?第3講 待定系數(shù)法與圖像變換
一、課前檢測(cè)
1. 如圖所示，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（　?。?br />
A．y=x2+2x+3 B．y=x2 -2x-3 C．y=x2-2x+3 D．y=x2+2x-3
2. 拋物線y=x2的圖象向上移動(dòng)3個(gè)單位，再向右移動(dòng)4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)
式是（　?。?br /> A．y=(x-3)2+4 B．y=(x-4)2 +3 C．y=(x+3)2-4 D．y=(x+4)2 -3
3. 某二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)（-1，0），（4，0），且它的形狀與y=-x2形狀相同．則
這個(gè)二次函數(shù)的解析式為_(kāi)______________.
4. 在同一平面內(nèi)下列4個(gè)函數(shù)；①y=2(x+1)2-1；②y=2x2 +3；③y=-2x2-1；④y＝x2?1的
圖象不可能由函數(shù)y=2x2 +1的圖象通過(guò)平移變換得到的函數(shù)是___________．（把你認(rèn)為
正確的序號(hào)都填寫(xiě)在橫線上）
5. 將函數(shù)y=3+2x-x2的圖象繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則所得的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為
___________________．
6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正
半軸，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AC、BD、CD．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和四邊形ABCD的面積．

二、考點(diǎn)梳理
考點(diǎn)一、待定系數(shù)法求二次函數(shù)
1. 在用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，要根據(jù)所給條件靈活選擇表達(dá)式.
二次函數(shù)的表達(dá)式有以下三種性質(zhì)：
(1)一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）.
若已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（即任意三對(duì)x，y的取值），通常選取一般式，解方程組
求出三個(gè)待定系數(shù)的值.
(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-m)2+k(a≠0)，頂點(diǎn)(m，k).
若已知圖象的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸或最值，通常選取頂點(diǎn)式.
(3)交點(diǎn)式（兩根式）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
若已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)，通常選取交點(diǎn)式（兩根式）.

考點(diǎn)二、二次函數(shù)圖像的變換
1、平移變換：一般化成頂點(diǎn)式
圖像平移口訣：左加右減，上加下減.
2、對(duì)稱變換：不用化成頂點(diǎn)式
口訣：①關(guān)于X(Y)軸對(duì)稱，X(Y)不變，Y(X)變相反數(shù).
??? ②關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩個(gè)字母都相反.
3、旋轉(zhuǎn)變換：
(1)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，先化成頂點(diǎn)式，再把二次項(xiàng)系數(shù)相反.
(2)繞非頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，先化成頂點(diǎn)式，求出原函數(shù)頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)即新函數(shù)頂點(diǎn)，再把二次項(xiàng)
系數(shù)相反.










三、重點(diǎn)突破
重點(diǎn)一：待定系數(shù)法
例1. 如圖，拋物線y=x2 +bx+8與y軸相交于點(diǎn)A，與過(guò)點(diǎn)A平行于x軸的直線相交于點(diǎn)B
（點(diǎn)B在第二象限），拋物線的頂點(diǎn)C在直線OB上，且點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，對(duì)稱軸與x
軸相交于點(diǎn)D，平移拋物線，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，則平移后的拋物線的解析式為
___________________.

(點(diǎn)撥：把求與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程）
例2. 設(shè)拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)A（0，2），B（4，3），C三點(diǎn)，其中點(diǎn)C在直線
x=2上，且點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1，求拋物線的函數(shù)解析式.





（點(diǎn)撥：根據(jù)點(diǎn)C的位置分情況確定出對(duì)稱軸解析式）
例3. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)x=1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值﹣4，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．
（點(diǎn)撥：待定系數(shù)法）





例4. 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)（-2，0）（1，0），與y軸交于點(diǎn)（0，-4），試
確定該二次函數(shù)的表達(dá)式.





