新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第8章第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系（含解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

1.結(jié)合斜率公式，判斷兩條直線平行或垂直，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合解方程組求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．結(jié)合距離問題，考查距離公式的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識(shí)]
1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行：
①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.
(2)兩條直線垂直：
①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.
2．兩條直線的交點(diǎn)的求法
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．三種距離公式
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(由平行關(guān)系求直線方程)過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：選A 設(shè)直線方程為x－2y＋c＝0，又經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，故c＝－1，所求直線方程為x－2y－1＝0.
2．(點(diǎn)到直線的距離)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于( )
A.eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1
解析：選C 由題意知eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，∴|a＋1|＝eq \r(2)，又a>0，∴a＝eq \r(2)－1.
3．(點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱)點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是( )
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
解析：選B 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為(x′，y′)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′－b,x′－a)×?－1?＝－1，,\f(x′＋a,2)＋\f(y′＋b,2)＋1＝0，))
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
4．(兩直線的交點(diǎn))過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為__________________．
解析：過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直線方程為x－3y＋4－eq \f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
答案：3x＋19y＝0
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(忽視兩平行直線系數(shù)不一致)平行線3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距離是( )
A.eq \f(8,5) B．2 C.eq \f(11,5) D.eq \f(7,5)
解析：選B 依題意得，所求的距離等于eq \f(|－18－2|,\r(62＋82))＝2.
2．(忽視兩直線重合)若直線l1：x＋y－1＝0與直線l2：x＋a2y＋a＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝________.
解析：因?yàn)橹本€l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠－1，所以a＝1.
答案：1
3．(忽視平行關(guān)系的直線斜率不存在) 已知直線(m＋1)x＋(2m－1)y＝3與(3m－1)x－(2m2－11m＋5)y＝5平行，則實(shí)數(shù)m的值為________．
解析：當(dāng)m≠eq \f(1,2)時(shí)，由直線平行可知eq \f(m＋1,3m－1)＝eq \f(2m－1,－?2m2－11m＋5?)≠eq \f(3,5)，解得m＝－2或m＝3，當(dāng)m＝eq \f(1,2)時(shí)，兩條直線都垂直于x軸也符合．故m＝eq \f(1,2)或m＝－2，或m＝3.
答案：eq \f(1,2)，－2,3
考點(diǎn)一兩直線的平行與垂直
[典題例析]
(1)(多選)直線l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋1＝0，則下列說法正確的是( )
A．若l1∥l2，則m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，則m＝－1
C．若l1⊥l2，則m＝－eq \f(1,2)
D．若l1⊥l2，則m＝eq \f(1,2)
(2)已知直線l1：mx＋y－1＝0與直線l2：(m－2)x＋my－2＝0，則“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的( )
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
(3)已知經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)P(0，－1)和點(diǎn)Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________．
[解析] (1)∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m?m－2?＝3，,m－2≠－1，))
解得m＝－1或m＝3，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，∴A正確．
∵l1⊥l2，∴(m－2)×1＋3m＝0，
解得m＝eq \f(1,2)，∴D正確．
(2)由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件，故選A.
(3)l1的斜率k1＝eq \f(3a－0,1－?－2?)＝a.
當(dāng)a≠0時(shí)，l2的斜率k2＝eq \f(－2a－?－1?,a－0)＝eq \f(1－2a,a).
因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq \f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.
當(dāng)a＝0時(shí)，P(0，－1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(－2，0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2.
綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0.
[答案] (1)AD (2)A (3)1或0
[方法技巧] 由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法
[提醒] 當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(2021·長沙明德中學(xué)模擬)“直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B 若l1∥l2，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m?m＋1?＝6，,4m≠2×?－2?，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－6＝0，,m≠－1，))解得m＝－3或2.
因此“直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的必要不充分條件．
2．已知直線l1：mx＋y＋4＝0和直線l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，則eq \f(m,n)的取值范圍為________．
解析：因?yàn)閘1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因?yàn)閙＞0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(m,m2＋2m)＝eq \f(1,m＋2)，則0＜eq \f(1,m＋2)＜eq \f(1,2)，故eq \f(m,n)的取值范圍為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
3．若直線l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，則實(shí)數(shù)m的值為________．
解析：因?yàn)橹本€l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，則斜率相等或者斜率不存在，－eq \f(1,2m)＝eq \f(3m－1,m)或者m＝0，所以m＝eq \f(1,6)或0.
答案：0或eq \f(1,6)
考點(diǎn)二兩直線的交點(diǎn)與距離問題
[典例] (1)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為________________.
(2)直線l過點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________________．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)．設(shè)與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0，則1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.∴所求直線方程為x＋2y－7＝0.
(2)法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由題意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq \f(1,3)，
∴直線l的方程為y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．
法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，
直線l的方程為y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(－1,4)，
∴直線l的方程為x＝－1.
