?第五節(jié)　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
[考綱傳真]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題．

1．直線與平面垂直
(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
(2)判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．
(3)推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．
(4)直線和平面垂直的性質(zhì)：
①垂直于同一個平面的兩條直線平行．
②直線垂直于平面，則垂直于這個平面內(nèi)的任一直線．
③垂直于同一條直線的兩平面平行．
2．直線和平面所成的角
(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角．
(2)當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.
(3)直線和平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°.
3．二面角的有關(guān)概念
(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范圍是0°≤θ≤180°.
4．平面與平面垂直
(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直


?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

?l⊥α


1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
2．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．
3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．
4．過一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
5．過一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的 打“×”)
(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α. (　　)
(2)垂直于同一個平面的兩平面平行． (　　)
(3)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行． (　　)
(4)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．“直線a與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的(　　)
A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
B　[根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分條件．故選B.]
3．(教材改編)設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β.(　　)
A．若l⊥β，則α⊥β　　　　 B．若α⊥β，則l⊥m
C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m
A　[∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．]
4．如圖所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角
三角形的個數(shù)為________．

4　[∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
則△PAB，△PAC為直角三角形．
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC.
因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]
5．邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為________．
a　[如圖所示，取BD的中點O，連接A′O，CO，
則∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角．

即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，
∴A′C＝＝a，
即折疊后AC的長(A′C)為a.]


直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
?考法1　直線與平面垂直的判定
【例1】　(2018·全國卷Ⅱ)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點．

(1)證明：PO⊥平面ABC；
(2)若點M在棱BC上，且MC＝2MB，求點C到平面POM的距離．
[解]　(1)證明：因為AP＝CP＝AC＝4，O為AC的中點，
所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2.
連接OB.因為AB＝BC＝AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB?平面ABC，AC?平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM，垂足為H.

又由(1)可得OP⊥CH，OP?平面POM，OM?平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.
故CH的長為點C到平面POM的距離．
由題設(shè)可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.
所以O(shè)M＝，CH＝＝.
所以點C到平面POM的距離為.
?考法2　直線與平面垂直的性質(zhì)
【例2】　(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
[證明]　(1)在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因為平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因為AC?平面ABC，
所以AD⊥AC.
[規(guī)律方法]　1.證明直線與平面垂直的常用方法
(1)利用線面垂直的判定定理．
(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”．
(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直”．
(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理．
2．證明線線垂直的常用方法
(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系．
(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)．
(3)利用勾股定理的逆定理．
(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì)．

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：

(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[證明]　(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，
CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.
又PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

面面垂直的判定與性質(zhì)

【例3】　(2018·全國卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA.

(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q-ABP的體積．
[解]　(1)證明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.
又BA⊥AD，且AC?平面ACD，AD?平面ACD，
AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.

又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足為E，則QEDC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin 45°＝1.
[規(guī)律方法]　證明面面垂直的2種方法
(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決，
注意：三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化


(2018·江蘇高考)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.
求證：(1)AB∥平面A1B1C；

(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
[證明]　(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因為AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．
又因為AA1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，
因此AB1⊥A1B.
又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC.
又因為A1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.
因為AB1?平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.


垂直關(guān)系中的存在性問題
【例4】　如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.

(1)求三棱錐P-ABC的體積；
(2)在線段PC上是否存在一點M，使得AC⊥BM，若存在求的值，并說明理由．
[解]　(1)由題設(shè)AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝.
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱錐P-ABC的高，
又PA＝1，
所以三棱錐P-ABC的體積
V＝·S△ABC·PA＝.
(2)在線段PC上存在一點M，使得AC⊥BM，此時＝.

證明如下：如圖，在平面PAC內(nèi)，過點M作MN∥PA交AC于N，連接BN，BM.
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，
所以MN⊥AC.
由MN∥PA知＝＝.
所以AN＝，
在△ABN中，BN2＝AB2＋AN2－2AB·ANcos∠BAC＝12＋－2×1××＝，
所以AN2＋BN2＝AB2，
即AC⊥BN.
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM?平面MBN.
所以AC⊥BM.
[規(guī)律方法]　1.對命題條件探索性的主要途徑：
(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；
(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.
2.平行(垂直)中點的位置探索性問題：一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點.

如圖，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，DC＝2AB＝2，DA＝.

