?第4講 二次方程與系數(shù)、方程、不等式
一、課前檢測
1. 二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=ax+b的圖象大致是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．

（第1題圖） （第2題圖）
2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列說法：①abc＜0；②2a+b=0；
③9a+3b+c＞0；④當-1＜x＜3時，y＜0；⑤當x＜0時，y隨x的增大而減小，其中正確
的個數(shù)為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
3. 已知拋物線y=﹣x2＋2，當1≤x≤5時，y的最大值是（　?。?br /> A．2 B． C． D．
4. 二次函數(shù)y=kx2－6x＋3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
5. 已知函數(shù)表達式為y=x2－4x+3.
(1)該函數(shù)的圖象與x軸有幾個交點？并求出交點坐標；
(2)畫出函數(shù)y=x2－4x+3的圖象，觀察圖象直接寫出當y＞0時或y＜0時相應的x的
取值范圍.
(3)試問：當x為何值時，函數(shù)值y為15.




二、考點梳理
考點一、二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關系
1. a的正負決定拋物線的開口方向：
a＞0，開口向上
a＜0，開口向下
2. a與b決定拋物線的對稱軸x=﹣的位置：
簡記“左同右異”

a，b同號，對稱軸在y軸左側
a，b異號，對稱軸在y軸右側
3. c決定拋物線與y軸交點的位置：
c＞0，交點在y軸的正半軸上
c＝0，交點是原點
c＜0，交點在y軸的負半軸上
4. b2-4ac決定拋物線與x軸有無交點
b2-4ac＞0，有兩個交點
b2-4ac＝0，只有一個交點
b2-4ac＜0，沒有交點
5. a＋b＋c與a－b＋c是由點（1，a＋b＋c）與點（-1，a－b＋c）確定的.同理，也可確
定4a＋2b＋c，4a－2b＋c，9a＋3b＋c，9a－3b＋c等代數(shù)式的符號.

考點二、二次函數(shù)與一元二次不等式的關系
1. 不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解為y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
在x軸上方的點所對應的x值所組成的范圍.
2. 不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解為y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
在x軸下方的點所對應的x值所組成的范圍.
3. 不等式中如果帶有等號，其解集也相應帶有等號.
考點三、二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系
1. 已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為k，求自變量x的值，就是一元二次方程ax2＋
bx＋c＝k，反過來，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c－
k的函數(shù)值看做0，求自變量的值.學習理解這部分知識，可以類比一次函數(shù)與一元一次
方程的關系.
2. 拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關系：
若拋物線與x軸沒有交點一元二次方程沒有實數(shù)根b2－4ac＜0；
若拋物線與x軸有一個交點一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根b2－4ac＝0；
若拋物線與x軸有兩個交點一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根b2－4ac＞0.
3. 拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的兩個交點（x1，0）（x2，0），同樣滿足x1＋x2＝﹣，
x1·x2＝，兩個交點之間的距離|x1－x2|＝.
三、重點突破
例1. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=-1，下列結論：
①abc＜0；②2a+b=0；③a-b+c＞0；④4a+c＜2b；⑤4ac-b2＜0.其中正確的是（　?。?br /> A．①②⑤ B．只有① C．③④ D．①④⑤
(點撥：注意數(shù)形結合）

（例1圖） （例2圖）
例2. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，記m=|a-b+c|+|2a+b+c|，
n=|a+b+c|+|2a-b-c|．則下列選項正確的是（　?。?br /> A．m＜n B．m＞n
C．m=n D．m、n的大小關系不能確定
（點撥：先判斷a，b，c的符號）
例3. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b，Q=b2 -4ac．則
M，N，P，Q中，值小于0的數(shù)有________個．

（點撥：利用對稱軸的范圍求2a與b的關系）
例4. 如圖，已知函數(shù)與（a＞0，b＞0）的圖象交于點P．點P的縱
坐標為1．則關于x的方程的解為________.

