?第4講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式間的關(guān)系
考點(diǎn)一：二次函數(shù)與方程的關(guān)系
【知識(shí)點(diǎn)睛】
v 求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)
對于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n、水平直線y＝m:
①當(dāng)求拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)→則令拋物線的y=0，即：ax2+bx+c=0；
②當(dāng)求拋物線與直線y＝kx+n的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)→則聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，得，先求x，[即]，再代入直線解析式求y，(x,y)的對應(yīng)值即為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)；
③當(dāng)求拋物線與水平直線y＝m的交點(diǎn)是→則聯(lián)立兩個(gè)解析式，得
，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入拋物線解析式求y，(x,y)的對應(yīng)值即為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)；
v 判斷拋物線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
對于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n、水平直線y＝m:
①求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)→ax2+bx+c=0
△=b2-4ac，
∴有：△＞0，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△＝0，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△＜0，拋物線與x軸無交點(diǎn)；
②求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n交點(diǎn)個(gè)數(shù)→
整理得：，
∴有：△＞0，拋物線與直線y＝kx+n有2個(gè)交點(diǎn)；
△＝0，拋物線與直線y＝kx+n有1個(gè)交點(diǎn)；
△＜0，拋物線與直線y＝kx+n無交點(diǎn)；
③求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與水平直線y＝m交點(diǎn)個(gè)數(shù)→
整理得：，后續(xù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)方法同上。
v 一元二次方程ax2+bx+c=n的解的幾何意義
將“=”左邊的部分看作拋物線y＝ax2+bx+c，“=”右邊的部分看作水平直線y＝n，則方程ax2+bx+c=n即在兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，所以交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值就是方程的解。
【類題訓(xùn)練】
1．若拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根據(jù)拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，可知Δ＝0，從而可以求得k的值．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得，k＝1，
故選：C．
2．如果a是二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么代數(shù)式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．7 D．9
【分析】令x2﹣x﹣2＝0，求出x的值，從而可得a的值，進(jìn)而求解．
【解答】解：令x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴a＝2或a＝﹣1，
∴（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值為1．
故選：B．
3．在求解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時(shí)，先在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，觀察圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以看作是方程的近似解，分析圖中的信息，方程的近似解是（　?。?br />
A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3
【分析】根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：由圖象可知，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)接近（﹣2，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的近似解是x1＝﹣2，x2＝3，
故選：D．
4．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）的對應(yīng)值如表所示，
x
…
0

