?2.4用因式分解法解一元二次方程
一、單選題
1．方程的根為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
此題考查一元二次方程的解法；此題適合于用因式分解法．
【解析】
解：原方程可化為：，
選A．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【解析】
，
，
，
或，
或，
即，
故選：D．
【點睛】
本題考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等，熟練掌握各解法是解題關鍵．
3．用因式分解法解方程，下列方法正確的是（ ）
A．∵，∴或
B．∵，∴或
C．∵，∴或
D．∵，∴
【答案】A
【解析】
∵，∴或，A選項正確，符合題意；由于使用因式分解法解方程時方程右邊須為0，故B，C選項錯誤；∵，∴或，故D選項錯誤．
4．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.較簡便的方法依次是（ ）；
A．開平方法、因式分解法、公式法、配方法
B．因式分解法、公式法、公式法、配方法
C．配方法、因式分解法、配方法、公式法
D．開平方法、因式分解法、配方法、公式法
【答案】D

【分析】
對于第①個方程，由于左右兩邊是某個數(shù)或式子的平方，據此選擇開平方法解方程；對于方程②可結合因式分解中的基本方法分析即可得解; 對于方程③二次項系數(shù)為1可考慮配方法; 對于方程④利用公式法求解比較簡便.
【解析】
解：方程①符合直接開方法的形式，因此選擇開平方法比較簡便；
方程②等號左邊含有公因式x，則可利用因式分解法比較簡便；
方程③等號左邊二次項系數(shù)為1，則可利用配方法比較簡便；
方程④等號左邊展開，移項，然后利用公式法求解比較簡便.
故選D.
【點睛】
本題是解一元二次方程的題目，關鍵是知道如何合理的選擇解一元二次方程的方法.
5．設（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，則x2+y2的值為（　　）
A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．5
【答案】C
【分析】
由已知的方程進行換元a= x2+y2轉化為一元二次方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可
【解析】
設a= x2+y2，則原方程可化為a2+2a﹣15=0，
∴(a+1)2=16，解得：a=3或a=﹣5，
又∵a≥0，∴a= x2+y2=3.
故選C.
【點睛】
解此題的關鍵在于利用換元法將原方程簡化.
換元法：解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化.
6．若x，y都是負數(shù)，且，則的值是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】
將x+y看作一個整體，把已知等式進行因式分解即可求出x+y的值．
【解析】
解：，
∴，
即，
可得或．
∵x，y都是負數(shù)，
∴x+y＜0，
∴，
故選D．
【點睛】
本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是利用整體思想，掌握因式分解法．
7．已知關于的一元二次方程的兩根為，，則一元二次方程的根為(　　)
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
【答案】B
【分析】
先將，代入一元二次方程得出與的關系，再將用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．
【解析】
∵關于的一元二次方程的兩根為，
∴或
∴整理方程即得：
∴
將代入化簡即得：
解得：，
故選：B．
【點睛】
本題考查了含參數(shù)的一元二次方程求解，解題關鍵是根據已知條件找出參數(shù)關系，并代入要求的方程化簡為不含參數(shù)的一元二次方程．
8．閱讀理解：解方程．解：（1）當時，原方程可以化為，解得（不合題意，舍去）；（2）當時，原方程可以化為，解得（舍去），∴原方程的解為．那么方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據絕對值的定義當x≥1時方程為x2-x+1-1=0，求出方程的解；當x＜1時方程為x2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案．
【解析】
當x≥1時，方程為x2-x+1-1=0，
∴x1=0（舍去），x2=1；
當x＜1時，方程為x2+x-1-1=0，
∴x1=-2，x2=1（舍去），
∴方程的解是x1=-2，x2=1．
故選：B．
【點睛】
此題考查絕對值，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能正確去絕對值符號是解題的關鍵．
9．已知3是關于的方程的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰的兩條邊的邊長，則的周長為（ ）
A．7 B．10 C．10或11 D．11
【答案】C
【分析】
把x＝3代入已知方程求得m的值，然后求出該方程的兩根，即等腰△ABC的兩條邊長，由三角形三邊關系和三角形的周長公式進行解答即可．
【解析】
解：把x＝3代入方程得：，
解得m＝6，
則原方程為，
解得：x1＝3，x2＝4，
因為這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長，
①當△ABC的腰為4，底邊為3時，符合三角形三邊關系，△ABC的周長為4＋4＋3＝11，
②當△ABC的腰為3，底邊為4時，符合三角形三邊關系，△ABC的周長為3＋3＋4＝10，
綜上所述，△ABC的周長為10或11．
故選：C．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性質以及三角形三邊關系．
10．若，，，，為互不相等的正奇數(shù)，滿足
，則的末位數(shù)字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】
因為，，，，為互不相等的正奇數(shù)，所以，，，，為互不相等的非零偶數(shù)（有偶數(shù)個負數(shù)），又因為 ，所以這5個偶數(shù)只能是2，-2，4，6，-6（否則就會有相同的偶數(shù)），所以，，，，分別等于2007，2003，2001，1999，2011，所以的末位數(shù)字是1
【解析】
解：∵，，，，為互不相等的正奇數(shù)
∴，，，，為互不相等的偶數(shù)，且負數(shù)個數(shù)為偶數(shù)個
而將分解為5個互不相等的偶數(shù)之積，只有唯一的形式：