（點撥：把方程的解化為兩函數(shù)圖象的交點問題）

例5. 已知一次函數(shù)y1=kx+m和二次函數(shù)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，它們有兩個交
點A（1，1），B（6，5），那么能夠使得ax2+(b-k)x+c-m＞0的自變量x的取值范圍
是____________.

（點撥：二次函數(shù)圖象與代數(shù)轉換）
例6. 如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=mx+n的圖象，觀察圖象寫出y2≥y1時，x
的取值范圍____________.

（點撥：根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關系）


例7．(1)請在坐標系中畫出二次函數(shù)y=x2－2x的大致圖象.
(2)根據(jù)方程的根與函數(shù)圖象的關系，將方程x2－2x=1的根在圖上近似的表示出來
（描點）.
(3)觀察圖象，直接寫出方程x2－2x=1的根．（精確到0.1）





（點撥：(1)確定頂點坐標和與x軸y軸交點，作出圖形）

例8．如圖是一個拋物線形拱橋的示意圖，橋的跨度AB為100米，支撐橋的是一些等距的
立柱，相鄰立柱的水平距離為10米（不考慮立柱的粗細），其中距A點10米處的立
柱FE的高度為3.6米．
（1）求正中間的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？請說明理由．
（點撥：以O為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系）







例9．已知A=a＋2，B=a2－a＋5，C=a2＋5a－19，其中a＞2．
（1）比較A，B的大小.
（2）比較A，C的大小.
（點撥：作差法比較大?。?br />




例10．二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
（1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根；
（2）寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；
（4）若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k取值范圍．


四、經(jīng)典練習
A組
（一）選擇題（共5小題）
1. 如圖，將二次函數(shù)y=31x2 -999x+892的圖形畫在坐標
平面上，判斷方程31x2 -999x+892=0的兩根，下列敘
述何者正確（　　）
A．兩根相異，且均為正根
B．兩根相異，且只有一個正根
C．兩根相同，且為正根
D．兩根相同，且為負根
2. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點P（a，bc）在（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（第2題圖） （第3題圖）
3. 如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（-1，0）和點（0，-3），且頂點在第四象限，
設P=a+b+c，則P的取值范圍是（　?。?br /> A．-3＜P＜-1 B．-6＜P＜0 C．-3＜P＜0 D．-6＜P＜-3
4. 如圖，拋物線y=x2＋1與雙曲線y=的交點A的橫坐標是1，則關于x的不等式﹣＋x2
＋1＜0的解集是（　?。?br /> A．x＞1 B．x＜-1 C．-1＜x＜0 D．0＜x＜1

（第4題圖） （第5題圖）
5. 菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°，點E是AD上一動點（不與A、D重合），點F是CD
上一動點，AE+CF=4，則△BEF面積的最小值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6

(二) 填空題（共2小題）
6. 若實數(shù)a，b滿足a＋b2=1，則2a2＋7b2的最小值是_________.
7. 若拋物線y=x2-bx+9的頂點在x軸上，則b的值為_________.





（三）解答題（共3小題）
8. 一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是
，鉛球運行路線如圖．
（1）求鉛球推出的水平距離；
（2）通過計算說明鉛球行進高度能否達到4m？


9. 利用圖象判斷方程x2＝3x－2是否有解，若有解，請寫出它的近似解（結果精確到0.1）．







10. 已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為2．
（1）求q關于p的關系式；
（2）若p=2q，求方程的另一根；
（3）求證：拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個交點．







B組
（一）選擇題（共5小題）
1. 方程2x－x2＝的正根的個數(shù)為（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
2. 二次函數(shù)y=x2+bx的圖象如圖，對稱軸為直線x=1，若關于x的一元二次方程x2+bx-t=0
（t為實數(shù)）在-1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（　?。?br />
A．t≥-1 B．-1≤t＜3 C．-1≤t＜8 D．3＜t＜8
3. 某幢建筑物，從10m高的窗口A用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線狀（拋物線所在
平面與墻面垂直）．如圖所示，如果拋物線的最高點M離墻1m，離地面m，則水流落
地點B離墻的距離OB是（　?。?br />
A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
4. 關于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，則下列結論：
①2a+b＜0；②ab＜0；③關于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根；④拋物線
y=2x2+ax+b-2的頂點在第四象限．其中正確的結論有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，若|ax2 +bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等
的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?br />
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3

（二）填空題（共2小題）
6. 如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點（0，-3），請你確定一個b的值，使該拋物線與x
軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間．你確定的b的值是___________.

