高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第2章_第6節(jié)_對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含答案解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第六節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
[考綱傳真]　1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,10，的對數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．

1．對數(shù)
概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式
性質(zhì)
對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?logaN＝x
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
運算法則
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
換底
公式
換底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)
2.對數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)
定義
函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)
圖象
a＞1
0＜a＜1

圖象特征
在y軸右側(cè)，過定點(1,0)
當(dāng)x逐漸增大時，圖象是上升的
當(dāng)x逐漸增大時，圖象是下降的
性質(zhì)
定義域
(0，＋∞)
值域
R
性質(zhì)
單調(diào)性
在(0，＋∞)上是增函數(shù)
在(0，＋∞)上是減函數(shù)
函數(shù)值變化規(guī)律
當(dāng)x＝1時，y＝0
當(dāng)x＞1時，y＞0；
當(dāng)0＜x＜1時，y＜0
當(dāng)x＞1時，y＜0；
當(dāng)0＜x＜1時，y＞0
3.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．

1．換底公式的兩個重要結(jié)論
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab.
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.
2．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．

[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x. (　　)
(2)當(dāng)x＞1時，logax＞0. (　　)
(3)函數(shù)y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)與y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定義域相同．(　　)
(4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象過定點(1,0)，且過點(a,1)，，函數(shù)圖象不在第二、三象限． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，則(　　)
A．a(chǎn)＞b＞c　　　　　　　　 B．a(chǎn)＞c＞b
C．c＞b＞a　　　 D．c＞a＞b
D　[∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.]
3．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是(　　)

A．a(chǎn)＞1，c＞1
B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
D　[由圖象可知y＝loga(x＋c)的圖象是由y＝logax的圖象向左平移c個單位得到的，其中0＜c＜1.再根據(jù)單調(diào)性可知0＜a＜1.]
4．(教材改編)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. B．(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
C　[當(dāng)0＜a＜1時，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；
當(dāng)a＞1時，loga＜logaa＝1，∴a＞1.
即實數(shù)a的取值范圍是∪(1，＋∞)．]
5．計算：2log510＋log5＝________，2＝________.
2　　[2log510＋log5＝log5＝2，因為log43＝log23＝log2，所以2＝2＝.]

對數(shù)式的化簡與求值

1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.
2　[原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋2lg 5＝2.]
2．2＝________.
3　[原式＝2·2＝3·2＝3.]
3．log23·log38＋()＝________.
5　[原式＝3log23·log32＋3＝3＋2＝5.]
4．設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝________.
　[∵ 2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m＝.]
[規(guī)律方法]　對數(shù)運算的一般思路
(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡；
(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并；
(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用；
(4)利用常用對數(shù)中的lg 2＋lg 5＝1.

對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【例1】　(1)(2019·大連模擬)函數(shù)y＝lg|x－1|的圖象是(　　)

A　　　　　B　　　　C　　　D
(2)(2019·廈門模擬)當(dāng)0＜x≤時，4x＜logax，則a的取值范圍是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．(1，) D．(，2)
(3)函數(shù)y＝loga(x－2)＋2恒過定點P，則點P的坐標(biāo)為________．
(1)A　(2)B　(3)(3,2)　[(1)函數(shù)y＝lg|x－1|的圖象可由函數(shù)y＝lg|x|的圖象向右平移1個單位得到，故選A.
(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤時，4x＜logax，只需f(x)在上的圖象在g(x)的圖象下方即可．當(dāng)a＞1時不滿足條件；當(dāng)0＜a＜1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖象，可知只需f＜g，即2＜loga，則a＞，所以a的取值范圍為.

(3)由x－2＝1得x＝3，當(dāng)x＝3時，y＝2，則點P的坐標(biāo)為(3,2)．]
[規(guī)律方法]　對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用
(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
(1)函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的圖象大致為(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　D
(2)函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象恒過定點P，則點P的坐標(biāo)為________．
(3)若不等式(x－1)2＜logax在x∈(1,2)內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
(1)A　(2)(0,0)　(3)(1,2]　[(1)由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．設(shè)g(x)＝loga|x|，先畫出x＞0時，g(x)的圖象，然后根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱畫出x＜0時g(x)的圖象，最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A.
(2)由x＋1＝1得x＝0，當(dāng)x＝0時，y＝0，則點P的坐標(biāo)為(0,0)．
(3)設(shè)f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當(dāng)x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可．

當(dāng)0＜a＜1時，顯然不成立；當(dāng)a＞1時，如圖所示，要使x∈(1,2)時，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的圖象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1＜a≤2，即實數(shù)a的取值范圍是(1,2]．]

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

?考法1　比較對數(shù)值的大小
【例2】　(1)已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
(2)設(shè)a＝log3π，b＝log2，c＝log3，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
(1)B　(2)A　[(1)a＝log29－log2＝log23，b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，因為函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且2＞3＞，所以b＞a＞c，故選B.
(2)b＝log2＝log23＞，c＝log3＝log32＜，則b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，因此a＞b＞c，故選A.
?考法2　解對數(shù)不等式
【例3】　(1)(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)＝的定義域為________．
(2)設(shè)函數(shù)若f(a)＞f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
(1)[2，＋∞)　(2)(－1,0)∪(1，＋∞)　[(1)由題意知，log2x－1≥0，即log2x≥log22.
解得x≥2，即函數(shù)f(x)的定義域為[2，＋∞)．
(2)由題意，得
或
即或解得a＞1或－1＜a＜0.]
?考法3　復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域或最值
【例4】　函數(shù)f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的單調(diào)遞增區(qū)間為________，值域為________．
(2,5)　[2log3，＋∞)　[由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.
二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋5的對稱軸為x＝2.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,5)．又－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9≤9，
所以f(x)≥log9＝2log3，即函數(shù)f(x)的值域為[2log3，＋∞)．]
[規(guī)律方法]　1.比較對數(shù)值的大小的方法
(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進(jìn)行分類討論．
(2)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較．
(3)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較．
2．解對數(shù)不等式的類型及方法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．
(2)形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式再進(jìn)行求解．
3．解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟

(1)(2018·天津高考)已知a＝log3，b＝，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(3)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
(1)D　(2)D　(3)A　[(1)c＝log＝log35，則log35＞log3＞log33＝1，又＜＝1，因此c＞a＞b，故選D.
(2)當(dāng)x≤1時，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；當(dāng)x＞1時，1－log2x≤2，解得x≥，所以x＞1.綜上可知x≥0.
(3)令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數(shù)在(－∞，1]上遞減，則有即解得1≤a＜2，即a∈[1,2)．]

1．(2016·全國卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，則(　　)
A．logac＜logbc　　　　　 B．logca＜logcb
C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb
B　[∵0＜c＜1，∴當(dāng)a＞b＞1時，logac＞logbc，A項錯誤；
∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又a＞b＞0，
∴l(xiāng)ogca＜logcb，B項正確；
∵0＜c＜1，∴函數(shù)y＝xc在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C項錯誤；
∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D項錯誤．]

2．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________.
－7　[由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]

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