高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第2章_第8節(jié)_函數(shù)與方程（含答案解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第八節(jié)　函數(shù)與方程
[考綱傳真]　結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)．

1．函數(shù)的零點(diǎn)
(1)定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．
(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．
(3)零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.
2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的圖象

與x軸的交點(diǎn)
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
(或(x2,0))
無交點(diǎn)
零點(diǎn)個(gè)數(shù)
2
1
0

1．函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，則“f(a)·f(b)＜0”是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件．
2．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)． (　　)
(2)函數(shù)y＝f(x)，x∈D在區(qū)間(a，b)?D內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0. (　　)
(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)． (　　)
(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0時(shí)沒有零點(diǎn)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，
∴f(x)在(－1,0)內(nèi)有零點(diǎn)，
又f(x)為增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．]
3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
A　[由于y＝sin x是奇函數(shù)，y＝ln x是非奇非偶函數(shù)，y＝x2＋1是偶函數(shù)但沒有零點(diǎn)，只有y＝cos x是偶函數(shù)又有零點(diǎn)．]
4．函數(shù)f(x)＝3x－x2的零點(diǎn)所在區(qū)間是(　　)
A．(0,1)　　B．(1,2) C．(－2，－1)　　D．(－1,0)
D　[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，
f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，
∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，
f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故選D.]
5．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
　[∵函數(shù)f(x)的圖象為直線，
由題意可得f(－1)f(1)＜0，
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.]

判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間

1．若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(　　)
A．(a，b)和(b，c)內(nèi)　　　　 B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)
C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)
A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，
f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.]
2．設(shè)x0是方程＝的解，則x0所在的范圍是(　　)
A. B.
C. D.
B　[構(gòu)造函數(shù)f(x)＝－，
因?yàn)閒(0)＝－＝1＞0，
f＝－＝－＞0，f＝－＝－＜0.所以由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)f(x)＝－在上存在零點(diǎn)，即x0∈，故選B.]
3．設(shè)函數(shù)y1＝x3與y2＝的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________．
(1,2)　[設(shè)f(x)＝x3－，則f(x)在R上是增函數(shù)，
又f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－1＝7＞0，
則x0∈(1,2)．]
4．已知[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，g(x)＝[x]為取整函數(shù)，x0是函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)，則g(x0)＝________.
2　[f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，則x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.]
[規(guī)律方法]　判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的3種方法
(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.
(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).
(3)圖象法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.

判斷函數(shù)零點(diǎn)(或方程根)的個(gè)數(shù)

【例1】　(1)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
(2)(2019·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)滿足：
①定義域?yàn)镽；
②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；
③當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝－|x|＋1.
則方程f(x)＝log2|x|在區(qū)間[－3,5]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是(　　)
A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8
(3)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．
(1)B　(2)A　(3)3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，

可得|log0.5x|＝x.
設(shè)g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一直角坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．
(2)由f(x＋2)＝f(x)知函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出y1＝f(x)與y2＝log2|x|的圖象，如圖所示．

由圖象可得方程解的個(gè)數(shù)為5，故選A.
(3)當(dāng)x＞0時(shí)，作函數(shù)y＝ln x和y＝x2－2x的圖象，

由圖知，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x≤0時(shí)，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)
所以在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上知f(x)有3個(gè)零點(diǎn)．]
[規(guī)律方法]　判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).
(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì).
(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).
(1)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0
(2)(2019·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(1)B　(2)(1，＋∞)　[(1)法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)．
法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)．

(2)問題等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖所示)，結(jié)合函數(shù)圖象可知a＞1.
]

函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

?考法1　根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)
【例2】　若函數(shù)f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在區(qū)間(2,3)上有零點(diǎn)，則k＝________.
4　[函數(shù)f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)上單調(diào)遞增，所以f(2)·f(3)＜0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)＜0，整理得(3－k)(log23＋3－k)＜0，解得3＜k＜3＋log23，而4＜3＋log23＜5，因?yàn)閗∈Z，故k＝4.]
?考法2　已知函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)
【例3】　(2019·青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________．
(3，＋∞)　[作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x>m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則有4m－m20.又m>0，解得m>3.]

[規(guī)律方法]　已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程根，求參數(shù)問題的三種方法
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
(1)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
(2)已知函數(shù)f(x)＝則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．[0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
(1)C　(2)D　[(1)∵函數(shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3，故選C.
(2)函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m的零點(diǎn)就是方程f(x)＝m－x的根，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和y＝m－x的圖象，如圖所示，

由圖象知，當(dāng)m≤0或m＞1時(shí)方程f(x)＝m－x有根，即函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)，故選D.]

1．(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a＝(　　)
A．－　　　　　　 B.
C. D．1
C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù)．
∵f(x)有唯一零點(diǎn)，∴g(t)也有唯一零點(diǎn)．
又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故選C.
法二：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．
若a>0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a＝1，即a＝.若a≤0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一．
故選C.]
2．(2014·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
B　[f′(x)＝3ax2－6x，
當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)>0；
x∈時(shí)，f′(x)0，注意f(0)＝1，f＝>0，則f(x)的大致圖象如圖(1)所示．

圖(1)
不符合題意，排除A、C.
當(dāng)a＝－時(shí)，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)0，x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)

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