(1)線段BC上是否存在一點E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，請給出的值，并進行證明；若不存在，請說明理由．
(2)若PD＝，線段PC上有一點F，且PC＝3PF，求三棱錐A-FBD的體積．
[解]　(1)存在線段BC的中點E，使平面PBC⊥平面PDE，即＝1.證明如下：
連接DE，PE，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝1，DA＝，∴BD＝DC＝2，
∵E為BC的中點，∴BC⊥DE，
∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∵DE∩PD＝D，∴BC⊥平面PDE，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDE.
(2)∵PD⊥平面ABCD，且PC＝3PF，

∴點F到平面ABCD的距離為PD＝，
∴三棱錐A-FBD的體積VA-FBD＝VF-ABD＝×S△ABD×＝××1××＝.

平面圖形的翻折問題
【例5】　如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.

圖1　　　　　　　　圖2
(1)證明：CD⊥平面A1OC；
(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36，求a的值．
[解]　(1)證明：在題圖1中，連接EC(圖略)，
因為AB＝BC＝AD＝a，
E是AD的中點，∠BAD＝，所以BE⊥AC.
即在題圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
從而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱錐A1-BCDE的高．
由題圖1知，A1O＝AO＝AB＝a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1-BCDE的體積為V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.
[規(guī)律方法]　平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.
(2018·鄂州模擬)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EF∥BC，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小為60°.
(1)求證：EF⊥PB；
(2)當點E為線段AB的靠近B點的三等分點時，求四棱錐P-EBCF的側(cè)面積．

[解]　(1)證明：在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3，∴BC⊥AB.
∵EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有EF⊥PE，EF⊥BE，
∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB.
(2)∵EF⊥PE，EF⊥BE，∴∠PEB是二面角P-EF-B的平面角，
∴∠PEB＝60°，又PE＝2，BE＝1，由余弦定理得PB＝，
∴PB2＋BE2＝PE2，∴PB⊥BE，∴PB，BC，BE兩兩垂直，
又EF⊥PE，EF⊥BE，
∴△PBE，△PBC，△PEF均為直角三角形．
由△AEF∽△ABC可得，EF＝BC＝2，
S△PBC＝BC·PB＝，S△PBE＝PB·BE＝，S△PEF＝EF·PE＝2.
在四邊形BCFE中，過點F作BC的垂線，垂足為H(圖略)，則FC2＝FH2＋HC2＝BE2＋(BC－EF)2＝2，∴FC＝.
在△PFC中，F(xiàn)C＝，PC＝＝2，PF＝＝2，
由余弦定理可得cos∠PFC＝＝－，
則sin∠PFC＝，S△PFC＝PF·FCsin∠PFC＝.
∴四棱錐P-EBCF的側(cè)面積為S△PBC＋S△PBE＋S△PEF＋S△PFC＝2＋2＋.

1．(2018·全國卷Ⅲ)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點．
(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由．
[解]　(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)當P為AM的中點時，MC∥平面PBD.
證明如下：如圖，連接AC交BD于O.

因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC中點．連接OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP.MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.
2．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。

(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．
[解]　(1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)如圖，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E.
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，
可得PE⊥平面ABCD.

設(shè)AB＝x，則由已知可得
AD＝x，PE＝x.
故四棱錐P-ABCD的體積
VP-ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
由題設(shè)得x3＝，故x＝2.
從而結(jié)合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.
可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為
PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.

相關(guān)教案

新高考數(shù)學一輪復(fù)習精品教案第33講 直線方程（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學一輪復(fù)習精品教案第33講 直線方程（含解析），共43頁。教案主要包含了知識點總結(jié)，典型例題，技能提升訓練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學一輪復(fù)習教案 第8章_第4節(jié)_直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（含答案解析）：

這是一份高考數(shù)學一輪復(fù)習教案 第8章_第4節(jié)_直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（含答案解析），共9頁。

高考數(shù)學一輪復(fù)習教案 第8章_第2節(jié)_兩條直線的位置關(guān)系（含答案解析）：

這是一份高考數(shù)學一輪復(fù)習教案 第8章_第2節(jié)_兩條直線的位置關(guān)系（含答案解析），共7頁。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

高考數(shù)學一輪復(fù)習教案 第8章_第1節(jié)_直線的傾斜角與斜率、直線方程（含答案解析）

高考數(shù)學一輪復(fù)習教案 第8章_第1節(jié)_直線的傾斜角與斜率、直線方程（含答案解析）
高考數(shù)學一輪復(fù)習教案 第7章_第4節(jié)_直線、平面平行的判定及其性質(zhì)（含答案解析）

高考數(shù)學一輪復(fù)習教案 第7章_第4節(jié)_直線、平面平行的判定及其性質(zhì)（含答案解析）
高中數(shù)學高考第5節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 教案

高中數(shù)學高考第5節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 教案
高考數(shù)學一輪復(fù)習總教案：10.5　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

高考數(shù)學一輪復(fù)習總教案：10.5　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部