4
…
y
…
0.32
﹣2
0.32
…
則方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　?。?br /> A．或 B．或 C．0或4 D．1或5
【分析】利用拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，0.32）得到c＝0.32，根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x＝2，拋物線經(jīng)過點(diǎn)（，﹣2），由于方程ax2+bx+2.32＝0變形為ax2+bx+0.32＝﹣2，則方程ax2+bx+2.32＝0的根理解為函數(shù)值為﹣2所對應(yīng)的自變量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根為x1＝，x2＝4﹣．
【解答】解：由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，0.32）得到c＝0.32，
因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)（0，0.32）、（4，0.32），
所以拋物線的對稱軸為直線x＝2，
而拋物線經(jīng)過點(diǎn)（，﹣2），
所以拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4﹣，﹣2），
所以二次函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+0.32，
方程ax2+bx+2.32＝0變形為ax2+bx+0.32＝﹣2，
所以方程ax2+bx+0.32＝﹣2的根理解為函數(shù)值為﹣2所對應(yīng)的自變量的值，
所以方程ax2+bx+2.32＝0的根為x1＝，x2＝4﹣．
故選：A．
5．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸為直線x＝
C．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0） D．函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以求出拋物線的解析式，然后化為頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，即可判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確．
【解答】解：由表格可得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），
∴該拋物線的開口向下，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
該拋物線的對稱軸是直線x＝，故選項(xiàng)B正確，不符合題意，
∵當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝0，
∴當(dāng)x＝×2﹣（﹣2）＝3時(shí)，y＝0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；
函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；
故選：C．
6．已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2022的值為（　?。?br /> A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】根據(jù)拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），可以得到m2﹣m﹣1＝0，即可得到m2﹣m＝1，然后代入所求式子計(jì)算即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2022
＝1+2022
＝2023，
故選：D．
7．已知拋物線y＝x2+mx的對稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（　?。?br /> A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【分析】根據(jù)拋物線y＝x2+mx的對稱軸為直線x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+mx的對稱軸為直線x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以寫成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故選：D．
8．若方程x2﹣2x﹣t＝0在﹣1＜x≤4范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍為（　　）
A．3＜t≤8 B．﹣1≤t≤3 C．﹣1＜t≤8 D．﹣1≤t≤8
【分析】設(shè)y1＝x2﹣2x，將一元二次方程x2﹣2x﹣t＝0的實(shí)數(shù)根可以看作y1＝x2﹣2x與函數(shù)y2＝t的有交點(diǎn)，再由﹣1＜x≤4的范圍確定y的取值范圍即可求解．
【解答】解：設(shè)y1＝x2﹣2x，
∵y1＝x2﹣2x的對稱軸為直線x＝1，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣t＝0的實(shí)數(shù)根可以看作y1＝x2﹣2x與函數(shù)y2＝t的交點(diǎn)，
∵方程在﹣1＜x≤4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y1＝3；
當(dāng)x＝4時(shí)，y1＝8；
函數(shù)y1＝x2﹣2x在x＝1時(shí)有最小值﹣1；
∴當(dāng)﹣1≤t≤8時(shí)，y1＝x2﹣2x與函數(shù)y2＝t有交點(diǎn)，即方程x2﹣2x﹣t＝0在﹣1≤＜t≤8范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根；
故選：D．
9．已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，有三條拋物線：y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b．則這三條拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況是（　?。?br /> A．三條拋物線中至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
B．三條拋物線中至多有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
C．三條拋物線與x軸都只有一個(gè)交點(diǎn)
D．三條拋物線與x軸都沒有交點(diǎn)
【分析】對于“至少”型的問題，可利用反證法，導(dǎo)出矛盾即可．
【解答】證明：假設(shè)這三條拋物線全部與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或沒有交點(diǎn)，
則有 ，
∵三式相加，整理、化簡得：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc≤0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，
∴a＝b＝c與a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)矛盾，
∴這三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
故選：A．
10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2），（0，3）之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①b＞c；②≤n≤4；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，y1）和點(diǎn)（4，y2），則y1＞y2；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)拋物線過點(diǎn)A以及拋物線對稱軸為x＝1，得出c＝，再根據(jù)圖象圖象可得a＜0，b＞0，c＞0，從而判斷①；根據(jù)拋物線過點(diǎn)A以及拋物線對稱軸為x＝1，可以得出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（3，0），得出a＝﹣，b＝c，從而得出n＝，再根據(jù)2≤c≤3，從而判斷②；根據(jù)拋物線的對稱性可以判斷③；根據(jù)②中n的取值范圍可以判斷④．
【解答】解：由函數(shù)圖象可得a＜0，b＞0，c＞0，
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又∵對稱軸為x＝﹣＝1，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+c＝0，
∴c＝，
∴c＞b，
故①錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
∴＝﹣3，則a＝﹣，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＝c，
∴n＝a+b+c＝c．
∵2≤c≤3，≤c≤4，≤n≤4．
故②正確；
∵拋物線的對稱軸為x＝1，1﹣（﹣3）＝4，4﹣1＝3，
∴y1＜y2，
故③錯(cuò)誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，n），≤n≤4，
∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝3交點(diǎn)個(gè)數(shù)不能確定，
故④錯(cuò)誤．
故選：A．
11．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸向下翻折后，得到新的函數(shù)圖象．若直線y＝m與新的函數(shù)圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＞0 B．0＜m＜4 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4≤m＜0
