第十節(jié)　導(dǎo)數(shù)的概念及運算[考綱傳真]　1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．課前3.TIF1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)：①定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝＝②幾何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝3.導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．1．曲線y＝f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P(x0，y0)不一定為切點．2．直線與二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)相切只有一個公共點；直線與非二次曲線相切，公共點不一定只有一個．3．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．[基礎(chǔ)自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同． (　　)(2)求f′(x0)時，可先求f(x0)再求f′(x0)． (　　)(3)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點． (　　)(4)若f(a)＝a3＋2ax－x2，則f′(a)＝3a2＋2x. (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改編)有一機(jī)器人的運動方程為s(t)＝t2＋(t是時間，s是位移)，則該機(jī)器人在時刻t＝2時的瞬時速度為(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.D　[由題意知，機(jī)器人的速度方程為v(t)＝s′(t)＝2t－，故當(dāng)t＝2時，機(jī)器人的瞬時速度為v(2)＝2×2－＝.]　3．函數(shù)y＝xcos x－sin x的導(dǎo)數(shù)為(　　)A．xsin x      B．－xsin x   C．xcos x   D．－xcos xB　[y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，故選B.]4．若f(x)＝xex，則f′(1)＝________.2e　[f′(x)＝ex＋xex，則f′(1)＝e1＋e1＝2e.]5．曲線y＝在點M(π，0)處的切線方程為________．x＋πy－π＝0　[y′＝，則y′|x＝π＝＝－，則切線方程為y＝－(x－π)，即x＋πy－π＝0.]課堂3.TIF題型1.TIF導(dǎo)數(shù)的計算1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，則x0等于(　　)A．e2　　　B．1　　　C．ln 2　　　D．eB　[f′(x)＝2 018＋ln x＋1＝2 019＋ln x，則f′(x0)＝2 019＋ln x0＝2 019，解得x0＝1，故選B.]2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________.－4　[f′(x)＝2x＋2f′(1)，則f′(1)＝2＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2所以f′(x)＝2x－4，則f′(0)＝－4.]3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝；(2)y＝x－sincos ；(3)y＝x2ex－1.[解]　(1)y′＝′＝＝－.(2)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.(3)∵y＝e－1x2ex，∴y′＝e－1(2x·ex＋x2ex)＝ex－1(x2＋2x)．[規(guī)律方法]　導(dǎo)數(shù)運算的常見形式及其求解方法連乘積形式先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)公式形式觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)對數(shù)形式先化為和、差的形式，再求導(dǎo)根式形式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)含待定系數(shù)如含f′(x0)，a，b等的形式，先將待定系數(shù)看成常數(shù)，再求導(dǎo) 題型2.TIF導(dǎo)數(shù)的幾何意義2018-Ⅰ-6文.tif?考法1　求切線方程【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為(　　)A．y＝－2x　　　　　 B．y＝－xC．y＝2x   D．y＝x(2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為________．(1)D　(2)x－y－1＝0　[(1)因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝x.(2)∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，∴設(shè)切點為(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.∴由解得x0＝1，y0＝0.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.]?考法2　求切點坐標(biāo)【例2】　設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2.若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為x＋y＝0，則點P的坐標(biāo)為(　　)A．(0,0)   B．(1，－1)C．(－1,1)   D．(1，－1)或(－1,1)D　[由f(x)＝x3＋ax2得f′(x)＝3x2＋2ax，記y0＝f(x0)，由題意可得由①②可得x＋ax＝－x0，即x0(x＋ax0＋1)＝0.④由③可得3x＋2ax0＋1＝0.⑤由⑤可得x0≠0，所以④式可化為x＋ax0＋1＝0.⑥由⑤⑥可得x0＝±1，代入②式得或即P(1，－1)或P(－1,1)．故選D.]?考法3　求參數(shù)的值【例3】　(1)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))處的切線與直線x＋y－1＝0垂直，則a＝(　　)A．1　　　　B．－1   C．2　　　　D．－2(2)已知直線y＝x＋b與曲線y＝－x＋ln x相切，則b的值為(　　)A．2　　　　　　　　　　 B．－1C．－   D．1(1)C　(2)B　[(1)f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1.因為f(x)在(0，f(0))處的切線與直線x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2.(2)設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，y′＝－＋，則y′|x＝x0＝－＋，由－＋＝得x0＝1，切點坐標(biāo)為，又切點在直線y＝x＋b上，故－＝＋b，得b＝－1，故選B.][規(guī)律方法]　導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用類型及求解思路?1?已知切點A?x0，f?x0??求斜率k，即求該點處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′?x0?.?2?若求過點P?x0，y0?的切線方程，可設(shè)切點為?x1，y1?，由求解即可.?3?已知斜率k，求切點A?x1，f?x1??，即解方程f′?x1?＝k.?4?函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.跟蹤練習(xí).TIF (1)若曲線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標(biāo)是________．(2)直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1,3)，則2a＋b的值等于________．(1)(e，e)　(2)1　[(1)由題意得y′＝ln x＋1，直線2x－y＋1＝0的斜率為2.設(shè)P(m，n)，則1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即點P的坐標(biāo)為(e，e)．(2)依題意知，y′＝3x2＋a，則由此解得所以2a＋b＝1.]真題3.TIF2018-Ⅱ-13文.tif1．(2018·全國卷Ⅱ)曲線y＝2ln x在點(1,0)處的切線方程為________．y＝2x－2　[由題意知，y′＝，所以曲線在點(1,0)處的切線斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切線方程為y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.]2．(2015·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝________.1　[先用“導(dǎo)數(shù)法”求出切線方程，然后代入點(2,7)求出a的值．∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切線過點(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]2016-Ⅲ-16文.tif3．(2016·全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程是________．2x－y＝0　[設(shè)x＞0，則－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.∵當(dāng)x＞0時，f′(x)＝ex－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.]4．(2015·全國卷Ⅱ)已知曲線y＝x＋ln x在點(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.8　[法一：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′＝2.∴曲線y＝x＋ln x在點(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(當(dāng)a＝0時曲線變?yōu)?/span>y＝2x＋1與已知直線平行)．由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同法一得切線方程為y＝2x－1.設(shè)y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于點(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′＝2ax0＋(a＋2)．由解得]

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