故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
[答案] (1)x＋2y－7＝0 (2)x＋3y－5＝0或x＝－1
[方法技巧]
1．求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法
求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．
2．利用距離公式解題的注意點(diǎn)
(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；
(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(2020·全國卷Ⅲ)點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：選B 法一：由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離d＝eq \f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq \r(1＋\f(2k,k2＋1)).當(dāng)k＝0時(shí)，d＝1；當(dāng)k≠0時(shí)，d＝eq \r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq \r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k>0且k＋eq \f(1,k)最小，∴當(dāng)k＝1時(shí)，dmax＝eq \r(2)，故選B.
法二：設(shè)點(diǎn)A(0，－1)，直線l：y＝k(x＋1)，由l過定點(diǎn)B(－1,0)，知當(dāng)AB⊥l時(shí)，距離最大，最大值為eq \r(2).
2．(2021·煙臺(tái)調(diào)研)若直線l與兩直線y＝1，x－y－7＝0分別交于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)是P(1，－1)，則直線l的斜率是( )
A．－eq \f(2,3) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
解析：選A 由題意，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)－1，
分別與y＝1，x－y－7＝0聯(lián)立，解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)＋1，1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k－6,k－1)，\f(－6k＋1,k－1)))，又因?yàn)镸N的中點(diǎn)是P(1，－1)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\f(2,k)＋1＋\f(k－6,k－1),2)＝1，,\f(1＋\f(－6k＋1,k－1),2)＝－1，))解得k＝－eq \f(2,3).
3．已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是__________．
解析：當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大．因?yàn)锳(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以兩平行直線的斜率k＝－eq \f(1,2)，所以直線l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
考點(diǎn)三兩直線的對(duì)稱問題
考法(一) 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
[例1] 過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為____________________．
[解析] 設(shè)直線l1與直線l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，
則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，
所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.
[答案] x＋4y－4＝0
[方法技巧]
若點(diǎn)M(x1，y1)和點(diǎn)N(x，y)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．
考法(二) 點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱
[例2] 已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________________．
[解析] 設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－?－3?)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0.))即M′(1,0)．
又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，
所以所求直線的方程為eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，
即6x－y－6＝0.
[答案] 6x－y－6＝0
[方法技巧]
1．若點(diǎn)A(a，b)與點(diǎn)B(m，n)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)對(duì)稱，則直線Ax＋By＋C＝0垂直平分線段AB，即有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
2．幾個(gè)常用結(jié)論
(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．
(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．
(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．
考法(三) 線關(guān)于線對(duì)稱
[例3] 直線l1：2x＋y－4＝0關(guān)于直線l：x－y＋2＝0對(duì)稱的直線l2的方程為________．
[解析] 法一：解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得直線l1與直線l的交點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,3))).
在直線l1上取一點(diǎn)B(2,0)，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C(x，y)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋2,2)－\f(y,2)＋2＝0，,\f(y,x－2)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4，))即C(－2,4)．
又直線l2過Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,3)))和C(－2,4)兩點(diǎn)，
故由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為eq \f(y－4,\f(8,3)－4)＝eq \f(x＋2,\f(2,3)＋2)，
即x＋2y－6＝0.
法二：設(shè)M(x0，y0)是直線l1上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為N(x，y)，
則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))，直線MN的斜率為eq \f(y－y0,x－x0).
由題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,\f(y－y0,x－x0)＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝y(tǒng)－2，,y0＝x＋2.))因?yàn)镸(x0，y0)在直線l1上，
所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0，
所以直線l2的方程為x＋2y－6＝0.
[答案] x＋2y－6＝0
[方法技巧]
求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2，有兩種處理方法：
(1)在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程．
(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程．
考法(四) 線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
[例4] 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)，則直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線m的方程為________________．
[解析] 在直線l上取兩點(diǎn)B(1,1)，C(10,7)，B，C兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，
所以直線m的方程為eq \f(y＋11,－5＋11)＝eq \f(x＋12,－3＋12)，
即2x－3y－9＝0.
[答案] 2x－3y－9＝0
[方法技巧]
直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決，也可考慮利用兩條對(duì)稱直線是相互平行的，并利用對(duì)稱中心到兩條直線的距離相等求解．
創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法
活用直線系方程解決求直線問題
類型(一) 過直線交點(diǎn)的直線系方程
[例1] 已知兩條直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)為P，求過點(diǎn)P且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．
[解] 法一：解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
故P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，因?yàn)橹本€l與3x－4y＋5＝0垂直，
所以直線l的方程為y－2＝－eq \f(4,3)x，
即4x＋3y－6＝0.
法二：設(shè)所求直線l的方程為：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因?yàn)橹本€l與l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直線l的方程為4x＋3y－6＝0.