【分析】利用配方法得到拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），解方程得到﹣x2+2x+3＝0得拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），利用關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)（1，4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（1，﹣4），所以新圖象得解析式為y＝﹣x2+2x+3（x＜﹣1或x＞3），y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1＜x＜3），畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象確定m的范圍．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），
∵點(diǎn)（1，4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（1，﹣4），
如圖，y＝﹣x2+2x+3（x＜﹣1或x＞3），y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1＜x＜3），
∵直線y＝m與新的函數(shù)圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，
∴m的取值范圍是﹣4＜m＜0．
故選：C．
12．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解x的范圍是（　?。?br /> x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【分析】根據(jù)表格中自變量、函數(shù)的值的變化情況，得出當(dāng)y＝0時(shí)，相應(yīng)的自變量的取值范圍即可．
【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，當(dāng)x＝1.1時(shí)，y＝﹣0.49，當(dāng)x＝1.2時(shí)，y＝0.04，
于是可得，當(dāng)y＝0時(shí)，相應(yīng)的自變量x的取值范圍為1.1＜x＜1.2，
故選：B．
13．如圖，已知函數(shù)y＝﹣與y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax2+bx+＝0的解是　x＝﹣3?。?br />
【分析】根據(jù)已知函數(shù)y＝﹣與y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將y＝﹣與y＝ax2+bx聯(lián)立方程組，變形可得ax2+bx+＝0，從而可知ax2+bx+＝0的解就是函數(shù)y＝﹣與y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的圖象交點(diǎn)得橫坐標(biāo)，本題得以解決．
【解答】解：∵點(diǎn)P在函數(shù)y＝﹣上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，
∴1＝，
解得x＝﹣3，
∴函數(shù)y＝﹣與y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的圖象交于點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，1），
∴
可得，，
∴，
解得x＝﹣3．
故答案為：x＝﹣3．
14．已知拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣3和1，若拋物線y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 　（﹣6，0）　．
【分析】由拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)求出拋物線對稱軸，進(jìn)而求解．
【解答】解：∵拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣3和1，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
拋物線y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）是由拋物線向上移動(dòng)m個(gè)單位，拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
∵A，B關(guān)于對稱軸對稱，A坐標(biāo)為（4，0），
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣6，0）．
故答案為：（﹣6，0）．
15．若直線y＝m（m為常數(shù)）與函數(shù)y＝的圖象恒有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則常數(shù)m的取值范圍是　0＜m＜2　．
【分析】根據(jù)已知解析式畫出函數(shù)圖象，進(jìn)而得出常數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：如圖所示：當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2，
故直線y＝m（m為常數(shù)）與函數(shù)y＝的圖象恒有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則常數(shù)m的取值范圍是：0＜m＜2．
故答案為：0＜m＜2．
16．將二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新的圖象，若直線y＝x+b與這個(gè)圖象恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為 　或﹣1?。?br />
【分析】分類討論直線y＝x+b與拋物線y＝﹣x2+6x﹣5相切，直線經(jīng)過拋物線與x軸交點(diǎn)，結(jié)合圖象求解．
【解答】解：當(dāng)直線y＝x+b與拋物線y＝﹣x2+6x﹣5相切時(shí)滿足題意，
令﹣x2+6x﹣5＝x+b，整理得﹣x2+5x﹣5﹣b＝0，
∴Δ＝52﹣4×（﹣1）（﹣5﹣b）＝0，
解得b＝，
令﹣x2+6x﹣5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（5，0），
當(dāng)直線經(jīng)過（1，0）時(shí)符合題意．
將（1，0）代入y＝x+b得0＝1+b，
解得b＝﹣1，
故答案為：或﹣1．
17．已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）若A（﹣1，0），則b＝　?。?br /> （2）若M（﹣1，0），N（1，0），拋物線與線段MN沒有交點(diǎn)，則b的取值范圍為 　?。?br /> 【分析】（1）把A（﹣1，0）代入，即可求得b的值；
（2）由于拋物線開口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故拋物線與線段MN沒有交點(diǎn)，則，解不等式組即可．
【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），
∴﹣b﹣2＝0，
∴b＝﹣，
故答案為：﹣；
（2）∵，Δ＝b2﹣4××（﹣2）＝b2+4＞0，
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∵拋物線開口向上，拋物線與線段MN沒有交點(diǎn)，
∴，即
解得﹣＜b＜，
故答案為：﹣＜b＜．
18．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）的對稱軸為直線x＝﹣1，經(jīng)過A（0，﹣2），B（1，m）兩點(diǎn)，其中m＞0．下列四個(gè)結(jié)論：①a＞；②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根在﹣3和﹣2之間：③點(diǎn)P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在拋物線上，當(dāng)實(shí)數(shù)t＜﹣時(shí)，y1＞y2；④一元二次方程ax2+bx+c＝n，當(dāng)n＞﹣時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中正確的結(jié)論是　①②④?。ㄌ顚懶蛱?hào)）．
【分析】根據(jù)題意a＞0，b＝2a，c＝﹣2，a+b+c＝m＞0，即可得到a+2a﹣2＞0，解得a＞，于是可對①進(jìn)行判斷．利用拋物線的對稱性，可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進(jìn)行判斷；求得最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為＝﹣2﹣a＜﹣，即可得到拋物線與直線y＝﹣有兩個(gè)交點(diǎn)，于是可對④進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）的對稱軸為直線x＝﹣1，經(jīng)過A（0，﹣2），B（1，m）兩點(diǎn)，其中m＞0．
∴b＝2a，c＝﹣2，a+b+c＝m＞0，
∴a+2a﹣2＞0，
∴a＞，故①正確；
由題意可知，拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在0和1之間，
∵對稱軸為直線x＝﹣1，
∴另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在﹣2和﹣3之間，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根在﹣3和﹣2之間，故②正確；
∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，
當(dāng)兩點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，
∵P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在拋物線上，
∴當(dāng)t≤﹣1時(shí)，y1＜y2，
當(dāng)兩點(diǎn)在對稱軸兩側(cè)時(shí)，即t﹣1＜﹣1＜t，
∵t＜﹣，
∵﹣1﹣t+1＞t+1，
∴y1＜y2，故③錯(cuò)誤；
∵y＝ax2+2ax﹣2，a＞，
∴＝＝﹣2﹣a＜﹣，
∴拋物線與直線y＝﹣有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n，當(dāng)n＞﹣時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；
故答案為①②④．
19．已知二次函數(shù)y＝x2+x﹣m的部分圖象如圖所示．
（1）求該二次函數(shù)圖象的對稱軸，并利用圖象直接寫出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
（2）向上平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．