∴，，，，分別等于2、、4、6、
∴，，，，分別等于2007，2003，2001，1999，2011
又∵20072尾數(shù)是9，20032尾數(shù)是9，20012尾數(shù)是1，19992尾數(shù)是1，20112尾數(shù)是1
∴的末位數(shù)字是1．
故選A．
【點睛】
本題主要考查了數(shù)字變化類的一些簡單的問題，能夠掌握七內在規(guī)律并熟練求解是解題關鍵．


二、填空題
11．x2－2x=0的解是____
【答案】x1="0" 或x2=2
【分析】
把方程的左邊分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或 x﹣2=0，求出方程的解即可．
【解析】
x（x﹣2）=0，x=0或 x﹣2=0，x1=0 或x2=2．
故答案為x1=0，x2=2．
【點睛】
本題主要考查解一元二次方程﹣因式分解法，把方程左邊進行因式分解是解答此題的關鍵．
12．一元二次方程的解是________．
【答案】
【解析】
∵，∴．∴．∴或，解得．
13．方程的根為_______．
【答案】
【分析】
利用因式分解法解方程即可．
【解析】
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了一元二次方程－因式分解法，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．
14．已知與的值相等，則的值是______________.
【答案】 ，
【解析】
根據題意得，＝，
移項變形得，
解得 ，.
故答案為 ，.
15．若，則__________.
【答案】10
【解析】
試題分析：設，則原方程可簡化為，解得，.因為，所以，即.
考點：解一元二次方程中根的取舍.
16．關于x的方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0的根為整數(shù)，則所有整數(shù)的和為____________．
【答案】
【分析】
分兩種情況討論，當時，方程為一元一次方程時，或當時，根據因式分解法解題即可．
【解析】
當時，原方程可化為
解得為整數(shù)；
當時，原方程是關于x的一元二次方程，可化為

根據題意根為整數(shù)，或，
解得
所有整數(shù)的和為：
故答案為：-5．
【點睛】
本題考查方程的解，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
17．設方程的較大根為，方程的較小根為，則的值為__________
【答案】
【分析】
關鍵在于要牢記因式分解法解與一元二次方程的步驟，首先將方程進行因式分解，寫成積的形式，然后求解即可.
【解析】
解：因為20022x2-2003×2001x-1=0?
所以(2002x)2-(2002+1)×(2002-1)x-1=0?，即(2002x)2-20022x+x-1=0?
因此(20022x+1)(x-1)=0?，
解得x1=1，x2=-，故r=1
又因為2001x2-2002x+1=0?
所以(2001x-1)(x-1)=0?，
解得x1=1,x2=，故s=,
所以r-s=1-
故答案為.
【點睛】
本題主要考查的是一元二次方程的解法，因此要牢記各種解一元二次方程的方法的解題步驟.
18．當時，代數(shù)式的值相等，則時，代數(shù)式的值為_______．
【答案】3
【解析】
試題分析：根據題意，把m和n分別代入可得，移項，因式分解得
（m+n）（m-n）-2（m-n）=0，即（m+n-2）（m-n）=0,由m≠n可知m+n=2，代入可知="3" ．
考點：因式分解法解一元二次方程
19．若關于 的方程 有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則 的取值范圍是________.
【答案】3＜m≤4
【分析】
根據原方程可知x-2=0，和x2-4x+m=0，因為關于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三個根，所以x2-4x+m=0的根的判別式△＞0，然后再由三角形的三邊關系來確定m的取值范圍
【解析】
解：∵關于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三個根，
∴①x-2=0，解得x1=2；
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x2=2+
x3=2-
又∵這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，
且最長邊為x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范圍是3＜m≤4．
故答案為3＜m≤4
20．數(shù)學活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：
已知實數(shù)同時滿足，求代數(shù)式的值．