7. 如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s
的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不
與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過_______秒，四邊形APQC的
面積最?。?br />
（三）解答題（共3小題）
8. 如圖，拋物線y=x2+mx+（m-1）與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，與y軸
交于點C（0，c），且滿足x12+x22+x1x2=7．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上能不能找到一點P，使∠POC=∠PCO？若能，請求出點P的坐標；若不能，
請說明理由．





9. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c，經(jīng)過A（0，-4），B（x1，0），
C（x2，0）三點，且|x2-x1|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，
求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．





10. 已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于點A(x1，0)、B(x2，0)(x1
＜x2），頂點M的縱坐標為-4，若x1、x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的兩個根，且x21+x22=10．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點P，使三角形PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍？若
存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．








五、優(yōu)化提高
1. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于（1，0）和（x1，0），其中
-2 ＜x1＜-1，與y軸交于正半軸上一點．下列結論：①b＞0；②ac＜b2；
③a＞b；④-a＜c＜-2a．其中所有正確結論的序號是____________．
2. 求y=-x2+2x-2在t≤x≤t+1上的最大值和最小值．（t為常數(shù)）






3. 若、是關于一元二次方程（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根、
和系數(shù)a、b、c有如下關系：，.把它稱為一元二次方程根與系
數(shù)關系定理．如果設二次函數(shù)（a≠0）的圖象與x軸的兩個交點為A（，
0），B（，0）．利用根與系數(shù)關系定理可以得到A、B兩個交點間的距離為：
.
參考以上定理和結論，解答下列問題：
設二次函數(shù)（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點A（，0），B（，0），
拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形．
（1）當△ABC為直角三角形時，求的值；
（2）當△ABC為等邊三角形時，求的值．


4. 已知，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示，A點坐標為（-6，0），B點坐標
為（4，0），點D為BC的中點，點E為線段AB上一動點，連接DE經(jīng)過點A、B、C三點
的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，將△BDE以DE為軸翻折，點B的對稱點為點G，當點G恰好落在拋物線的
對稱軸上時，求G點的坐標；
（3）如圖②，當點E在線段AB上運動時，拋物線y=ax2+bx+8的對稱軸上是否存在點F，
使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；
若不存在，請說明理由．













參考答案
一、課前檢測
1. B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷得出a＞0，﹣＞0，∴b＜0，再判斷一次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤．
2. C
【解答】根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向上，拋物線與y軸交與負半軸，對稱軸在y軸右側，則a＞0，c＜0，b＜0，所以abc＞0．故①錯誤；
根據(jù)圖象得對稱軸x=1，即﹣=1，所以b=-2a，即2a+b=0，故②正確；
當x=3時，y=0，即9a+3b+c=0．故③錯誤；
根據(jù)圖示知，當-1＜x＜3時，y＜，故④正確；
根據(jù)圖示知，當x＜0時，y隨x的增大而減小，故⑤正確.
3. C
4. D
【解答】∵二次函數(shù)y=kx2-6x+3的圖象與x軸有交點，
∴方程kx2-6x+3=0（k≠0）有實數(shù)根，
即△=36-12k≥0，k≤3，由于是二次函數(shù)，故k≠0，則k的取值范圍是k≤3且k≠0．
5.解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3，所以該函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，交點坐標分別為（1，0），（3，0）.
(2)y=x2 -4x+3=(x-2)2-1，畫圖略.
當x＜1或x＞3時，y＞0；當1＜x＜3時，y＜0.
(3)令x2-4x+3=15，得x2-4x-12=0，解得x1=-2，x2=6.
故當x=-2或x=6時，函數(shù)y=x2-4x+3的值為15.
三、重點突破
例1. D
【分析】根據(jù)開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點，確定a、b、c的符號，根據(jù)對稱軸和圖象確定y＞0或y＜0時，x的范圍，確定代數(shù)式的符號．
例2. A
【解答】∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∵對稱軸在y軸右邊，∴b＞0，
∵拋物線經(jīng)過原點，∴c=0，
∴a-b+c＜0；
∵x=1時，y＞0，∴a+b+c＞0，
∵c=0，∴a+b＞0．
∵x=﹣＞1，a＜0，∴b＞-2a，∴2a+b＞0，
m=|a-b+c|+|2a+b+c|=b-a+（2a+b）=a+2b，
n=|a+b+c|+|2a-b-c|=a+b+（b-2a）=2b-a，
∵m-n=（a+2b）-（2b-a）=2a，
∵a＜0，∴2a＜0，即m-n＜0，∴m＜n．