【分析】（1）由對稱軸為直線x＝﹣可得對稱軸為直線x＝﹣，由拋物線經(jīng)過（1，0）及拋物線的對稱性可得拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
（2）由拋物線經(jīng)過原點(diǎn)可得二次函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)為0，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+x﹣m，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣，
∵拋物線經(jīng)過（1，0），
∴拋物線過點(diǎn)（﹣2，0），
∴x2+x﹣m＝0的解為x1＝1，x2＝﹣2．
（2）∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，
∴拋物線解析為y＝x2+x．
20．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)y＝﹣x2+2|x|+3的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整．
（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1

2
3
4
…
y
…
﹣5
0
3

4
3
4

m
0
﹣5
…
其中，m＝　3?。?br /> （2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，直接畫出該函數(shù)的圖象．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說法正確的是?、佗邸。?br /> ①該函數(shù)是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸．
②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)有最小值，當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取得最小值3．
③函數(shù)圖象與直線y＝有4個(gè)交點(diǎn)，所以對應(yīng)的方程﹣x2+2|x|+3＝有4個(gè)實(shí)數(shù)根．
（4）已知函數(shù)y＝﹣x+4的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象．直接寫出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）

【分析】（1）把x＝2代入函數(shù)y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；
（2）用光滑的曲線連接所描的點(diǎn)便可；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象便可判斷；
（4）通過觀察函數(shù)圖象，即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入函數(shù)y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，
∴m＝3，
故答案為：3；
（2）描點(diǎn)，連線得出函數(shù)圖象如圖：

