高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第8章_第2節(jié)_兩條直線的位置關(guān)系（含答案解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系[考綱傳真]　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．課前3.TIF

1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.(2)兩條直線垂直：①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.2．兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．3．三種距離公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|＝點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝1．直線系方程(1)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋λ＝0.2．兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.3．兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.4．過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.5．與對(duì)稱問題相關(guān)的兩個(gè)結(jié)論(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x0,2b－y0)；(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′.[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2. (　　)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1. (　　)(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為. (　　)(4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.????????????? (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為(　　)A.　　　　　　　 B．2－C.－1　　　　 D.＋1C　[由題意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.]3．直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于(　　)A．2　　　　B．－3 C．2或－3　　　D．－2或－3C　[直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有＝≠，故m＝2或－3.故選C.]4．已知直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為________．2　[由題意知a·1－2(3－a)＝0，解得a＝2.]5．直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是________．　[先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋＝0，則兩平行線間的距離為d＝＝課堂3.TIF

兩條直線的平行與垂直1．(2019·梅州月考)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A　[當(dāng)a＝1時(shí)，顯然l1∥l2，若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件．]2．已知經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)P(0，－1)和點(diǎn)Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________．1或0　[l1的斜率k1＝＝a.當(dāng)a≠0時(shí)，l2的斜率k2＝＝.因?yàn)?/span>l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.當(dāng)a＝0時(shí)，P(0，－1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(－2,0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0.][規(guī)律方法]　解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”

易錯(cuò)警示：當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．

兩條直線的交點(diǎn)與距離問題【例1】　(1)求經(jīng)過兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為________. (2)直線l過點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________．(1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)由得∴l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)．設(shè)與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0，則1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.∴所求直線方程為x＋2y－7＝0.(2)法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，有k＝kAB＝－，直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(－1,4)，∴直線l的方程為x＝－1.故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.][規(guī)律方法]　1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法,求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.2.處理距離問題的兩大策略?1?點(diǎn)到直線的距離問題可直接代入點(diǎn)到直線的距離公式去求.?2?動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等，一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)在以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，從而簡化計(jì)算.

(1)當(dāng)0<k<時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2) 若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.(1)B　(2)C　[(1)由得又∵0<k<，∴x＝<0，y＝>0，故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第二象限．(2)因?yàn)?/span>＝≠，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即＝，所以|PQ|的最小值為.]

對(duì)稱問題?考法1　點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題【例2】　(2018·泉州模擬)過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為________．x＋4y－4＝0　[設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.]?考法2　點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題【例3】　如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是(　　) KT19+303.tif

A．3 B．6 C．2 D．2C　[直線AB的方程為x＋y＝4，點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－2,0)，則光線經(jīng)過的路程為|CD|＝＝2.] KT19+304.tif

?考法3　直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題【例4】　(2019·鄭州模擬)直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱的直線方程是(　　)A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0A　[設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x0，y0)，由得由點(diǎn)P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.][規(guī)律方法]　解決兩類對(duì)稱問題的關(guān)鍵,解決中心對(duì)稱問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問題，在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵要抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解.

已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；(3)直線l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線．[解]　(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.????????????? ①又PP′的中點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②由①②得把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7)．(2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關(guān)于l對(duì)稱的直線方程為－－2＝0，化簡得7x＋y＋22＝0.(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點(diǎn)M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)M′(x′，y′)，∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線平行于l，∴k＝3，∴對(duì)稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.

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