（點(diǎn)撥：待定系數(shù)法）
例5. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且函
數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-6）．求a，b，c的值．
（點(diǎn)撥：二次函數(shù)最值即為頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)）






重點(diǎn)二：圖象變換
例6. 在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y=3x2不動(dòng)，而把x軸、y軸分別向上、向右平移3
個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系中此拋物線的解析式是（　?。?br /> A．y=3(x-3)2+3 B．y=3(x-3)2-3 C．y=3(x+3)2+3 D．y=3(x+3)2-3
（點(diǎn)撥：平移不改變二次函數(shù)二次項(xiàng)的系數(shù)）
例7．把拋物線y=ax2+bx+c向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后與拋物線y=-3x2+6x
重合.求a，b，c的值.






（點(diǎn)撥：圖象右移減、左移加，上移加、下移減）
例8．如圖，拋物線y1=﹣x2+2向右平移1個(gè)單位得到拋物線y2，回答下列問(wèn)題：

（1）拋物線y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)___________；
（2）陰影部分的面積S=___________；
（3）若再將拋物線y2繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y3，求拋物線y3的解析式．
（點(diǎn)撥：二次函數(shù)圖象與幾何變換）




例9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過(guò)P（，5），A（0，2）兩
點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為B，將直線AB沿y軸向下平移兩個(gè)單位得到直線l，直線l
與拋物線的對(duì)稱軸交于C點(diǎn)，求直線l的解析式；
（點(diǎn)撥：考查了二次函數(shù)解析式的確定）










例10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，
（1）求a、b、c的值．
（2）若將該函數(shù)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，求旋轉(zhuǎn)后的解析式；
（3）若將該函數(shù)作關(guān)于x軸對(duì)稱，求軸對(duì)稱后的函數(shù)解析式．
（點(diǎn)撥：待定系數(shù)法）








四、經(jīng)典練習(xí)
A組
（一）選擇題（共1小題）
1. 已知y=2x2的圖象是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單位，
那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（　?。?br /> A．y=2(x-2)2+2 B．y=2(x+2)2-2 C．y=2(x-2)2-2 D．y=2(x+2)2 +2
(二) 填空題（共3小題）
2. 函數(shù)y=ax2的圖象向右移動(dòng)后所得新拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，且新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，
-2），則函數(shù)y=ax2的表達(dá)式為_(kāi)______________．
3. 拋物線y=2(x－2)2－6的頂點(diǎn)為C，已知y=-kx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則這個(gè)一次函數(shù)圖象
與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為_(kāi)__________．
4. 拋物線y=(x-1)2－5先向左、向上均平移2個(gè)單位后，再繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到新的
圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)______________．
（三）解答題（共6小題）
5. 已知一條拋物線與y=3(x－2)2＋1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，求這條拋物線的解析式．






6. 根據(jù)下列條件求y關(guān)于x的二次函數(shù)的解析式：
(1)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）且通過(guò)點(diǎn)（1，10）；
(2)圖象過(guò)點(diǎn)（0，-2）（1，2）且對(duì)稱軸為直線x= .







7. 已知二次函數(shù)y=ax2 +bx+c的圖象經(jīng)過(guò)一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)，
并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并將表達(dá)式化為y=a(x-h)2 +k的形式．










8. 已知二次函數(shù)y=-x2 +2x+m．
（1）如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線AB與這個(gè)二次函數(shù)
圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

9. 已知二次函數(shù)y=ax2 +bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-9）、（1，-8），對(duì)稱軸是y軸．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）將上述二次函數(shù)圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位，設(shè)平移后的圖象與y軸的交點(diǎn)為C，
頂點(diǎn)為P，求△POC的面積．





10. 如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（3）把拋物線向上平移，使得頂點(diǎn)落在x軸上，直接寫(xiě)出兩條拋物線、對(duì)稱軸和y軸圍
成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．