（3）由函數(shù)圖象可知①③正確，
故答案為①③；
（4）由圖象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解為x1＝0.4，x2＝2.6．
考點(diǎn)二：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與一元一次不等式間的關(guān)系
【知識(shí)點(diǎn)睛】
v 利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)和上下關(guān)系，直接確定不等式的解集
常見關(guān)系如下：
①ax2+bx+c＞0的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；
②ax2+bx+c＜0的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；
③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；
④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；
【類題訓(xùn)練】
1．如圖，拋物線y1＝ax2+bx+c與直線y2＝mx+n相交于點(diǎn)（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，則x的取值范圍是（　?。?br />
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1減x＞3
【分析】結(jié)合函數(shù)圖象，寫出拋物線在直線y2＝mx+n上方所對應(yīng)的自變量的范圍．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象，
當(dāng)x＜0或x＞3時(shí)，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集為x＜0或x＞3．
故選：C．
2．若二次函數(shù)y＝﹣x2+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），則不等式﹣x2+b≥0的解集為（　?。?br /> A．﹣2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2或x≥2
【分析】由拋物線經(jīng)過（0，4）可得拋物線解析式，將y＝0代入拋物線解析式可得拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：將（0，4）代入y＝﹣x2+b得b＝4，
∴拋物線y＝﹣x2+4，
將y＝0代入y＝﹣x2+4得0＝﹣x2+4，
解得x1＝﹣2，x2＝2，
∵拋物線開口向下，
∴﹣2≤x≤2時(shí)﹣x2+b≥0，
故選：A．
3．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為﹣1＜x＜3；③8a+c＜0；④a+b≤m（am+b）（m為實(shí)數(shù)），其中正確的個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由拋物線對稱軸可得a與b的關(guān)系從而判斷①；由拋物線經(jīng)過（﹣1，0）及拋物線的對稱軸可得拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷②；由拋物線經(jīng)過（3，0）及a與b的關(guān)系可判斷③；由拋物線在x＝1時(shí)有最小值即可判斷④．
【解答】解：∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正確．
∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線經(jīng)過（3，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集為﹣1＜x＜3．②正確．
∵拋物線經(jīng)過（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴8a+c＞0，③錯(cuò)誤；
∵當(dāng)x＝1時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值最小，即a+b+c≤am2+bm+c（m為實(shí)數(shù)），
∴a+b≤am2+bm＝m（am+b），④正確；
故選：C．
4．已知，一次函數(shù)y1＝kx+m（k≠0）與二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自變量與對應(yīng)的函數(shù)值如表：
x
…
﹣
0
2
3
4
…
y1
…