結合他們的對話，請解答下列問題：
（1）當時，a的值是__________．
（2）當時，代數(shù)式的值是__________．
【答案】或1 7
【分析】
（1）將代入解方程求出，的值，再代入進行驗證即可；
（2）當時，求出，再把通分變形，最后進行整體代入求值即可．
【解析】
解：已知，實數(shù)，同時滿足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）當時，將代入得，

解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴當時，a的值是1或-2
故答案為：1或-2；
（2）當時，則，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案為：7．
【點睛】
此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運算等知識，熟練掌握運算法則和乘法公式是解答此題的關鍵．

三、解答題
21．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
解：（1）∵，
∴．
則或
解得．
（2）∵，
∴．
則，
解得．
（3）∵，
∴．
則，
∴或．
解得．
（4）∵，
∴．
∴或．
解得．
22．解下列一元二次方程
（1）（2x＋3）2－81＝0；
（2）x2－6x－2＝0；
（3）x2＋2x－6＝0；
（4）5x（3x＋2）＝6x＋4
【答案】（1）x1=3，x2=-6；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=，x2=
【分析】
（1）先移項，再直接開平方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得；
（3）利用公式法求解可得；
（4）先移項，再利用提公因式法求解可得．
【解析】
解：（1）（2x+3）2-81＝0，
∴（2x+3）2＝81，
∴2x+3=±9，
∴解得：x1=3，x2=-6；
（2）x2-6x-2＝0，
∵a=1，b=-6，c=-2，
∴△=36-4×1×（-2）=44，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（3）x2+2x-6＝0，
∵a=1，b=2，c=-6，
∴△=8-4×1×（-6）=32，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（4）5x（3x+2）＝6x+4，
∴5x（3x+2）-2（3x+2）＝0，
∴（5x-2）（3x+2）＝0，
解得：x1=，x2=；
【點睛】
本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．
23．用因式分解法解下列關于x的方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【分析】
（1）移項后提取公因式；
（2）使用平方差公式；
（3）等式右邊用平方差公式分解，然后移項提取公因式；
（4）前面三項可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式．
【解析】
解：（1），
，
，
則有或，
解得：，；
（2），
，
，
則有或，
解得：，；
（3），
，
，
，
則有或，
解得：，；
（4），
，
，
則有或，
解得：，．
【點睛】
本題考查用因式分解法解一元二次方程，需要先將等式右邊變成0，然后觀察等式左邊，采用適當?shù)姆椒ㄟM行因式分解，最后由每個因式等于0求出方程的根．
24．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
【答案】原方程的解為x1＝4 029，x2＝－2．
【分析】
根據題意結合等式的性質可分情況討論，將方程轉化為兩個方程組，方程組或，然后分別解方程組即可求解．
【解析】
解：由題意得：
方程組 的解一定是原方程的解，解得x＝4 029，
方程組的解也一定是原方程的解，解得x＝－2，
∵原方程最多有兩個實數(shù)解，
∴原方程的解為x1＝4 029，x2＝－2．
25．解方程：.
有學生給出如下解法：
∵，
∴或或或
解第一、四方程組，無解；
解第二、三方程組，得或，
∴或.
請問：這個解法對嗎？試說明你的理由.
【答案】見解析.
【分析】
解法明顯錯誤，該學生解法屬于特殊舉例，巧合求出了方程的解，不具有一般性。
【解析】
答案一：，解得或－1，
對于這個特定的已知方程，解法是對的.
理由是：一元二次方程有根的話，只能有兩個根，此學生已經將兩個根都求出來了，所以對.
答案二：解法不嚴密，方法不具有一般性，
理由是：為何不可以等，得到其他的方程組?
此學生的解法只是巧合求對了方程的根.
【點睛】
解一元二次方程，優(yōu)先考慮因式分解法，若不能因式分解再考慮公式法或配方法，切不可隨意使用沒有學過的方法。
26．如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等于這兩個整式下方箭頭共同指向的整式．