B組
（一）選擇題（共2小題）
1. 一拋物線的形狀、開(kāi)口方向與y=x2－4x＋3相同，頂點(diǎn)在（-2，1），則此拋物線的解
析式為（　　）
A．y=(x-2)2+1 B．y=(x+2)2 -1 C．y=(x+2)2+1 D．y=﹣(x+2)2+1
2. 拋物線y=x2－4x＋3圖象向右平移3個(gè)單位再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為
y=x2＋bx＋c，則b，c的值為（　　）
A．b=-2，c=0 B．b=2，c=2 C．b=-10，c=22 D．b=2，c=-2
（二）填空題（共2小題）
3. 如果一條拋物線經(jīng)過(guò)平移后與拋物線y=﹣x2＋2重合，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2），則它
的解析式為_(kāi)___________________.
4. 一拋物線與x軸的交點(diǎn)是A（-2，0）、B（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，8）．則該拋物線的
解析式為_(kāi)___________；頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________.
（三）解答題（共6小題）
5. 二次函數(shù)y=x2 +bx+c的圖象向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2
的圖象，求b，c．




6. 已知拋物線y=ax2 +bx+c如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象中所給信息完成以下問(wèn)題：
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若該拋物線經(jīng)過(guò)一次平移后過(guò)原點(diǎn)O，請(qǐng)寫(xiě)出一種平移方法，并寫(xiě)出平移后得到的
新拋物線的表達(dá)式．

7. 如圖，已知拋物線C1：y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B
的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1；
（1）求a的值；
（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物
線記為C3，拋物線C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，求拋物線C3
的解析式．






8. 如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A(-8，0)和點(diǎn)B(0，4)，線段
AB的垂直平分線CD交x軸于點(diǎn)C，交于AB于點(diǎn)D.
(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式.
(2)求過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(3)拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最大值還是有最小值？此時(shí)x等于多少？相應(yīng)的最大值或最
小值是多少？



9. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2 +bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，-4），O（0，0），
B（2，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線y=ax2 +bx+c的解析式；
（2）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值．






10. 已知拋物線y=(x－m)2－(x－m)，其中m是常數(shù)．
（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）若該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=．
①求該拋物線的函數(shù)解析式；
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公
共點(diǎn)．









五、優(yōu)化提高
1. 如圖，拋物線y=-x2+2x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)
N，過(guò)頂點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，連結(jié)BE交MN于點(diǎn)F，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為
（-1，0）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）求△EMF與△BNF的面積之比．


2. 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），將線段OC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
120°，得到線段OB．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)C，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PCB是否有
最大值面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PCB的最大面積；若沒(méi)有，
請(qǐng)說(shuō)明理由．






3. 已知拋物線l1：y=ax2-2amx+am2 +2m+1（a＞0，m＞0）的頂點(diǎn)為A，拋物線l2的頂點(diǎn)B在
y軸上，且拋物線l1和l2關(guān)于P（1，3）成中心對(duì)稱．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求l2的解析式和m的值；
（2）設(shè)l2與x軸正半軸的交點(diǎn)是C，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求a的值.



4. 已知A1、A2、A3是拋物線y=x2上的三點(diǎn)，A1B1、A2B2、A3B3分別垂直于x軸，垂足為B1、
B2、B3，直線A2B2交線段A1A3于點(diǎn)C．
（1）如圖，若A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，求線段CA2的長(zhǎng)；
（2）如圖，若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2 -x+1，A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整
數(shù)，其他條件不變，求線段CA2的長(zhǎng)；
（3）若將拋物線y=x2改為拋物線y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù)，其
他條件不變，請(qǐng)猜想線段CA2的長(zhǎng)（用a、b、c表示，并直接寫(xiě)出答案）．






參考答案
一、課前檢測(cè)
1. B
2. B
3. y=-x2+3x+4或y=x2-3x-4
【分析】根據(jù)圖象與x軸交于點(diǎn)（-1，0），（4，0）可設(shè)兩點(diǎn)式解答，根據(jù)形狀與y=-x2形狀相同，可知二次項(xiàng)系數(shù)為-1或1，于是可得二次函數(shù)解析式．
4. ③，④
【分析】找到二次項(xiàng)的系數(shù)不是2的函數(shù)即可．
5.y=x2-2x+5
【分析】先將原拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，將其繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，開(kāi)口大小和頂點(diǎn)坐標(biāo)都沒(méi)有變化，變化的只是開(kāi)口方向，據(jù)此可得出所求的結(jié)論．
6.(1)由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B與C坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得：
4b+c＝12
c＝4
解得：b=2，c=4，
則解析式為y=﹣x2+2x+4.
(2)∵y=﹣x2+2x+4.=﹣(x-2)2+6，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），
則S四邊形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．