1
3
4
5
…
y2
…

﹣2
﹣2
4
14
…
當(dāng)y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍是（　　）
A．或x＞3 B．或x＞3 C． D．
【分析】由表格可得一次函數(shù)y隨x增大而增大，二次函數(shù)圖象開口向上，根據(jù)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)求解．
【解答】解：由表格可得直線y1＝kx+m的y隨x增大而正大，
拋物線y2＝ax2+bx+c的y先隨x增大而減小，再隨x增大而增大，
∴拋物線開口向上，
∵兩函數(shù)都經(jīng)過（﹣，），（3，4），
∴當(dāng)﹣＜x＜3時(shí)，y1＞y2．
故選：D．
5．已知二次函數(shù)y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）和y2＝（x﹣a）（x﹣b）（ab≠0）（　　）
A．若﹣1＜x＜1，a＞＞0，則y1＞y2 B．若x＜1，a＞＞0，則y1＞y2
C．若﹣1＜x＜1，＜a＜0，則y1＜y2 D．若x＜﹣1，＜a＜0，則y1＜y2
【分析】由于y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）＝abx2﹣（a+b）x+1，y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），則y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．對于A選項(xiàng)，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由a＞＞0，可得ab＞1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判斷A選項(xiàng)；對于B選項(xiàng)，由x＜1，可知（x+1）（x﹣1）不確定正負(fù)，則y1與y2的大小無法確定，即可判斷B選項(xiàng)；對于C選項(xiàng)，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，即可判斷C選項(xiàng)；對于D選項(xiàng)，由x＜﹣1，可得（x+1）（x﹣1）＞0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判斷D選項(xiàng)．
【解答】解：y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）＝abx2﹣（a+b）x+1，
y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），
∴y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．
對于A選項(xiàng)，
∵﹣1＜x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）＜0，
∵a＞＞0，
∴ab＞1，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，
即y1＜y2，
故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，
∵x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）不確定正負(fù)，
∴y1與y2的大小無法確定，
故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，
∵﹣1＜x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）＜0，
∵＜a＜0，
∴0＜ab＜1，
∴ab﹣1＜0，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，
即y1＞y2，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，
∵x＜﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＞0，
∵＜a＜0，
∴0＜ab＜1，
∴ab﹣1＜0，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，
即y1＜y2，
故D選項(xiàng)正確．
故選：D．
6．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為（　?。?br />
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】由拋物線與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)確定直線在拋物線上方時(shí)x的取值范圍．
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3時(shí)，直線在拋物線上方，即﹣1＜x＜3時(shí)，ax2+c＜mx+n，
∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為﹣1＜x＜3．
故選：C．
7．拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)且a≠0）經(jīng)過A（4，0）、B（m，0）、C（1，n）三點(diǎn)，若m，n滿足：﹣1＜m＜0，n＞0．下列四個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②當(dāng)x＞時(shí)，y隨x增大而減少；③一元二次方程ax2+bx+c＝n的有一個(gè)實(shí)數(shù)根在2和3之間；④不等式ax2+bx+c＞﹣的解集是1＜x＜4．其中正確的結(jié)論是 ?、佗邰堋。ㄌ顚懶蛱?hào)）．
【分析】由拋物線經(jīng)過A（4，0）、B（m，0）、C（1，n），﹣1＜m＜0，n＞0，可得拋物線開口向下，拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝，從而判斷①②，由拋物線經(jīng)過（1，n）及拋物線的對稱性可得拋物線經(jīng)過（3+m，n），從而判斷③，由直線解析式y(tǒng)＝﹣可得直線經(jīng)過（1，n），（4，0），從而判斷④．
【解答】解：∵拋物線與x軸交于A，B，且經(jīng)過點(diǎn)C（1，n），
∴拋物線開口向下，即a＜0，拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，即c＞0，
由A（4，0）、B（m，0）可得拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝，
∵﹣1＜m＜0，
∴＜﹣＜2，
∴b＞0，
∴abc＜0，①正確．
∵＜﹣＜2，拋物線開口向下，
∴x＜時(shí)，y隨x增大而增大，x＞2時(shí)，y隨x增大而減小，
∴②錯(cuò)誤．
∵拋物線經(jīng)過（1，n），拋物線對稱軸為直線x＝，
∴拋物線經(jīng)過（3+m，n），
∵﹣1＜m＜0，
∴2＜3+m＜3，
∴方程ax2+bx+c＝n的有一個(gè)實(shí)數(shù)根在2和3之間，③正確．
由直線解析式y(tǒng)＝﹣可得直線經(jīng)過（1，n），（4，0），
∵拋物線經(jīng)過（1，n），（4，0）且拋物線開口向下，
∴式ax2+bx+c＞﹣的解集是1＜x＜4，④正確．
故答案為：①③④．
8．二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+m的圖象如圖所示，一次函數(shù)y＝kx﹣b的圖象過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（1，0），B（4，3），則滿足（x﹣2）2﹣kx+b+m≤0的x的取值范圍是 　1≤x≤4．?。?br />
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方部分（含交點(diǎn)）的x的取值范圍即可．
【解答】解：由圖可知，1≤x≤4時(shí)，一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方部分（含交點(diǎn)），
所以，滿足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范圍是1≤x≤4．
故答案為：1≤x≤4．
9．如圖，直線y1＝kx+b與拋物線y2＝ax2+bx+c交于點(diǎn)A（﹣2，3）和點(diǎn)B（2，﹣1），若y2＜y1＜0，則x的取值范圍是 　1＜x＜2　．

【分析】通過待定系數(shù)法求出直線解析式，然后求出直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：將（﹣2，3），（2，﹣1）代入y1＝kx+b得，
解得，
∴y1＝﹣x+1，
令﹣x+1＝0，
解得x＝1，
∴直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴1＜x＜2時(shí)，y2＜y1＜0，
故答案為：1＜x＜2．
10．如圖，一次函數(shù)y＝mx+n的圖象與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，d），B（3，e），則mx+n＜ax2+bx+c解集是 　﹣1＜x＜3　．

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的位置關(guān)系求解．
【解答】解：mx+n＜ax2+bx+c體現(xiàn)在圖象上就是一次函數(shù)y＝mx+n的圖象在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的下方．
由圖知，圖象在點(diǎn)A，B之間，
∴﹣1＜x＜3．
故答案為：﹣1＜x＜3．
11．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，﹣1），與直線相交于O、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）直接寫出不等式的解．