[名師微點(diǎn)]
解決本例的方法一般有：一是通過聯(lián)立方程組求交點(diǎn)，再結(jié)合兩直線垂直這一條件，求直線l的方程；二是利用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程求解，即過兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)，恰當(dāng)使用直線系方程可簡化運(yùn)算．
類型(二) 平行直線系方程
[例2] 過點(diǎn)A(1，－4)且與直線2x＋3y＋5＝0平行的直線方程為________________．
[解析] 設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由題意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直線方程為2x＋3y＋10＝0.
[答案] 2x＋3y＋10＝0
[名師微點(diǎn)]
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0平行時(shí)，可設(shè)所求直線為Ax＋By＋λ＝0(λ為參數(shù)，且λ≠C)，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．
類型(三) 垂直直線系方程
[例3] 經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程為________________．
[解析] 因?yàn)樗笾本€與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線方程為x－2y＋c＝0，又直線過點(diǎn)A(2,1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直線方程為x－2y＝0.
[答案] x－2y＝0
[名師微點(diǎn)]
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直時(shí)，可設(shè)所求直線為Bx－Ay＋λ＝0(λ為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．
類型(四) 直線系方程的應(yīng)用
[例4] 求過直線2x＋7y－4＝0與7x－21y－1＝0的交點(diǎn)，且和A(－3,1)，B(5,7)等距離的直線方程．
[解] 設(shè)所求直線方程為2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，
由點(diǎn)A(－3,1)，B(5,7)到所求直線等距離，可得
eq \f(|?2＋7λ?×?－3?＋?7－21λ?×1－4－λ|,\r(?2＋7λ?2＋?7－21λ?2))
＝eq \f(|?2＋7λ?×5＋?7－21λ?×7－4－λ|,\r(?2＋7λ?2＋?7－21λ?2))，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，
解得λ＝eq \f(29,35)或λ＝eq \f(1,3)，
所以所求的直線方程為21x－28y－13＝0或x＝1.
eq \a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測])
一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
解析：選D 由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故選D.
2．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A 若兩直線平行，則a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是兩直線平行的充分不必要條件．
3．已知A(4，－3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(－2,5)，則直線l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
解析：選B 由題意得AB的中點(diǎn)C為(1,1)，又A，B兩點(diǎn)連線的斜率為kAB＝eq \f(5＋3,－2－4)＝－eq \f(4,3)，所以直線l的斜率為eq \f(3,4)，因此直線l的方程為y－1＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故選B.
4．直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程是( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：選A 在所求直線上任取一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′(x，－y)在已知的直線3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故選A.
5．已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是( )
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
解析：選D 由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為
eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0,10]．
6．經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為__________．
解析：過兩直線交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它與直線x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－eq \f(1,4)，
故所求直線為x－y＝0.
答案：x－y＝0
二、綜合練——練思維敏銳度
1．直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能確定
解析：選C 直線2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直線x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq \f(1,2)，則k1≠k2，且k1k2≠－1.故選C.
2．三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個(gè)三角形，則k的取值范圍是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
解析：選C 由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0與x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，則k＝－10.故若l1，l2，l3能構(gòu)成一個(gè)三角形，則k≠±5且k≠－10.故選C.
3．(多選)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為( )
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
解析：選BD 設(shè)直線l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題知：d1＝eq \f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)).因?yàn)閑q \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq \f(13,3)，即直線l為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
4．若直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為eq \r(10)，則m＝( )
A．7 B.eq \f(17,2)
C．14 D．17
解析：選B 直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，
即2x＋6y＋2m＝0，
因?yàn)樗c直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為eq \r(10)，
所以eq \f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq \r(10)，求得m＝eq \f(17,2).
5．直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點(diǎn)M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
解析：選D 由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直線2x＋3y－6＝0上，設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，則eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程為2x＋3y＋12＝0，故選D.
6．兩條平行線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1,2)，Q(2，－3)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是( )
A．(5，＋∞) B．(0,5]
C．(eq \r(34)，＋∞) D．(0，eq \r(34) ]
解析：選D 當(dāng)PQ與平行線l1，l2垂直時(shí)，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為eq \r(?－1－2?2＋[2－?－3?]2)＝eq \r(34)，∴l(xiāng)1，l2之間距離的取值范圍是(0，eq \r(34) ]．
7．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n等于( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(36,5)
C.eq \f(28,3) D.eq \f(32,3)
解析：選A 由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq \f(34,5).
8．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是 (－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：選C 設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x，y)．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))即A′(4，－2)，
∴直線A′C即BC所在直線的方程為
y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.
又知點(diǎn)C在直線y＝2x上，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))則C(2,4)，故選C.
9.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP的長度為( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
解析：選D 以AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0，設(shè)P(t,0)(0

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