例3. 3
【解答】∵圖象開口向下，∴a＜0，
∵對稱軸在y軸左側，∴a，b同號，∴a＜0，b＜0，
∵圖象經(jīng)過y軸正半軸，∴c＞0，
∴M=a+b-c＜0；
當x=-2時，y=4a-2b+c＜0，∴N=4a-2b+c＜0；
∵﹣＞-1，a＜0，∴b＞2a，∴2a-b＜0，
∴P=2a-b＜0；
∵圖象與x軸有兩個交點，∴b2-4ac＞0，Q=b2-4ac＞0．
值小于0的數(shù)有M，N，P共3個．
例4. x=-3
【解答】∵P的縱坐標為1，∴1=﹣，∴x=-3，
∵ax2+bx+=0化為于x的方程ax2+bx=﹣的形式，
∴此方程的解即為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標的值，∴x=-3．
例5. x＜1或x＞6
【分析】求ax2+(b-k)x+c-m＞0自變量的取值范圍也就是求ax2+bx+c＞kx+m，即y2＞y1的自變量取值范圍，從圖上看就是二次函數(shù)圖象在上方一次函數(shù)圖象時，橫坐標x的取值范圍．
例6. -2≤x≤1

例7．(1)如下圖，y=x2 -2x=(x-1)2-1，
作出頂點，作出與x軸的交點，圖象光滑．
(2)正確作出點M，N； (3)寫出方程的根為-0.4，2.4．