三、重點(diǎn)突破
重點(diǎn)一：待定系數(shù)法
例1. y=x2 +6x+8
【解答】當(dāng)x=0時(shí)，y=x2+bx+8=8，則A（0，8），
∵AB∥x軸，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，
當(dāng)y=8時(shí)，x2+bx+8=8，解得x1=0，x2=-b，∴B（-b，8）（b＞0），
∵點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，∴C（﹣b，4），
∵C點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，∴=4，解得b=4或b=-4（舍去），
∴拋物線解析式為y=x2+4x+8=(x+2)2+4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，∴D（-2，0），
設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2+mx+n，
把A（0，8），D（-2，0）代入得
n＝8
4?2m+n＝0
解得m＝6 ，n＝8 ，∴平移后的拋物線解析式為y=x2+6x+8．
例2. y=x2 -x+2或y=﹣x2 +x+2
【解答】∵點(diǎn)C在直線x=2上，且到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1或x=3，
當(dāng)對(duì)稱軸為直線x=1時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+k，
將A（0，2），B（4，3）代入解析式，則
a+k＝2
9a+k＝3
解得a＝，k＝，∴y=(x-1)2+ =x2-x+2.
當(dāng)對(duì)稱軸為直線x=3時(shí)，同理可得y=﹣(x-3)2+=﹣x2 +x+2，
綜上所述，拋物線的函數(shù)解析式為y=x2 -x+2或y=﹣x2 +x+2.
例3. (1)設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-1)2-4，
把（3，0）代入，得a(3-1)2-4=0，解得a=1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=(x-1)2-4.
(2)令y=0，解得x=3或-1，
∴該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0）．
例4.∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)（-2，0）、（1，0），
∴設(shè)該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+2)(x-1)，
又∵二次函數(shù)圖象過(guò)（0，-4），
∴-4=-2a，解得a=2，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2(x+2)(x-1)，即y=2x2+2x-4.

例5. ∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，
∴y=2，則2=x+1，解得：x=1，
∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2），∴拋物線解析式為：y=a(x-1)2+2，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-6），∴-6=a(3-1)2+2，解得：a=-2，
∴y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x，∴a=-2，b=4，c=0．
例6. D
【解答】原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
∵把x軸、y軸分別向上、向右平移3個(gè)單位，∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-3），
設(shè)新拋物線為y=3(x-h)2+k，∴新坐標(biāo)系中此拋物線的解析式是y=3(x+3)2-3．
例7．∵y=-3x2+6x=-3(x-1)2+3，
y=ax2+bx+c=-3(x-1-2)2+3+1=-3(x-3)2+4=-3x2+18x-23，
∴a=-3，b=18，c=-23.
例8．(1)讀圖找到最高點(diǎn)的坐標(biāo)即可．故拋物線y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
(2)把陰影部分進(jìn)行平移，可得到陰影部分的面積即為圖中兩個(gè)方格的面積=1×2= 2 ；
(3)由題意可得：拋物線y3的頂點(diǎn)與拋物線y2的頂點(diǎn)關(guān)于原O成中心對(duì)稱．
∴拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），于是可設(shè)拋物線y3的解析式為：
y=a(x+1)2-2．由對(duì)稱性得a=1，∴y3=(x+1)2 -2．
例9.(1)根據(jù)題意得：
3m+6m+n＝5
n＝2
解得m＝，n＝2，∴拋物線的解析式為：y＝x2+x+2．
(2)由y＝x2+x+2 得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（?，1），
依題意，可得C（?，-1），且直線過(guò)原點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為y=kx，則?k＝?1，解得k＝，∴直線l的解析式為y＝x．
例10.(1)∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則B（6，0），將A、B、C三點(diǎn)代入二次函數(shù)得：
4a?2b+c＝0
4a+2b+c＝4
36a+6b+c＝0
解得：a＝?0.25 ，b＝1 ，c＝3．
(2)旋轉(zhuǎn)后，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=10，A點(diǎn)坐標(biāo)為（14，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（10，-4），
∴點(diǎn)C是頂點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)旋轉(zhuǎn)后的解析式為：y=a(x-10)2-4，∴a(14-10)2-4=0，解得：a=，
∴旋轉(zhuǎn)后的解析式為y＝(x?10)2?4.
(3)若作該函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)，則x=x'，y=y'，
y=-ax2-bx-c=0.25x2-x-3，
∴軸對(duì)稱后的函數(shù)解析式為y＝(x?2)2?4.


