高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第2章_第9節(jié)_函數(shù)模型及其應(yīng)用（含答案解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

第九節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用[考綱傳真]　1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用．課前3.TIF

1．常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函數(shù)模型：y＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)．(3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．2．三種函數(shù)模型之間增長(zhǎng)速度的比較　　函數(shù)性質(zhì)　　y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有logax＜xn＜ax3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如下： RJA82.TIF

[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大． (　　)(2)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快． (　　)(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0. (　　)(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．已知某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到(　　)A．100只　　B．200只　　C．300只　　D．400只B　[由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，當(dāng)x＝8時(shí)，y＝100log3 9＝200.]3．(教材改編)在某種新型材料的研制中，試驗(yàn)人員獲得了下列一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(　　)x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2x B．y＝log2xC．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos xB　[由表格知當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求；B中y＝log23∈(1,2)，符合要求；C中y＝(32－1)＝4，不合要求；D中y＝2.61cos 3＜0，不合要求，故選B.]4．一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為(　　) RJA83.TIF

B　[由題意h＝20－5t,0≤t≤4.結(jié)合圖象知應(yīng)選B.]5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為________．－1　[設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝－1.] 課堂3.TIF

用函數(shù)圖象刻畫變化過程 1-73.tif

1．某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是(　　) RJA84.TIF

A　　　　　B　　　　　C　　　　DA　[前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越快，說明呈高速增長(zhǎng)，只有A、C圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，產(chǎn)品的總產(chǎn)量應(yīng)呈直線上升，故選A.]2．物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價(jià)，我國某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)測(cè)，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是(　　) KT19+51.TIF

B　[由運(yùn)輸效率逐步提高，可得曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，故選B.]3．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(　　) KT19+52.TIF

A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D　[根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項(xiàng)D對(duì)．][規(guī)律方法]　判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法：?1?構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.?2?驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例1】　某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②.(注：利潤和投資單位：萬元) RJA87.TIF

①　　　　　　　　　　②(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？②問：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？[解]　(1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6，所以總利潤y＝8.25萬元．②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤為y萬元．則y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.令＝t，t∈[0,3]，則y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.所以當(dāng)t＝4時(shí)，ymax＝＝8.5，此時(shí)x＝16,18－x＝2.所以當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤為8.5萬元．[規(guī)律方法]　求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)：?1?認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).?2?根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).?3?利用該模型求解實(shí)際問題.易錯(cuò)警示：解決實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍.

某實(shí)驗(yàn)員在培養(yǎng)皿中滴入了含有10個(gè)某種真菌的實(shí)驗(yàn)液，約1小時(shí)后培養(yǎng)真菌數(shù)目繁殖為原來的2倍．經(jīng)測(cè)量知該真菌的繁殖規(guī)律為y＝10eλt，其中λ為常數(shù)，t表示時(shí)間(單位：小時(shí))，y表示真菌個(gè)數(shù)．經(jīng)過8小時(shí)培養(yǎng)，真菌能達(dá)到的個(gè)數(shù)為(　　)A．640　　　　　　 B．1 280C．2 560 D．5 120C　[原來的細(xì)菌數(shù)為10，由題意可得，在函數(shù)y＝10eλt中，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝20，∴20＝10eλ，即eλ＝2，y＝10eλt＝10·2t.若t＝8，則可得此時(shí)的細(xì)菌數(shù)為y＝10×28＝2 560，故選C.]

構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題?考法1　構(gòu)建二次函數(shù)模型【例2】　某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是(　　)A．[4,8] B．[6,10]C．[4%,8%] D．[6%,10%]A　[根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需×160×R%整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．]?考法2　構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型【例3】　(2019·長(zhǎng)春模擬)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年B　[根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長(zhǎng)的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個(gè)等比數(shù)列{an}，其中，首項(xiàng)a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得n－1＞，又≈＝3.8，則n＞4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.] 1-75.tif

?考法3　構(gòu)建分段函數(shù)模型【例4】　提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí))[解]　(1)由題意，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝(2)依題意并由(1)可得f(x)＝當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1 200；當(dāng)20＜x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x)≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立．所以當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值.綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時(shí)．[規(guī)律方法]　構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實(shí)際問題對(duì)變量的限制.

(1)(2017·北京高考)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則下列各數(shù)中與最接近的是(　　)(參考數(shù)據(jù)：lg 3≈0.48)A．1033 B．1053C．1073 D．1093(2)某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價(jià)收費(fèi))；超過3 km但不超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另外每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了________km.(1)D　(2)9　[(1)由題意知，lg ＝lg ＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，所以與最接近的是1093.故選D.(2)設(shè)出租車行駛了x km，付費(fèi)y元，由題意得y＝當(dāng)x＝8時(shí)，y＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6，得x＝9.]

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