例8．(1)根據(jù)題意可得中間立柱OC經(jīng)過AB的中點O．
如圖，以點O為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系．
問題轉化為求點C的縱坐標．
|OF|=40（米），故B（50，0），E（-40，3.6）
設拋物線的解析式為y=ax2+c
∴ 502a+c＝0
402a+c＝3.6
解得：a＝﹣，c＝10，
(2)設存在一根立柱的高度是OC的一半，即這根立柱的高度是5米．
則有﹣x2+10=5．解得：x=±25，
∵相鄰立柱之間的間距為10米．最中間的立柱OC在y軸上，
根據(jù)題意每根立柱上的點的橫坐標為10的整數(shù)倍，
∴x=±25與題意不符，∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半．
例9.(1)B-A=(a-1)2+2＞0，∴B＞A.
(2)C-A=a2+5a-19-a-2
=a2+4a-21
=(a+7)(a-3)．
∵a＞2，∴a+7＞0，
從而當2＜a＜3時，A＞C；
當a=3時，A=C；當a＞3時，A＜C．
例10.(1)由圖象可知，圖象與x軸交于（1，0）和（3，0）點，則方程ax2+bx+c=0的兩個根為1和3.
(2)由圖象可知當1＜x＜3時，不等式ax2+bx+c＞0.
(3)由圖象可知，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸為x=2，開口向下，即當x＞2時，y隨x的增大而減小.
(4)由圖象可知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值為2，
若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，則k必須小于y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
則k＜2．
四、經(jīng)典練習
A組
1. A
2. C 【解答】∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交于正半軸，∴c＞0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的左側，那么有當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左，
∴ab＞0，即b＜0，∴bc＜0，∴點P（a，bc）在第三象限，
3. B 【解答】∵拋物線y=ax2+bx+c（c≠0）過點（-1，0）和點（0，-3），
∴0=a-b+c，-3=c，∴b=a-3，
∵當x=1時，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a-3-3=2a-6，
∵頂點在第四象限，a＞0，∴b=a-3＜0，∴a＜3，
∴0＜a＜3，∴-6＜2a-6＜0，即-6＜P＜0．
4. D 【分析】先把不等式整理成x2+1＜，然后根據(jù)圖形找出二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方部分的x的取值范圍即可．
5. B 【解答】連接BD，AC，
∵菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°；∴△ABD與△BCD為正三角形；∴BD=4，AC=4，
△ABE的邊AE上的高與△BCF的邊CF上的高都為2，∠ADC=120°；
設AE為x，則CF為4-x；
∴S△DEF=ED?DFsin120°=（4-x）[4-（4-x）]=﹣x2＋x，
由圖示可知：S△BEF=S菱形ABCD-S△ABE－S△BCF-S△DEF
=×4×4－CF－AE-S△DEF
＝8－(CF+AE)-S△DEF＝8－4－S△DEF＝x2－x＋4，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，△BEF面積的最小值＝﹣ ＝=3.
6. 2
【解答】方法一：∵a+b2=1，∴a=1-b2，
∴2a2+7b2=2(1-b2)2+7b2 =2b4+3b2+2=2(b2+)2+2-=2(b2+)2+ ，
∵b2≥0，∴2（b2+)2 +＞0， ∴當b2=0，即b=0時，2a2+7b2的值最?。嘧钚≈凳?．
方法二：∵a+b2=1，∴b2=1-a，
∴2a2+7b2=2a2+7（1-a）=2a2-7a+7=2（a-)2 +，
∵b2≥0，∴1-a≥0，∴a≤1，∴當a=1，即b=0時，2a2+7b2的值最?。嘧钚≈凳?．

7. ±6
【分析】拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（﹣，），因為拋物線y=x2-bx+9的頂點在x軸上，所以頂點的縱坐標為零，列方程求解．
8.(1)當y=0時，﹣x2+x+=0，
解之得x1=10，x2=-2（不合題意，舍去），
∴推鉛球的水平距離是10米．
(2)y＝﹣x2+x+
＝﹣(x2-8x+16-16)+
＝﹣（x2-8x+16）++
=﹣(x-4)2+3，
當x=4時，y取最大值3，
∴鉛球行進高度不能達到4m，最高能達到3m．
9.令y=x2-3x+2,畫出其圖象如圖：

x1=3-≈1.7，x2=3+≈5.3．
10.(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為2，
∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5.
(2)設一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為t，
則由韋達定理，得
2+t＝?p
2t＝q+1
p＝2q
解得，t＝0 ,p＝?2 ，q＝?1 ，
∴原方程的另一根為0.
(3)證明：令x2+px+q=0．則△=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4＞0，即△＞0，
∴關于x的方程x2+px+q=0有兩個不相等的實數(shù)根．即拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個交點．