【分析】（1）設(shè)拋物線為頂點(diǎn)式，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解．
（2）聯(lián)立拋物線方程與直線方程求解．
（3）由圖象中O，B交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求解．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為y＝a（x﹣1）2﹣1，
將（0，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得0＝a﹣1，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．
（2）令x2﹣2x＝x，
解得x1＝0，x2＝，
將x＝代入y＝x＝，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，）．
（3）由圖象可得0＜x＜時(shí)，拋物線在直線下方，
∴不等式的解為0＜x＜．
12．已知拋物線y＝ax2﹣4ax+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB＝2．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）關(guān)于x的不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集為 　x＜1或＞3　．
（3）點(diǎn)M（x1，y1），點(diǎn)N（x2，y2）是該拋物線上的兩點(diǎn)，若x2﹣x1＝2，試比較y1和y2的大?。?br /> 【分析】（1）先求出對稱軸，由AB＝2求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入計(jì)算即可．
（2）利用拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且拋物線開口向上，即可得到不等式的解集．
（3）根據(jù)拋物線的對稱性得到x1+x2＝4，利用x2﹣x1＝2，求出x1＝1，x2＝3，進(jìn)而判斷y1與y2．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3，
∴對稱軸為直線x＝﹣＝2，
∵拋物線y＝ax2﹣4ax+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB＝2，
∴A（1，0），B（3.0），
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入＝ax2﹣4ax+3，
∴a﹣4a+3＝0，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3．
（2）∵拋物線y＝ax2﹣4ax+3與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且拋物線開口向上，
∴不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集為x＜或x＞3；
故答案為：x＜1或＞3．
（3）∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴當(dāng)點(diǎn)M、N關(guān)于直線x＝2對稱時(shí)，x1+x2＝4，
∵x2﹣x1＝2，
∴x1＝1，x2＝3，
此時(shí)y1＝y(tǒng)2；
當(dāng)x1＜1時(shí)，y1＞y2；
當(dāng)x1＞1時(shí)，y2＞y1．
綜上，當(dāng)x1＝1時(shí)，y1＝y(tǒng)2；
當(dāng)x1＜1時(shí)，y1＞y2；
當(dāng)x1＞1時(shí)，y2＞y1．
13．請閱讀下列解題過程：解一元二次不等式x2﹣3x＜0．
解：設(shè)x2﹣3x＝0，解得：x1＝3，x2＝0；則拋物線y＝x2﹣3x與x軸的交點(diǎn)為（3，0）和（0，0），畫出y＝x2﹣3x的大致圖象；
由圖象可知：當(dāng)0＜x＜3時(shí)，函數(shù)圖象在x軸下方，此時(shí)y＜0，即x2﹣3x＜0；所以一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集為0＜x＜3．
通過上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題思路和方法解答下列問題：
（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的 ?、凇『??、邸?；（只填序號(hào)）
①分類討論思想；②轉(zhuǎn)化思想；③數(shù)形結(jié)合思想．
（2）用類似的方法解x2﹣5x+6＞0的解集為 　x＜2或x＞3　．

【分析】（1）解答過程將求一元二次不等式解集的問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程與二次函數(shù)的問題，并結(jié)合函數(shù)草圖判斷自變量的取值范圍，所以涉及的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合的思想；
（2）先求方程x2﹣5x+6＝0的解，再結(jié)合二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6的大致圖象，根據(jù)圖象在x軸上方的部分確定x的取值范圍即可得不等式的解集．
【解答】解：（1）根據(jù)示例可知，將一元二次不等式解集的問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程與二次函數(shù)的問題，并結(jié)合函數(shù)草圖判斷自變量的取值范圍，所以涉及的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合的思想，
故答案為：②，③；

（2）解一元二次不等式：x2﹣5x+6＞0．
解：設(shè)x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3，則拋物線y＝x2﹣5x+6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）．
畫出二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6的大致圖象（如下圖所示）．由圖象可知：當(dāng)x＜2或x＞3時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸上方，
此時(shí)y＞0，即x2﹣5x+6＞0．
所以一元二次不等式x2﹣5x+6＞0的解集為：x＜2或x＞3．
故答案為：x＜2或x＞3．

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