四、經(jīng)典練習(xí)
A組
1. B
2. y=-2x2 【分析】先根據(jù)拋物線的平移得到新拋物線的解析式為y=a（x-3）2，再把點(diǎn)（2，-2）代入求出a，即可得到函數(shù)y=ax2的表達(dá)式．
3. 1 【解答】由拋物線y=2(x-2)2-6，得頂點(diǎn)C（2，-6），
把C（2，-6）代入y=-kx+3中，得：-6=-2k+3，解得k=，∴y=-x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為：××3=1．
4. y=-(x+1)2-3
【分析】解題關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)沒(méi)有變化，但拋物線開(kāi)口方向改變了.
5.∵拋物線y=3(x－2)2＋1頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），
（2，1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（2，-1），∴設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a(x－2)2－1，
∵拋物線與二次函數(shù)y=3(x－2)2＋1圖象的形狀相同，方向相反，
∴a=-3，即拋物線表達(dá)式為y=-3(x－2)2－1.
6.(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x+1)2-2，
將（1，10）代入得，a(1+1)2-2=10，解得a=3，
∴該二次函數(shù)的解析式為：y=3(x+1)2-2．
(2)設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），則
c＝?2
a+b+c＝2
﹣＝
解得，a＝?2，b＝6，c＝?2，∴該二次函數(shù)的解析式為：y=-2x2+6x-2.
7. 由y=﹣x+2的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1），
令x=0，得y=2；令y=0，得x=，
∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（0，2），（，0），（1，-1）三點(diǎn)，
把（0，2），（，0），（1，-1）分別代入y=ax2 +bx+c，
得 c＝2
a+b+c＝0
a+b+c＝?1
解得a＝，b＝﹣，c＝2 ，∴所求二次函數(shù)關(guān)系式為y=x2﹣x+2．
∵y=x2﹣x+2=(x-)2 -．∴該二次函數(shù)的y=a(x-h)2+k的形式是y=(x-)2 - ．
8.(1)∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=22+4m＞0，∴m＞-1.
(2)∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），
∴0=-9+6+m，∴m=3，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+2x+3，
令x=0，則y=3，∴B（0，3），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴ 0＝3k+b
3＝b
解得：k＝?1，b＝3，
∴直線AB的解析式為：y=-x+3，
∵拋物線y=-x2+2x+3，的對(duì)稱軸為：x=1，
∴把x=1代入y=-x+3得y=2，∴P（1，2）．
9.∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，即x=0，
∴b=0，即二次函數(shù)解析式為y=ax2 +c，
又二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-9）、（1，-8），
∴ c＝?9
a+c＝?8
解得：a＝1，c＝?9，
則二次函數(shù)的解析式為y=x2 -9.
(2)由平移規(guī)律得：二次函數(shù)向右平移2個(gè)單位的解析式為：
y=(x-2)2-9，即y=x2-4x-5，
令x=0，解得：y=-5，∴C（0，-5），即OC=5，
又平移后拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，9），即P的橫坐標(biāo)為2，
則S△POC=OC?x(P的橫坐標(biāo))=×5×2=5．
10.(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴ c＝3
9a+3b+c＝0
16a+4b+c＝3
解得a＝1，b＝?4，c＝3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2 -1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），對(duì)稱軸為直線x=2.
(3)如圖，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），∴PP′=1，
陰影部分的面積等于平行四邊形A′APP′的面積，
平行四邊形A′APP′的面積=1×2=2，
∴陰影部分的面積=2．




