1.利用給出的具體函數(shù)模型解決實(shí)際問題，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．給出具體實(shí)際問題，借助所學(xué)基本初等函數(shù)的特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識(shí)]
1．幾類常見的函數(shù)模型
2．三種基本初等函數(shù)模型的性質(zhì)
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(函數(shù)的增長(zhǎng)速度)下列函數(shù)中，隨x的增大，y的增長(zhǎng)速度最快的是( )
A．y＝eq \f(1,100)ex B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
答案：A
2．(二次函數(shù)模型)某物體一天內(nèi)的溫度T關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為T(t)＝t3－3t＋60，時(shí)間單位是h，溫度單位為℃，t＝0時(shí)表示中午12：00，則上午8：00時(shí)的溫度為( )
A．8 ℃ B．18 ℃
C．58 ℃ D．128 ℃
答案：A
3．(對(duì)數(shù)函數(shù)模型)在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量M千克、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m千克的函數(shù)關(guān)系式是v＝2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒．
解析：當(dāng)v＝12 000時(shí)，2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12 000，
∴l(xiāng)neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6，∴eq \f(M,m)＝e6－1.
答案：e6－1
4．(分段函數(shù)模型)某城市客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法是：如果行程不超過100 km，票價(jià)是0.5元/km，如果超過100 km，超過100 km的部分按0.4元/km定價(jià)，則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是________________．
答案：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.5x，0100))
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(對(duì)函數(shù)增長(zhǎng)速度理解不深致誤)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：
則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
答案：D
2．(構(gòu)建函數(shù)模型失誤)某商店每月按出廠價(jià)每瓶3元購(gòu)進(jìn)一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若零售價(jià)定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價(jià)每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在每月的進(jìn)貨當(dāng)月銷售完的前提下，為獲得最大利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為( )
A．3.75元/瓶 B．7.5元/瓶
C．12元/瓶 D．6元/瓶
解析：選D 設(shè)銷售價(jià)每瓶定為x元，利潤(rùn)為y元，則y＝(x－3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(400＋\f(4－x,0.5)×40))＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6時(shí)，y取得最大值．
3．(計(jì)算失誤)某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，在銷售額x為8萬元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)1萬元；銷售額x為64萬元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)4萬元．若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)模型為y＝alg4x＋b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎(jiǎng)勵(lì)，則他的銷售額應(yīng)為________萬元．
解析：依題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1，,alg464＋b＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.))解得a＝2，b＝－2，所以y＝2lg4x－2.
當(dāng)y＝8時(shí)，2lg4x－2＝8，解得x＝1 024.
答案：1 024
考點(diǎn)一 應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題
[典例] (2020·全國(guó)卷Ⅲ)Lgistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23?t－53?)，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
[解析] 由題意可知，當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，eq \f(K,1＋e－0.23?t*－53?)＝0.95K，
即eq \f(1,0.95)＝1＋e－0.23?t*－53?，e－0.23?t*－53?＝eq \f(1,19)，e0.23?t*－53?＝19，∴0.23(t*－53)＝ln 19≈3，∴t*≈66.故選C.
[答案] C
[方法技巧]
應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．
(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．
(3)利用該模型求解實(shí)際問題．
[針對(duì)訓(xùn)練]
一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過______min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．
解析：當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝eq \f(1,2)a，
∴e－8b＝eq \f(1,2).令y＝eq \f(1,8)a，即ae－bt＝eq \f(1,8)a，e－bt＝eq \f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，∴再經(jīng)過16 min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．
答案：16
考點(diǎn)二 構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題
考法(一) 構(gòu)建二次函數(shù)模型
[例1] (2021·武漢檢測(cè))如圖，已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上．
(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；
(2)求矩形BNPM面積的最大值．
[解] (1)如圖，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，
所以eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，所以y＝－eq \f(1,2)x＋10，定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}．
(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，
則S(x)＝xy＝x（10－eq \f(x,2)）＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝10，
所以當(dāng)x∈[4,8]時(shí)，S(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝8時(shí)，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米．
[方法技巧]
在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題中的最優(yōu)問題時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍，需根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域在坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解．解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后還要還原到實(shí)際問題．
考法(二) 構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型
[例2] (1)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
(2)已知世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長(zhǎng)率約是(參考數(shù)據(jù)： lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
[解析] (1)設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個(gè)“半衰期”后的含量為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n0)型函數(shù)模型
[例3] 某校為豐富師生課余活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S(平方米)的AMPN矩形健身場(chǎng)地．如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．設(shè)矩形AMPN健身場(chǎng)地每平方米的造價(jià)為eq \f(37k,\r(S))元，再把矩形AMPN以外(陰影部分)鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為eq \f(12k,\r(S))元(k為正常數(shù))．
(1)試用x表示S，并求S的取值范圍；
(2)求總造價(jià)T關(guān)于面積S的函數(shù)T＝f(S)；
(3)如何選取|AM|，使總造價(jià)T最低(不要求求出最低造價(jià))?
[解] (1)在Rt△PMC中，顯然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝ eq \r(3)(30－x)，
∴矩形AMPN的面積S＝|PM|·|AM|＝eq \r(3)x(30－x)，x∈[10,20]，
由x(30－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋30－x,2)))2＝225，
可知當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值為225eq \r(3)，
當(dāng)x＝10或20時(shí)，S取得最小值為200eq \r(3)，
∴S的取值范圍為[200eq \r(3)，225eq \r(3)]．
(2)矩形AMPN健身場(chǎng)地造價(jià)T1＝37keq \r(S)，
又∵△ABC的面積為450eq \r(3)，
∴草坪造價(jià)T2＝eq \f(12k,\r(S))(450eq \r(3)－S)．
∴總造價(jià)f(S)＝T＝T1＋T2＝25keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(S)＋\f(216\r(3),\r(S))))，200eq \r(3)≤S≤225eq \r(3).
(3)∵eq \r(S)＋eq \f(216\r(3),\r(S))≥12eq \r(6\r(3))，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \r(S)＝eq \f(216\r(3),\r(S))，即S＝216eq \r(3)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)eq \r(3)x(30－x)＝216eq \r(3)，解得x＝12或x＝18.
故選取|AM|為12米或18米時(shí)總造價(jià)T最低．
[方法技巧]
“y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)”型函數(shù)模型的求解策略
(1)“y＝x＋eq \f(a,x)”型函數(shù)模型在實(shí)際問題中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)．解決此類問題，關(guān)鍵是利用已知條件，建立函數(shù)模型，然后化簡(jiǎn)整理函數(shù)解析式，必要時(shí)通過配湊得到“y＝x＋eq \f(a,x)”型函數(shù)模型．
(2)求函數(shù)解析式時(shí)要先確定函數(shù)的定義域．對(duì)于y＝x＋eq \f(a,x)(a>0，x>0)類型的函數(shù)最值問題，要特別注意定義域和基本不等式中等號(hào)成立的條件，如果在定義域內(nèi)滿足等號(hào)成立，可考慮用基本不等式求最值，否則要考慮函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)可借用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性．
考法(四) 構(gòu)建分段函數(shù)模型
[例4] 國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止．每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元．
(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；
(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？
[解] (1)設(shè)每團(tuán)人數(shù)為x，由題意得0

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