（1）求整式；
（2）請將整式分解因式；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】
（1）根據整式加減法即可求出；
（2）先根據整式加法算出，再利用公式法，公因式法分解即可；
（3）把帶入，利用十字相乘即可求的值．
【解析】
解 :（1）

（2）



（3）由題意得，





【點睛】
本題考察了整式計算，因式分數(shù)，一元二次方程計算，屬于基礎題型．
27．觀察下列一組方程：；；；；它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”．
若也是“連根一元二次方程”，寫出k的值，并解這個一元二次方程；
請寫出第n個方程和它的根．
【答案】（1）k＝－15，x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.
【分析】
（1）根據十字相乘的方法和“連根一元二次方程”的定義,找到56是7與8的乘積,確定k值即可解題,（2）找到規(guī)律,十字相乘的方法即可求解.
【解析】
解：(1)由題意可得k＝－15，則原方程為x2－15x＋56＝0，則(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.
(2)第n個方程為x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.
【點睛】
本題考查了用因式分解法求解一元二次方程,與十字相乘聯(lián)系密切,連根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等難度,會用十字相乘解題是解題關鍵.
28．閱讀理解：對于這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
．
理解運用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．
解決問題：
（1）因式分解：___________
（2）求方程的解
【答案】（1）；（2）或或
【分析】
（1）由可知符合材料的公式形式，直接套用公式即可解答；
（2）先將方程左邊按材料的公式形式分解因式，再求出每個因式為0時的解即可．
【解析】
解：（1）






故答案為：
（2）解：，
，
∴，
或，
解得或，
【點睛】
本題主要考查了因式分解和高次方程的解法，解高次方程一般要通過適當?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．即把它轉化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．本題解題關鍵是學習材料內容，根據材料公式和方法解題．
29．閱讀理解：德國著名數(shù)學家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理學家、天文學家、大地測量學家．）被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并有"數(shù)學王子"的美譽．高斯從小就善于觀察和思考．在他讀小學時候就能在課堂上快速的計算出 ，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：
令 ①
②
（右邊相加 共 組）①+②：有 ，解得： 請類比以上做法，回答， ?
題目：如下圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依此類推．

（1） 填寫下表：

















（2） 寫出第層所對應的點數(shù)；
（3） 如果某一層共個點，你知道它是第幾層嗎?
（4） 寫出層的六邊形點陣的總點數(shù)；
（5） 如果六邊形點陣圖的總點數(shù)是個，你知道它共有幾層嗎?
【答案】（1）；（2） ；（3） 層；（4） ；（5） 層．
【分析】
題干：根據倒序相加法計算即可；
（1）用該層對應的點數(shù)18，加上前一格中所有層的總點數(shù)19即可得到答案；
（2）列出每一層上的點數(shù)得到規(guī)律即可得到答案；
（3）根據（2）得到的公式列方程解答；
（4）將前面各層上的點數(shù)相加得到，根據（1）的計算方法求出答案；
（5）根據（4）得到的公式列方程解答即可.
【解析】
題干：設①，②，
①+②得，
∴
∴答案：
（1） 第四列應填：18+19=37；

















（2）第1層上的點數(shù)為1，
第2層上的點數(shù)為6=，
第3層上的點數(shù)為6+6=，
第4層上的點數(shù)為6+6+6=，
，
第n層上的點數(shù)為，；
（3）=96，
解答n=17，
∴第 層共 個點；
（4）

=
=；
（5）由（4）得=631，
解得n=15，或n=-14（舍去），
∴六邊形點陣圖的第層的總點數(shù)是個.
【點睛】
此題考查圖形類規(guī)律的探究，一元二次方程的實際應用，有理數(shù)的混合運算，正六邊形的性質，觀察并運算得到點陣圖的計算規(guī)律，并運算高斯速算法進行計算是解題的關鍵.


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初中數(shù)學北師大版九年級上冊電子課本

4 用因式分解法求解一元二次方程

版本： 北師大版

年級： 九年級上冊

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