B組
1. C
2. C
【分析】先利用配方法將拋物線y=x2 -4x+3寫(xiě)成頂點(diǎn)式，再根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．
3.y=﹣(x-4)2-2
【分析】一條拋物線經(jīng)過(guò)平移后與拋物線y=-x2+2重合，所以所求拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為a=-，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出表達(dá)式則可．
4. y=2x2+2x-4 （﹣，﹣）
5. 二次函數(shù)函數(shù)y=x2的圖象向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到二次函數(shù)的解析式為y=(x-4)2-2，即y=x2 -8x+14，
∵二次函數(shù)的解析式為y=x2 +bx+c，∴b=-8，c=14．
6.(1)由題意得：
c＝3
9a?3b+c＝0
a+b+c＝0
解得a＝?1，b＝?2，c＝3．∴函數(shù)的解析式為：y=-x2-2x+3.
(2)平移拋物線y=-x2-2x+3，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則平移后的拋物線解析式可為y=-x2-2x．∴向下平移3個(gè)單位，即可得到過(guò)原點(diǎn)O的拋物線．
7.(1)∵點(diǎn)B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，橫坐標(biāo)是1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴當(dāng)x=1時(shí)，0=a(1+2)2-5，∴a＝．
(2)設(shè)拋物線C3解析式為y=a′(x-h)2+k，
∵拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，且C3為C2向右平移得到，∴a′＝﹣，
∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-5），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，5），
∴拋物線C3的解析式為y=﹣(x-2)2＋5=﹣x2＋x+ .

