，即下面的等式是錯(cuò)誤的：，，．知識(shí)點(diǎn)三、對(duì)數(shù)公式1、對(duì)數(shù)恒等式：2、換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：．【典型例題】題型一：對(duì)數(shù)的定義例1．（2022·江蘇省南通中學(xué)高一階段練習(xí)）已知對(duì)數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（    ）A． B．C． D． 例2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）使有意義的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D． 例3．（2022·江蘇南通·高一期末）使式子有意義的的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 變式1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若有意義，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______. 【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（    ）A． B．C．若，則 D． 例5．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③ 若，則；④若，則，其中正確的是（    ）A．①② B．②④C．①③ D．③④ 例6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式等價(jià)的是（    ）.A． B． C． D． 變式2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則（    ）A． B． C． D． 變式3．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）將（且）轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式，其中錯(cuò)誤的是（    ）A．； B．；C．； D．． 變式4．（多選題）（2022·湖南湘西·高一期末）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（    ）A．與 B．與C．與 D．與 【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值例7．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））計(jì)算：___________.（可保留根式） 例8．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（    ）A． B． C． D． 例9．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________． 變式5．（2022·貴州·遵義四中高一期末）______． 【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為真數(shù).題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)例10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算(1)(2)    例11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則______． 例12．（2022·湖南·平江縣第三中學(xué)高一期中）計(jì)算=________. 【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們．在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和、差、積得運(yùn)算．題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問題例13．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)）解關(guān)于的方程.(1)；(2).    例14．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值．    例15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）解方程：．    變式6．（2022·上海·高一單元測(cè)試）解關(guān)于的方程：(1)；(2)；    變式7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）解方程：．    【方法技巧與總結(jié)】直接利用定義法或者換元法題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．    例17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）(1)；(2)．    例18．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高一期末）計(jì)算下列各式的值：(1)(2)0＋2?2·－；(2)log23·(log32＋log92)＋()2＋ln－lg1.    變式8．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求值     【方法技巧與總結(jié)】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來(lái).題型七：換底公式的運(yùn)用例19．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）化簡(jiǎn)____________ 例20．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，且，則_____________． 例21．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）________． 變式9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，且，，，則的值是____． 變式10．（2022·上海·高一單元測(cè)試）已知，若，則___________. 變式11．（2022·吉林·撫松縣第一中學(xué)高一開學(xué)考試）若，則的值為___________. 變式12．（2022·山東濱州·高一期末）已知，則______． 變式13．（2022·上海·高一單元測(cè)試）若，則的最小值為______. 【方法技巧與總結(jié)】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（3）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運(yùn)用．題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式例22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則（    ）A． B． C． D． 例23．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）已知，，試用表示；（2）已知，，試用表示．    例24．（2022·浙江·高一期中）設(shè)，，把用含，的式子表示，形式為___________. 變式14．（2022·上海閔行·高一期末）已知，用表示___________. 變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（    ）A． B．C． D． 變式16．（2022·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則下列能化簡(jiǎn)為的是（    ）A． B． C． D． 變式17．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，那么用表示是（    ）A． B． C． D． 【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)換.題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式例25．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）利用換底公式證明：．    例26．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）（1）設(shè)，，證明：．（2）設(shè)，，證明：．    例27．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a，b均為不等于1的正數(shù)，利用對(duì)數(shù)的換底公式，證明：（1）；（2）（，，）.    變式18．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，，為正數(shù)，，．（1）求；（2）證明：．    變式19．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550年﹣1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707年﹣1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.對(duì)數(shù)的定義：一般地，若 ，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作.比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為，對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為..我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：.理由如下：設(shè)，，所以，，所以，由對(duì)數(shù)的定義得:，又因?yàn)?/span>，所以解決以下問題：（1）將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：__.（2）仿照上面的材料，試證明：.（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算.     【方法技巧與總結(jié)】利用換底公式和作差法進(jìn)行證明.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·江蘇·南通一中高一階段練習(xí)）已知且，則m等于（    ）A． B．6 C．12 D．362．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)方法；年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾開始使用指數(shù)運(yùn)算；年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)．若，，則的值約為（    ）A． B． C． D．3．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一期末）已知函數(shù)滿足，則（    ）A． B．1 C．2 D．04．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）設(shè)，則（    ）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)的值為（    ）A． B． C． D．-16．（2022·云南昆明·高一期末）已知函數(shù)，則（    ）A． B． C．1 D．37．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）計(jì)算：（    ）A．0 B．1 C．2 D．38．（2022·湖南·長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一開學(xué)考試）已知，，，，則下列等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列運(yùn)算中正確的是（    ）A． B．C．若，則 D．10．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知當(dāng)時(shí)，．根據(jù)上述結(jié)論，若，，則（    ）A． B． C． D．11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（    ）A．若，且，則，，B．若，且，則，，C．，，D．，，12．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則的值不可能是（    ）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·浙江·永嘉中學(xué)高一競(jìng)賽）光線通過某種玻璃，強(qiáng)度損失.要使光線強(qiáng)度減弱為原來(lái)的，至少要通過____塊這樣的玻璃.（參考數(shù)據(jù)：，.）14．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）______ ．15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，，則_______．16．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則的最小值為________．四、解答題17．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）計(jì)算(1)(2).    18．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一期中）計(jì)算：(1).(2)；    19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，（，且）．(1)求的值；(2)若，，且，求的值．    20．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）設(shè)均為正數(shù)，且.(1)試求之間的關(guān)系.(2)求使成立，且與最近的正整數(shù)（即求與p的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)）.(3)比較，，的大小.     
 

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