B組
1. A 【分析】此題實質(zhì)是求函數(shù)y1=2x-x2和函數(shù)y2=的圖象在一、四象限有沒有交點，根據(jù)兩個已知函數(shù)的圖象的交點情況，直接判斷．
【解答】設函數(shù)y1=2x-x2，函數(shù)y2=，
∵函數(shù)y1=2x-x2的圖象在一、三、四象限，開口向下，頂點坐標為（1，1），對稱軸x=1；
函數(shù)y2=的圖象在一、三象限；而兩函數(shù)在第一象限沒有交點，交點在第三象限．
即方程2x-x2=的正根的個數(shù)為0個．
2. C 【解答】對稱軸為直線x=﹣=1，解得b=-2，
∴二次函數(shù)解析式為y=x2-2x，即y=(x-1)2-1，
x=-1時，y=1+2=3，
x=4時，y=16-2×4=8，
∵x2+bx-t=0相當于y=x2+bx與直線y=t的交點的橫坐標，
∴當-1≤t＜8時，在-1＜x＜4的范圍內(nèi)有解．
3. B
【解答】以拋物線所在平面與墻面的交線為y軸，和水平面的交線為x軸建立坐標系．
則由題設條件知，拋物線的頂點M（1，），
A點坐標為（0，10）．
于是可設拋物線方程為y=a(x-1)2+．
將A點坐標（0，10）代入該方程可求得a的值為﹣．
∴拋物線方程為：y=﹣(x-1)2+．
令y=0，得(x-1)2=4，∴x=3或-1（舍去）．∴B點的坐標為（3，0），故OB=3 m.
4. C
【解答】∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根，∴2×4+2a+b=0，∴2a+b=-8＜0，故①正確；
∵x=2是方程2x2+ax+b=0的兩個根中較小的根，∴﹣＞2+2，＞2×2，
∴a＜-8，b＞8，∴ab＜0，故②正確；
∵方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，
∴二次函數(shù)y=2x2+ax+b與x軸有兩個交點，且對稱軸在直線x=2的右邊，
∴二次函數(shù)y=2x2+ax+b頂點坐標在第四象限，
向上平移2個單位得到二次函數(shù)y=2x2+ax+b+2，與x軸不一定有交點，
∴關于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根錯誤，故③錯誤；
向下平移2個單位得到二次函數(shù)y=2x2+ax+b-2，頂點坐標一定在第四象限，故④正確；
綜上所述，正確的結論有①②④共3個．
5. D
【解答】∵當ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上方，
∴此時y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，
∴此時y=|ax2+bx+c|的圖象是函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸上方部分的圖象，
∵當ax2+bx+c＜0時，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸下方，
∴此時y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c）
∴此時y=|ax2+bx+c|的圖象是函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸下方部分與x軸對稱的圖象，
∵y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點縱坐標是-3，
∴函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸下方部分與x軸對稱的圖象的頂點縱坐標是3，
∴y=|ax2+bx+c|的圖象如圖，







∵觀察圖象可得當k≠0時，
函數(shù)圖象在直線y=3的上方時，縱坐標相同的點有兩個，
函數(shù)圖象在直線y=3上時，縱坐標相同的點有三個，
函數(shù)圖象在直線y=3的下方時，縱坐標相同的點有四個，
∴若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，
則函數(shù)圖象應該在y=3的上邊，故k＞3.
6.1（在-2＜b＜2范圍內(nèi)的任何一個數(shù)）
【解答】把（0，-3）代入拋物線的解析式得：c=-3，∴y=x2+bx-3，
∵使該拋物線與x軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間，
∴把x=1代入y=x2+bx-3得：y=1+b-3＜0
把x=3代入y=x2+bx-3得：y=9+3b-3＞0，
∴-2＜b＜2，
即在-2＜b＜2范圍內(nèi)的任何一個數(shù)都符合.
7. 3
【解答】設P、Q同時出發(fā)后經(jīng)過的時間為t s，四邊形APQC的面積為S mm2，
則有：S=S△ABC-S△PBQ=×12×24－×4t×(12?2t)
=4t2-24t+144
=4(t-3)2+108．
∵4＞0∴當t=3s時，S取得最小值．