8.(1)直線y=kx+b過(guò)A(-8，0)和點(diǎn)B(0，4) ，
∴ -8k+b=0
b=4
解得k=，b=4，∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x+4.
(2)連結(jié)BC，設(shè)OC=x，∵OA=8，∴AC=8-x，
∵在Rt△BOC中，OB=4，OC=x，BC=AC=8-x，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3,0），
設(shè)所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-x1)(x-x2)，
∵A(-8，0)，C(-3，0)，∴y=a(x+8)(x+3)，
∵B(0，4)，∴4=a(0+8)(0+3)，解得a=，∴y=(x+8)(x+3)，即y=x2+x+4.
(3)a=＞0拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，當(dāng)x=﹣=﹣時(shí)，y最小值=﹣ .
9.(1)把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，得 4a?2b+c＝?4
4a+2b+c＝0
c＝0
解這個(gè)方程組，得a=-，b=1，c=0，∴解析式為y=-x2+x．
(2)由y=-x2+x=-(x-1)2+，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，并且對(duì)稱軸垂直平分線段OB，
∴OM=BM，∴OM+AM=BM+AM，
連接AB交直線x=1于M點(diǎn)，則此時(shí)OM+AM最小，
過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，
在Rt△ABN中，AB===4，
∴OM+AM最小值為4．
10.(1)證明：y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m，
∵△=(2m+1)2-4(m2+m)=1＞0，
∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn).
(2)①∵x=﹣=，∴m=2，∴拋物線解析式為y=x2-5x+6.
②設(shè)拋物線沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則平移后拋物線解析式為y=x2-5x+6+k，
∵拋物線y=x2-5x+6+k與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=52-4(6+k)=0，∴k=，即把該拋物線沿y軸向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．
五、優(yōu)化提高
1.(1)由題意可得：-（-1）2+2×（-1）+c=0，解得：c=3，
∴y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴頂點(diǎn)M（1，4）.
(2)∵A（-1，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)B（3，0），
∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，
∴ =（）2=()2=．
2.(1)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖1所示．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），將線段OC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，
∴OB=OC=3，∠BOD=60°，
∴∠OBD=30°，OD=OB=，BD==，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)C，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx（a≠0），
將點(diǎn)B（，）、C（-3，0）代入y=ax2+bx中，
a+b＝
9a?3b＝0
解得：a＝，b＝，
∴經(jīng)過(guò)C，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x2+x．
(3)假設(shè)存在，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)E，如圖2所示．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0），
將C（-3，0）、B（，）代入y=kx+c，
?3k+c＝0
k+c＝，解得：
k＝，c＝，∴直線BC的解析式為y=x+，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2+m）（-3＜m＜0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m+），
∴S△PBC=PE?（xB-xC）=﹣m2－m+=﹣(m+)2+，
∵﹣＜0，∴當(dāng)m=-時(shí)，S△PBC取最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）．
3. 當(dāng)a=1時(shí)，
∵y=ax2-2amx+am2+2m+1=(x-m)2+2m+1，
∴頂點(diǎn)A（m，2m+1），
又∵P（1，3），設(shè)AB的解析式是y=kx+b，
把點(diǎn)A，P的坐標(biāo)代入得：
2m+1＝km+b ①
3＝k+b ②
①-②，得：2m-2=(m-1)k，
∵m≠1（若m=1，則A，B，P三點(diǎn)重合，不合題意），
∴k=2，b=1，
∴AB的解析式是y=2x+1，得l2的頂點(diǎn)B（0，1），
∵拋物線l1和l2關(guān)于P（1，3）成中心對(duì)稱．
∴拋物線的開(kāi)口大小相同，方向相反，得l2的解析式是：y=-x2+1，
∵點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)P（1，3）成中心對(duì)稱，做PE⊥y軸，于點(diǎn)E，做AF⊥y軸于點(diǎn)F，
則△BPE∽△BAF，所以AF=2PE，即m=2.
(2)在Rt△ABF中，∵AB==2＜5，
∴當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，只有以下兩種情況：
如圖1：若BC=AB=2，則OC==，得C（，0）
∵C（，0）在y=-ax2+1上，∴a=．
(圖1) (圖2)
如圖2：若AC=BC，設(shè)C（X，0），做AD⊥x軸于點(diǎn)D，
在Rt△OBC中，BC2=x2+1，
在Rt△ADC中，AC2=(x-2)2+25，由x2+1=(x-2)2+25，解得：x=7，
∵C（7，0）在y=-ax2+1上，所以a=，
綜上所述，滿足△ABC為等腰三角形a的值有兩個(gè)：a=，a=．

4.(1)方法一：∵A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，
∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32= ，
設(shè)直線A1A3的解析式為y=kx+b．
∴ ＝k+b
＝3k+b
解得k＝2，b＝﹣，∴直線A1A3的解析式為y=2x-，
∴CB2=2×2－＝ ，∴CA2=CB2-A2B2=－2=．
方法二：∵A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，
∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32= ，
由已知可得A1B1∥A3B3，∴CB2=(A1B1+A3B3)=(+）= ，
∴CA2=CB2-A2B2=－2=．
(2)方法一：設(shè)A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為n-1、n、n+1，
則A1B1=(n-1)2 -(n-1)+1，A2B2=n2-n+1，A3B3=(n+1)2-(n+1)+1.
設(shè)直線A1A3的解析式為y=kx+b．
∴ (n?1)k+b＝(n?1)2?(n?1)+1
(n+1)k+b＝(n+1)2?(n+1)+1
解得k＝n?1， b＝﹣n2+，∴直線A1A3的解析式為y=（n-1）x-n2+，
∴CB2=n（n-1）-n2+＝n2-n+ ，
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+－n2+n-1= .
方法二：設(shè)A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為n-1、n、n+1．
則A1B1=(n-1)2－（n-1）+1，A2B2=n2-n+1，A3B3=(n+1)2 -(n+1)+1，
由已知可得A1B1∥A3B3，
∴CB2=(A1B1+A3B3)=[(n-1)2 -(n-1)+1+(n+1)2 -(n+1)+1]=n2-n+，
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-（n2-n+1）=．
(3)當(dāng)a＞0時(shí)，CA2=a；當(dāng)a＜0時(shí)，CA2=-a．

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