8.(1)依題意：x1+x2=-m，x1x2=m-1，
∵x12+x22+x1x2=7，∴(x1+x2)2-x1x2=7，
∴(-m)2-(m-1)=7，即m2-m-6=0，解得m1=-2，m2=3，
∵c=m-1＜0，∴m=3不合題意，∴m=-2，∴拋物線的解析式是y=x2-2x-3.
(2)能.理由如下：
如圖，設P是拋物線上的一點，連接PO，PC，過點P作y軸的垂線，垂足為D．
若∠POC=∠PCO，則PD應是線段OC的垂直平分線，
∵C的坐標為（0，-3），∴D的坐標為（0，-），
∴P的縱坐標應是- ，
令x2-2x-3=-，解得，x1=，x2=，
∴所求點P的坐標是（，-），（，-）.
9.(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c，經(jīng)過點A（0，-4），∴c=-4，
又∵由題意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx+c的兩個根，∴x1+x2=b，x1x2=6，
由已知得(x2-x1)2=25，
又∵(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=b2-24，∴b2-24=25，解得b=±，
當b=時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴b=﹣．
(2)∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點D必在拋物線的對稱軸上，
又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣(x+)2+，
∴拋物線的頂點（-，）即為所求的點D．
(3)∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為（-6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P必是直線x=-3與拋物線y=﹣x2﹣x﹣4 的交點，
∴當x=-3時，y=﹣×(-3)2﹣×(-3)﹣4=4，
∴在拋物線上存在一點P（-3，4），使得四邊形BPOH為菱形．
四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標只能是（-3，3），但這一點不在拋物線上.
10.(1)∵x1，x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的兩個根，
∴x1+x2=2（m-1），x1?x2=m2-7．
又∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2-2x1x2=10，
∴[2（m-1）]2-2（m2-7）=10，即m2-4m+4=0．解得：m1=m2=2．
將m=2代入方程x2-2（m-1）x+m2-7=0，得：x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3．
∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0）．
(2)因為拋物線與x軸的交點為A（-1，0）、B（3，0），由對稱性可知，頂點M的橫坐標為1，則頂點M的坐標為（1，-4）．
∴ a?b+c＝0
9a+3b+c＝0
a+b+c＝?4
解得：a＝1，b＝?2，c＝?3，
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3．
在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3．∴點C的坐標為（0，-3）．
(3)設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，
則AO=OD=1，DB=2，OC=3，
DM=4，AB=4．
∴S四邊形ACMB=S△ACO+S梯形OCMD+S△DMB
=?AO?CO+（CO+MD）+DB?MD
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．
設P（x0，y0）為拋物線上一點，
則S△PAB=AB?|y0|．
若S△PAB=2S四邊形ACMB，則?AB?|y0|=18，
∴丨y0丨=9，y0=±9．
將y0=9代入y=x2-2x-3中，得x2-2x-3=9，即x2-2x-12=0，
解得：x1=1-，x2=1+．
將y0=-9代入y=x2-2x-3中，得：x2-2x-3=-9，
即x2-2x+6=0．
∵△=（-2）2-4×1×6=-20＜0，
∴此方程無實數(shù)根．
∴符合條件的點P有兩個：P1（1-，9），P2（1+，9）．








五、優(yōu)化提高
1.②④
【解答】∵拋物線與x軸的交點為（1，0）和（x1，0），-2＜x1＜-1，與y軸交于正半軸，
∴a＜0，
∵-2＜x1＜-1，∴﹣＜﹣＜0，∴b＜0，b＞a，故①錯誤，③錯誤；
∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac＞0，∴ac＜b2，故②正確；
∵拋物線與x軸的交點有一個為（1，0），∴a+b+c=0，∴b=-a-c，
∵b＜0，b＞a（已證），∴-a-c＜0，-a-c＞a，∴c＞-a，c＜-2a，
∴-a＜c＜-2a，故④正確，
綜上所述，正確的結論有②④．
2. ∵二次函數(shù)y=-x2+2x-2=-(x-1)2-1，∴開口向下，對稱軸為x=1，
當t+1＜1，即t＜0時，
函數(shù)y的最小值是-t2+2t-2，最大值為-（t+1）2+2（t+1）-2=-t2+1；
當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，
函數(shù)y的最小值是-t2+2t-2，最大值為-1；
當t＞1時，
函數(shù)y的最大值是-t2+2t-2，最小值為-t2+1．
3. 當△ABC為直角三角形時，過C作CE⊥AB于E，則AB=2CE．
∵拋物線與x軸有兩個交點，∴△=b2 -4ac＞0，則|b2-4ac|=b2-4ac．
∵a＞0，∴AB==，
又∵CE=||=，
∴＝2×，
∴＝，
∴b2-4ac＝，
∵b2-4ac＞0，∴b2-4ac=4.
(2)當△ABC為等邊三角形時，
由(1)可知CE=AB，
∴＝×，
∵b2-4ac＞0，∴=，∴b2-4ac=12．
4.(1)∵拋物線y=ax2+bx+8經(jīng)過點A（-6，0），B（4，0），
∴ 36a?6b+8＝0
16a+4b+8＝0
解得a＝﹣，b＝﹣，∴拋物線的解析式是：y=﹣x2﹣x+8．

(2)如圖①，作DM⊥拋物線的對稱軸于點M，設G坐標為（-1，n），
由翻折的性質(zhì)，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），點D為BC的中點，
∴點D的坐標是（2，4），
∴點M的坐標是（-1，4），DM=2-（-1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），∴BC==4，∴BD＝2，
在Rt△GDM中，32+（4-n）2=20，解得n=4±，
∴G點的坐標為（-1，4+）或（-1，4-）．
(3)拋物線y=ax2+bx+8對稱軸上存在F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．
①當CD∥EF，且點E在x軸的正半軸時，如圖②，
由(2)，可得點D的坐標是（2，4），
設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（-1，d），
則 ＝
＝
解得，c＝1，d＝4，∴點F的坐標是（-1，4），E坐標是（1，0）．
②當CD∥EF，且點E在x軸的負半軸時，如圖③
由（2），可得點D的坐標是（2，4），
設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（-1，d），
則 ＝
＝
解得c＝?3 ，d＝?4 ，
∴點F的坐標是（-1，-4），點E的坐標是（-3，0）．
③當CE∥DF時，如圖④，
由(2)，可得點D的坐標是（2，4），
設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（-1，d），
則 ＝
＝
解得c＝3 ，d＝12 ，
∴點F的坐標是（-1，12），點E的坐標是（3，0）．
綜上，可得拋物線y=ax2+bx+8的對稱軸上存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，點F的坐標是（-1，4）、（-1，-4）或（-1，12）．

相關試卷

【重難點講義】浙教版數(shù)學九年級上冊-第04講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式間的關系：

這是一份【重難點講義】浙教版數(shù)學九年級上冊-第04講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式間的關系，文件包含重難點講義浙教版數(shù)學九年級上冊-第04講二次函數(shù)與一元二次方程不等式間的關系原卷版docx、重難點講義浙教版數(shù)學九年級上冊-第04講二次函數(shù)與一元二次方程不等式間的關系解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共30頁， 歡迎下載使用。

【重難點講義】浙教版數(shù)學九年級上冊-第02講 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：

這是一份【重難點講義】浙教版數(shù)學九年級上冊-第02講 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，文件包含重難點講義浙教版數(shù)學九年級上冊-第02講二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系原卷版docx、重難點講義浙教版數(shù)學九年級上冊-第02講二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共36頁， 歡迎下載使用。

浙教版第3章 圓的基本性質(zhì)3.3 垂徑定理精品課時作業(yè)：

這是一份浙教版第3章 圓的基本性質(zhì)3.3 垂徑定理精品課時作業(yè)，共21頁。試卷主要包含了課前檢測，考點梳理，重點突破，經(jīng)典練習，優(yōu)化提高等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

浙教版九年級上冊1.4 二次函數(shù)的應用精品同步達標檢測題

浙教版九年級上冊1.4 二次函數(shù)的應用精品同步達標檢測題
浙教版數(shù)學九年級上冊 第3講、待定系數(shù)法與圖像變換

浙教版數(shù)學九年級上冊 第3講、待定系數(shù)法與圖像變換
浙教版1.1 二次函數(shù)精品課時訓練

浙教版1.1 二次函數(shù)精品課時訓練
九年級上冊1.1 二次函數(shù)精品隨堂練習題

九年級上冊1.1 二次函數(shù)精品隨堂練習題
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
初中數(shù)學浙教版九年級上冊電子課本

1.1 二次函數(shù)

版本： 浙教版

年級： 九年級上冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部